Adeniran Adefemi T1*Ojo j·F。2和Olilima j . O1
收到日期:20/10/2018;接受日期:05/11/2018;发表日期:12/11/2018
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介绍了二项分布的概念,以及它如何可以用作一个近似的二项,泊松和高斯分布早些时候与不同的方法从现有的文献。由于离散随机变量X的本质,一个更合适的方法,数学归纳法原理(PMI)作为一种替代方法用于二项随机变量的限制行为。研究证明了de 'Moivres拉普拉斯定理(二项分布为高斯分布的收敛)的所有值p, p p≠0, p≠1使用直接的方法,反对流行和最广泛使用的间接矩生成函数的方法。
伯努利分布、二项分布、泊松分布、正态分布、数学归纳法原理,融合,生成函数。AMS主题论述:60 b10 60 e05 60 f25
如果X是一个随机变量,函数f (X),其价值是P (X = X)为每个值X的范围称为概率分布(1]。有各种概率分布应用于科学、工程和社会科学。他们很多在某种程度上,没有单一的文学能给他们的综合列表。伯努利分布是最简单的概率分布在文学之一。一个实验组成的只有两个相互排斥的可能的结果,成功或失败,男或女,生或死,缺陷或缺陷、现在或缺席称为伯努利试验(1- - - - - -3]。这些独立的试验有一个共同的成功概率p首次研究了瑞士数学家,雅克·伯努利在他的书中《发表在他死后由他的侄子尼古拉斯八年(1713年2,4- - - - - -8]。
定义1.1(伯努利分布)
如果X是一个随机变量的值为1时,伯努利试验是成功(成功概率pє(0;1))和值0伯努利试验时失败(失效概率q = 1 - p),那么X称为伯努利随机变量概率函数。
(1)
函数(1),0 < p < 1和p + q = 1,称为伯努利概率函数。
分布在现实生活中很少应用情况,因为它简单,因为它没有力量的建模指标变量,因为它被限制为一个事件发生与否的概率p和1 - p,分别为(9]。尽管这种限制,伯努利分布(聚合)许多化合物和广泛使用健壮的分布;n-Bernoulli二项分布,极限值二项分布的泊松分布,二项分布在特定条件下产生高斯分布等等(1]。
收敛的一个特定的概率分布到另一个和其他相关的概念,如限制概率函数的价值或打样中心极限定理和定律大量被许多作者彻底处理文献[10- - - - - -13]。所有这些研究采用矩生成函数(mgf)方法,也许是因为很容易呼吸道和涉及到的数学不太严格。基于他们的方法(mgf方法),他们能够与一个有效的证据,因为建立融合的独特属性mgf断言。
定义1.2(唯一性定理)
假设FX和FY是两个累积分布函数(cdf)的时刻存在,如果r.v mgf的存在。X和Y、MX(t) = MYt (t)中所有t - h < < h, h > 0,然后,FX (u) = Y为所有u (u)。也就是说,f (x) = f (Y) u。
这种方法的局限性是mgf所有分布不存在,然而,特定的分布方法正常或收敛于其他一些指定条件下(年代)。例如,对数正态分布没有mgf,还是它收敛于正态分布(14,15]。一个标准的/更一般的定理的直接证据使用任何分布的特征函数定义(10,11,13,16- - - - - -19]。认为,直接证明收敛的概率密度函数(pdf)到另一个pdf n增加无限期是严格的,因为它是基于使用特征函数理论涉及复杂的分析,仅主要研究高等数学专业高校学生和教授理解。在本文中,我们采用直接的方法来证明二项分布,泊松分布和高斯分布的收敛性与一个清晰的解释和支持我们与丰富的定理引理来促进和提高学生理解不管他们的数学背景相对于他们的水平。
