一个新的具有收敛性和无理数证明的无穷级数

摘要

这是一个一直到无穷大的平方和用一种新的交替法来处理时尚分别以2:1的比例加和减连续的项。

关键字

收敛，无理数，平方倒数，无穷。

简介

定义:该系列最早由作者在数学论坛上提出[1“对于n=1到无穷，从1开始，后面连续两项1/n²相加，然后下一项1/n²减去，后面连续两项1/n²相加，后面一项1/n²减去，等等……”这样一直重复到无穷。”这个级数的前10项是:

(1）

其中，使用倒括号)(表示“将该系列的连续两项相加，然后减去下一项，以交替的方式重复此过程”。

列(1)中所有项的无限和被称为巴塞尔问题，首先由莱昂哈德·欧拉[2)在17世纪。这已经被证明是完全收敛于π²/ 6。通过代数操作，(1)中新的交替级数的和可以重写为原倒数平方和与新和的差，并表示为精确的结果:-

（2）

收敛性证明

通过计算前40个连续的项，并在图形上绘制它们的累积和，很明显，这个系列是收敛并且极限存在(图1）.

我们注意到一个明显的快速收敛速度，并且和似乎趋向于≈1.4左右的极限值。收敛性也可以用适当的检验来解析地证明。的比较本文具体采用的检验方法如下。(2)中的第一项是常数，所以我们只需证明第二项中的和是收敛的。这可以与p=2(黎曼Zeta 2)的特殊情况下类似的p级数进行比较。

由于级数是绝对收敛的，所以本文所发明的级数也是绝对收敛的。

无理数和的证明

将系列输入Wolfram Alpha [3.]则无穷远处的和值为计算大约为1.4014680389755…这个极限值是通过计算多达1000万项得到的。这实际上是一个无理数，可以通过与其他非常相似的级数的和的比较检验来证明它是无理数。

如果我们让(2)

下列级数已被证明具有用π表示的无理数和:

结论

由于x在本质上与上述级数具有类似的构造，并且它们的和收敛于无理数，因此(2)中新级数的总体和同样是无理数。

参考文献

1. 我的新无限交替级数的证明。谷歌组。sci.math.2017。
2. Eremenko a .欧拉如何找到平方和。2013。
3. https://www.wolframalpha.com/examples/Math。