加权流形的通量公式

摘要

在本文中，我们推导了通量公式在加权流形中，采用加权牛顿变换，并引入加权高阶均值的概念曲率，这个公式是一般化的。Reilly的原始公式和Alias、Lopez和Malcarne得到的通量公式[1］．特别地，我们得到了一个类似Rosenberg得到的平衡公式。最后，我们给出了该公式的一些特殊情况。

关键字

加权流形，加权，牛顿变换，第r次平均曲率，加权平均曲率

简介

黎曼几何中许多有用的积分公式都是通过计算某一函数的散度得到的向量场，然后应用散度定理。作者给出了通量公式。特别地，他们得到了一个类似于Rosenberg [2］．作为通量公式的应用，他们给出了高阶平均曲率H的估计_r的超曲面空间由其边界的几何形状[1］．在这些作者的工作的激励下，我们在本工作中给出了加权流形情况下的通量公式。回想一下，加权流形(也称为带密度流形)是一个黎曼流形M，具有平滑的正密度e^{- f}关于黎曼测度。我们证明以下命题。

命题1

让的一种定向连接子流形而且P的紧超曲面ⁿ．边界的紧向超曲面用N表示垂直于M的全局向量场ⁿ的外向向量对于1≤k≤n对于每一个保形向量场我们有

在哪里是加权牛顿变换，H_{r f}是加权的高阶平均曲率。

由于这个命题，我们得到了一些特殊的情况。特别地，我们得到了一个平衡公式空间形式的最小超曲面。全文组织结构如下。第2节提供了一些初步内容。本文的主要结果载于第3节。整篇论文中所有的东西(流形，指标，等等)被假设为C^∞-可微且有向[3.-5］．

预赛

在本节中，我们将介绍本文中使用的基本符号。我们将回顾加权的一些定义和性质对称的函数和加权牛顿变换。详情请参阅[3.]、[7］．

让是一个黎曼流形。让是等距浸没超曲面。表示由而且Levi civita的关系而且分别。然后，将超曲面的Weingarten公式写成

在哪里^Τ是超曲面M关于Guass映射N的形状算子，和^Τ表示在与M相切的向量束上的正交投影，

众所周知，A是一个线性自伴随算子。在每一点p∈M，其特征值μ₁,……,μ_n为M[的基本曲率6，7］．

与形状算子A相关联，定义加权初等对称函数递归地:

特别是就是定义在[中的经典初等对称函数8］．

定义

加权牛顿变换(W.N.T)归纳式A由什么定义

在哪里表示…的同一性

或者等价地由

在哪里n μ，…，μ 1 are the eigenvalues of

我们表示化简而且

特别是为经典牛顿变换引入[8］

这两个量具有与经典对称函数和牛顿变换相同的性质[3.］．

命题2

特别是1，

和的特征值等于

在哪里

定义1:加权后的r^th平均曲率H_{r f}由:

向量场的法向M在哪里

特别是对于r =1，我们有

超曲面的加权平均曲率是M吗

定义2:我们说一个超曲面M

特别是;如果H, M是f−最小值_f= 0。或equivalentely

定义3:加权牛顿变换的加权散度定义为:

在哪里

和{e₁e、…_n}是M的切空间的正交基。

特别地，当μ=0时，如果f是恒等消失的，我们得到了牛顿变换散度的经典定义。

我在这里发现了一些等周不等式。现在我正试图为加权的高阶平均曲率[9］．

结论

综上所述，我的步骤是:

1.计算散度(事实上，我们计算这个量是在最后两个步骤中使用它，通过使用权重牛顿变换的散度定理)。

2.比较

3.的变化(临界点)

4.最小化

对于前两点，我找到了方法。

我认为最后两个就相当于对变异的研究

如果你知道我们如何学习最后两点，因为如果我们能找到这样的

关系，这个结果给出了我们的量(H_{r f}）.

参考文献

1. Alías LJ，等。黎曼空间中的常数高阶平均曲率超曲面。J the Instof mathjussiu .2006;5: 527 - 562。
2. BarbosaJL和EarpRS。具有凸平面边界的Hn+1(-1)中规定的平均曲率超曲面1998;71: 61 - 74。
3. CaseJS。具有sk-曲率密度的流形的加权概念。2016;2: 1409 - 4455。
4. CastroK和RosalesK。流形中具有密度和刚性的自由边界稳定超曲面。ar xiv: 1: 1311-1952。
5. EspinarJM。带有密度、应用和梯度薛定谔算子的流形。6: 1209.6162。
6. KoisoM。具有对称边界的常平均曲率超曲面的对称性。1986;191;567 - 574。
7. MorganF。有密度的流形。注意amer数学社会学。2005;52:853 - 858。
8. ReillyRC。空间形式超曲面平均曲率函数的变分性质。J微分几何1973;8: 465 - 477。
9. RosenbergH。空间形式的常曲率超曲面。BullSc Math.1993;117: 211 - 239。