论文的结构如下;我们在第二节提供一些有用的初步结果,这些结果将在第三节中使用我们给二项细节融合的伯努利方程,泊松和高斯分布。第四部分包含了一些结论。
在本节中,我们国家一些结果将用于各种第三节中给出证明。
证明2.1这个引理的证明如下:使用二项式级数展开,
可以表达如下;
以前面的极限方程为n→∞
的皇家前面的方程是相同的麦克劳林级数展开的e-λ。因此,
(2)
引理2.2证明
证明2.2
(3)
引理2.3(斯特林近似原理)给定一个整数α;α> 0,大量的阶乘α可以替换为近似
2.3这个引理证明可以使用的积分定义派生的阶乘,
(4)
注意,被积函数的对数的导数可以写
被积函数与贡献大幅见顶重要的只有x =α附近。因此,让x =α+δδ≤α,和写作
(5)
的指数(5)给每一方
(6)
将(6)插入积分为α表达!(4)提供
(7)
(7),假设
从代数I2转换为极坐标收益率δ=ρcosθ,k =ρsinθ和δ2 + k2 =ρ2。雅可比矩阵的转换(J)
因此,
取代了我在(7)
(8)
伯努利概率函数二项概率分布
伯努利定理3.1(收敛的二项)
假设结果标注在n伯努利试验,成功与失败,他们各自的概率p和q = 1 - p。如果Sn = X总数n伯努利试验,成功的概率X的函数是什么?换句话说,什么是P [Sn = x]或[x = x] x = 0、1、2……) ?
证明3.1为了解决这个问题,让我们先考虑获得成功的事件的每个第一次x伯努利试验其次是失败在每个剩余的n *伯努利试验。这个事件的概率计算,让si表示事件的成功和fi我失败的事件th伯努利试验。然后,我们所寻求的概率P (s1s2….sxfx外汇+ 2 + 1…fn)。现在,因为我们正在处理重复表演相同的实验(伯努利实验),事件s1s2…。sxfx外汇+ 2 + 1…fn是独立的。因此,x成功的概率和n *失败在一个特定的顺序指定的下面
(9)
事实上,成功的概率x和n *失败在任何一个特定的顺序是px (1 - p) n *。因此,的概率到底是x成功n伯努利试验的方法的数量乘以x成功中可能发生n试验数量px (1 - p) n *。现在,x的多种方式成功n试验中可能出现的数量不同的安排是一样的n个元素的x是一种另一种的(成功)和n *(失败)。在计算技术中,这个数字是二项式系数
(10)
总之,Sn的概率函数或X n伯努利试验的成功,是产品(9)和(10)
(11)
这个概率函数叫做二项式概率函数或二项概率分布,或者仅仅是二项分布的二项式系数的作用推导函数的具体表达式。鉴于其重要性在概率论与数理统计是一个特殊的符号函数,我们将看到在下面给出的定义。
定义3.1(二项式概率函数)
让nєz + i。e,是一个正整数,p和q是概率,与p + q = 1。函数(11)
被称为二项概率函数。一个随机变量是二项分布,和被称为二项随机变量,如果它的概率函数是二项概率函数。
二项概率函数泊松概率函数
在本节中,我们倾向于采取不同的方法(数学归纳法原理)表明,n的伯努利试验数趋于无穷时,二项式概率binom [X = X; n, p]收敛于泊松概率POI [X = X,λ]提供的值p可以随n这np仍然等于λn的值。这是正式规定在以下定理,这被称为泊松限制法律/定理。
定理3.2(泊松极限定理)
如果p随n, np =λλ是一个积极的常数,
证明3.2需要显示,当n→∞, p↓0和np→λ(常数),有(氮、磷)→D X X是泊松意味着λ。使用(11),如果x = 0
从公式(3.2),当n→∞, p↓0和np→λ(常数)
类似的;当x = 1
同样,当x = 2,
x = k,
因此,
(12)
现在x = k + 1
前面的方程的分子和分母同时乘以(n - k)
注:如5 X 4 != 5 !,so (n-k)(n-k-1)!=(n-k)! and (k+1)!=(k+1)k!
