一个复合广义负二项和夏克尔分布

文摘

本文的目的是提供一个替代的品种分布离散分布用于符合计数数据。我们提出一个复合广义负二项和夏克尔分布,即广义负Binomial-Shanker (GNB-SH)分布。GNB-SH分布可以用来配合统计数据,同时仍然保持相似的特点,传统的负二项。这个新配方是一个泛化的新混合即负二项分布,夏克尔(NB-SH)分布和Binomial-Shanker (BI-SH)分布。一些数学该分布的性质及其特殊情况进行了研究。GNB-SH和NB-SH分布参数估计也是使用最大似然实现。

关键字

广义负Binomial-Shanker (GNB-SH) Binomial-Shanker (BI-SH)

介绍

通常,现有离散分布有时不能适合计数数据由于种种原因这种差异在数据分布的形状和相关假设这些分布(1]。因此,经历贫穷符合现有的离散模型的统计数据的分析等领域的主要问题医学,运输,工程和农业。因此,研究人员正在努力想出新的离散分布可以提供更好的适合观察计数数据相比其他现有的模型。出于这个原因,我们建议新分布即广义负Binomial-Shanker (GNB-SH)分布得到的复合GNB的分布(m, p,β),p= exp (−λ)与SH(θ)的分布。预计GNB-SH分布应该提供一个更好的适合观察计数数据相比其他竞争对手分布等传统的NB分布。

不同的研究人员使用混合分布的概念探索新的灵活的分布执行比标准模型。在许多情况下,混合泊松和负二项(NB)分布通常提供更好的健康相比其他现有分布。over-dispersed数据时,是最好的泊松相比,由于其假设的灵活性。基于这一策略的混合分布,不同的人员能够探索新的灵活的分布。

看着以前的研究,2)混合NB和林德分布扩展和应用在很多统计数据分析(3- - - - - -6]。Saengthong等人获得NB的混合物和裂缝分布包含三种特殊情况即负Binomial-Inverse高斯(NB-IG),负Binomial-Birnbaum-Saunders (NB-BS)和消极Binomial-Length偏见逆高斯(NB-LBIG) [7]。这些结果扩展到使获得分布适合零膨胀的计数数据(8]。

Gerstenkorn复合广义负二项(GNB)分布和广义β(GB)后来被拉希德等人研究零截数数据(9,10]。拉希德等人研究了广义负二项与广义的混合指数(GNB-GE)分布引起的混合物与广义负二项指数(NB-GE) [11,12]。因其特别的性能,一个零通货膨胀参数添加到NB-GE分布,使之更适合计算数据与多余数量的零(13]。

在混合物与泊松分布14)引入一个参数林德分布的混合物(15用泊松分布)。与此有关的一些扩展和修改配方可以找到(16- - - - - -20.]。其他的泊松混合物包括Poisson-Shanker混合物(1),泊松- Amarenda混合物(21)和泊松- Sujatha混合物(22- - - - - -25]。

在这项工作中,我们目前的概念复合分布和分布参与制定GNB-SH分布在第二节。本节以混合GNB分布和夏克尔分布,并提供它的特殊情况。第三节需要数学性质相关分布包括特殊的情况。第四节处理NB-SH和GNB-SH使用最大似然参数估计。第五部分提出了本文的结论,包括我们的未来计划。

材料和方法

广义负二项分布

离散随机变量X是一个广义负二项分布(GNB)如果其及给出:

(1)

x = 0、1、2、3、……,,否则为0,

(一)

(b)

当β= 0 & m∈N及方程(1)可以减少二项分布和当β= 1,方程(1)减少的NB分布及它的意思和阶乘矩分别为:

(2)

ᴦ()是伽马函数,参见[23- - - - - -25]。在参数m, pand GNB分布β是常数,但在这里假设在哪里λ是一个随机变量后,夏克尔分布。

夏克尔分布

林德的延伸分布(15夏克尔(SH)分布提出了夏克尔[26)还提供了其数学性质。这个分布是指数分布的混合物与尺度参数θ和一个伽马分布2形状参数和尺度参数θ。这个分布时显示一个更好的适应与指数和林德相比寿命数据的分布模型。给出了该分布的密度函数为:

(3)

为λ> 0,否则为0θ> 0。它时刻生成函数(mgf)给出:

(4)

复合分布

根据Gurland[提供的定义27),复合分布时发生全部或部分参数的分布概率分布(父)被视为另一个名为复合分布的概率分布的随机变量。在复合,家长的支持分布决定的支持复合分布(27,28]。如果父母分布是离散(连续),然后复合分布将成为离散(连续)。

