一个新的无穷级数收敛的证明和非理性的总和

文摘

这是一笔互惠广场到无穷,办理新的交替时尚连续加减项分别比2:1。

关键字

收敛,非理性的、互惠的广场、无穷。

介绍

定义:系列是第一作者说数学论坛(1]“n = 1到无穷大,从1开始连续下两届的1 / n ^ 2,然后下一项的1 / n ^ 2是减去,以下两个连续的1 / n ^ 2,随后的1 / n ^ 2是减去等等……这样的重复一直到无穷。“第十条款系列:

(1)

使用反向括号中)(表示“本系列的连续加在一起两届-下一项和重复这个交替的方式”。

无限求和系列的所有条款(1)被称为巴塞尔问题,首次解决了欧拉(2在17世纪)。这是著名的证明收敛π²/ 6。通过代数操纵,新交错级数之和(1)可以重写为一个不同的原始和互惠的广场和新和表达为一个精确的结果:-

(2)

收敛性的证明

通过计算第一个连续40届和策划累积金额图很明显,系列收敛和极限存在(图1)。

我们注意到一个明显收敛速度快,似乎总和约1.4≈趋于一个极限值。收敛性也可以证明通过使用一个适当的测试分析。的比较测试是使用摘要如下。(2)中第一项是一个常数,所以我们需要证明的是,在第二项之和是收敛的。这可以与类似的p系列p = 2的特殊情况(黎曼ζ2)。

因为绝对收敛,所以新系列发明摘要也绝对收敛。

不合理的证明和

输入到Wolfram Alpha系列(3]价值无穷计算大约1.4014680389755……这个限制值通过计算发现了多达1000万项。这实际上是一个无理数,可以证明是非理性的比较测试的其他系列非常相似。

(2)如果我们让

以下系列已被证明有非理性的金额用π来表示:

结论

因为x在本质上是类似的构造上述系列及其收敛的无理数,它总的意思是,所有的新系列(2)同样是非理性的。

引用

1. Ahad。证明我的新无限交替系列。谷歌组。sci.math.2017。
2. Eremenko。欧拉是如何发现squares.2013倒数之和。
3. https://www.wolframalpha.com/examples/Math。