从(12),方括号内的限制
因此,
(13)
因为这是对x = 0, 1, 2,…, k和k + 1,那么这是真的
。也就是说,
(14)
这是所需的泊松概率分布函数引入由法国数学家西缅丹尼斯泊松(1781 - 1840)。
定义3.2(泊松随机变量)随机变量X,承担其中一个值0,1,2,…,(随机事件发生地区的计算时间和空间)是一个泊松随机变量与参数λλ> 0,
方程(14)定义了概率质量函数,
(15)
3.1讲话因此,当n和p大是小,我们展示了使用数学归纳法原理方法与参数λ是一个很好的近似泊松分布的“n”的成功独立的伯努利试验。
在概率论,de Moivre拉普拉斯定理断言,在某些情况下,概率质量函数的随机数的“成功”的一系列n个独立的伯努利试验,每个成功的概率p,收敛于正态分布的概率密度函数意味着np和标准偏差
随着n大,假设p不是0或1。这个定理出现在第二版的亚伯拉罕de Moivre机会的原则,出版于1738年(6,17]。尽管de Moivre没有使用术语“伯努利试验”,他写的次数的概率分布“头”出现在硬币扔3600倍。他证明了p = 1/2的结果7,20.,21]。在本文中,我们支持证明所有值p, p≠0 p≠1。
定理3.3 (de Moivre拉普拉斯极限定理)随着n大,x在附近的np可以近似
(16)
在某种意义上,左边比右边收敛于1 N→∞, x→∞和p不太小,不太大。
证明3.3从方程(11),二项概率函数
(17)
因此通过引理(2.3)
分子和分母都乘以
,我们有;
(18)
改变变量x = Np +εε测量距离的均值二项Np,和被测量r。二项的方差是Np (1 - p),所以从Np是典型的偏差(x)
。的形式
因此会订单吗
并将小。
重写(18)ε。
(19)
重写(19)的指数形式
(20)
假设f (x) = ln (1 + x)使用麦克劳林级数
和类似的
因此
(21)
(22)
把(21)和(22)(20)和简化
回想一下,x = Np +ε这意味着ε2 = (x-Np) 2。从二项分布Np =μ和Np (1 - p) =σ2也暗示
做适当的替换这些在上面的方程(23)提供;
(24)
我们很容易地导出方程(24)普遍在世界任何地方,通常被称为正常或高斯分布。
定义3.3(正态分布)连续随机变量X的正态分布,据说是正态分布,并被称为正常随机变量的概率密度函数可以定义如下:让μ、σ是常数-∞<μ<∞和σ> 0。函数(24)
被称为正态概率密度函数的参数μ、σ。
毫无疑问,正常的概率密度函数是最重要和最广泛使用的分布统计信息(20.]。它也被称为“高斯曲线”命名的数学家卡尔·弗里德里希·高斯。
验证方程(24)是一个合适的概率密度函数与参数μ和σ2显示积分
= 1。
改变变量的集成,允许
这意味着dx =σdz。然后
现在
或者同样的
这里x;y是虚拟变量。转换到极坐标通过替换x = r cosθ,y = rsinθ产生变换的雅可比矩阵
(25)
所以
把
因此,
因此我= 1,表明(24)是一个适当的p.d.f。
现在众所周知,二项随机变数是伯努利r.v先验知识的总和。。年代,毒药随机变数来自二项与n (n伯努利试验)无限增加,p降低为0,这样np =λ(常数),此外,当n(伯努利实验的试验数量)增加没有绑定和p≠0, p≠1(即p适中),由此产生的极限分布是高斯的意思(μ)= np和方差(σ2)= np (1 - p)。这个我们的替代技术提供了一个直接的方法收敛,这种材料应该教育感兴趣的,可以作为一个优秀的教学参考,只有基本的微积分和概率论与数理统计类技能处理代数表达式是唯一的背景要求。证明非常简单,只需要一个额外的知识,麦克劳林级数展开,伽马函数和基本极限概念在预赛彻底处理部分。
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