复利发挥了重要作用的复兴NB分布的复合泊松分布的参数λ当作一个γ变量。考虑一个离散变量的情况下,Gurland[提供的定义和关系27]化合物分布如下:

我们与f (X是一个离散随机变量X|λ)参数λ是一个随机变量的概率密度函数g (λ),然后一个复合分布h (x)的定义是:

(5)

广义负二项分布的复合夏克尔分布

定义:假设X是一个随机变量GNB-SH (m,β,θ)分布用X ~ GNB−SH (m,β,θ)当X GNB分布与参数米,β和p= e^−λ,λ分布与SH参数θ> 0,即X|λ~ GNB (m,β,p = e^−λ)和λ~ SH (θ)。

定理:让X~GNB−上海(m,β,θ),那么X的及给出:

(6)

x = 0、1、2、3…。,和zero otherwise, where

0≤p< 1,m > 0,pβ< 1,β≥1,θ(一)

0≤θ≤1 m∈Nβ= 0,θ> 0 (b)

证明:如果X ~ GNB−SH(m,β,θ方程(1)中定义的)λ~ SH(θ方程(3)中定义的),然后使用方程(5),X的及可以得到:

(7)

替换p=e^−λ在方程(1)f (X|λ)被定义为

使用二项展开式得到

(8)

用方程(3)和方程(8)方程(7)得到

(9)

用SH分布方程的矩生成函数(4)方程(9)及GNB−SH(m,β,θ)终于给出分布

接下来,我们提供GNB-SH及其概率质量函数的特殊情况。注意,这些特殊情况可以被证明是用提供了每种情况下的假设值。

推论:如果β= 1,那么GNB-SH及在方程(6)减少NB的混合物和夏克尔分布表示X ~ NB−SH (m,θ)及

(10)

推论:如果β= 0米∈N,那么GNB-SH在方程(6)减少及二项式和夏克尔分布表示X ~ BI−SH (米,θ),及

(11)

的属性Gnb-Sh分布

这个处理提供阶乘矩的分布。普通(原油)的时刻GNB-SH分布可以通过使用公式

在年代^l_k代表了斯特林的第二种(29日]。因此,只有NB的阶乘矩的混合物,夏克尔分布将被考虑。

在年代^l_k代表了斯特林的第二种(29日]。因此,只有NB的阶乘矩的混合物,夏克尔分布将被考虑。

定义:如果X ~ NB−SH(米,θ),然后阶乘矩多项式

称为顺序r的阶乘矩的混合物NB夏克尔分布(NB-SH),μ哪里_r(x|λ)是NB的阶乘矩分布。

定理:的阶乘矩阶r NB-SH分布是由

(12)

r = 1, 2, 3,…。米,θ> 0。

证明:从NB的阶乘矩分布方程(2),如果我们让p = e^−λ的阶乘矩r NB-SH分布给出的顺序

使用二项展开式得到

用SH分布的矩生成函数t = r - k

NB-SH阶乘矩的分布方程(12),为了方便我们

然后,分别给出关于零。前四阶矩

参数估计

定义:在本节中,最大似然用于提供参数的估计GNB−SH (m,β,θ)NB-SH分布的分布及其特例(m,θ)。

GNB-SH分布参数估计使用完整的似然函数

让X1, X2, X3,…。,Xn a random sample of size n from the GNB-SH distribution with observed values x1, x2, x3,…., xn. We find the values of m, β and θ that maximizes the likelihood function (joint pmf of the sample) of GNB-SH. Parameter estimates can easily be obtained by maximizing the logarithm of the likelihood function with respect to m, β and θ as the product is replaced by the sums. Consider the likelihood function of GNB-SH distribution defined by

与相应的对数似函数给出:

最大似然估计的m,β和θ可以得到最大化日志L (x;m,β,θ)对m,分别为β和θ。这是

NB-SH分布参数估计使用完整的似然函数

考虑到对数似NB-SH分布的函数定义为

的偏导数log-likehood对mθ给出了作为

在哪里是双函数(29日,30.]。

分析上述微分方程不能解决,因此我们使用牛顿拉富生方法这是一个简单而强大的方法求解方程数值。因此,参数估计将得到最大化loglikelihood函数使用数值迭代方法。

结论

本文提出了一种新的分布得到的混合GNB夏克尔分布。发现NB-SH和Binomial-Shanker分布是它的特殊情况。一些数学属性提供了有关其特例。参数估计GNB-SH和NB-SH使用标定。最后,我们未来的兴趣会比较的效率与泊松分布和NB分布使用真实的数据集。

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