关键字 |
| 共生，平衡态，宿主，稳定，振荡。 |
介绍 |
| 生态学是研究生物与其环境之间相互作用的学科。有机体包括动物和植物，环境包括动物的周围环境。所以生态学涉及到对生物(动物和植物)的习惯和栖息地的研究。这门知识学科是进化生物学的一个分支，旨在解释生物在自然界中是如何或在多大程度上受到调控的。与种群调节问题相关的是物种分布问题——被捕食者、竞争、共生等等。 |
| 在过去的半个世纪里，数学建模在解释与自然界中个体和群体有关的一些现象方面发挥了重要作用。Lotka[13]和Volterra[17]在理论生态学领域进行了重大研究。从那时起，一些数学家和生态学家为这一知识领域的发展做出了贡献。 |
| 建模的一般概念已在Freedman[6]， Braun [5]， Paul Colinvaux[14]和Kapur[11]的论文中提出。Srinivas[16]研究了两种物种和三种物种在资源有限和无限条件下的竞争生态系统。之后，Lakshminarayan[12]研究了捕食者部分被覆盖，捕食者替代食物的捕食者-捕食者生态模型。竞争种的稳定性分析由Archana Reddy、Pattabhi Ramacharyulu和Krishna Gandhi[3]和Bhaskara Rama Sarma和Pattabhi Ramacharyulu[4]进行。Acharyulu KVLN和Pattabhi Ramacharyulu[1]、[2]在生态Ammensalism的一些数学模型上取得了丰硕的成果。Phani Kumar[15]研究了生态共生的一些数学模型。本文作者Hari Prasad[7] -[10]等人讨论了三种和四种物种生态模型。 |
| 本研究是对S1、S2、S3三种物种复合生态系统的离散模型研究。系统由一个共享主机(S1)、两台主机S2和S3组成。共生是两个或两个以上生活在一起的种群之间的共生相互作用，其中只有一个种群(共生)受益，而另一个(宿主)不受影响，例如小丑鱼躲在海葵的触手中，而海葵不受影响。 |
模型的基本方程 |
| A.采用的符号 |
| S1: S2和S3的共体 |
| S2: S1的主机，S3的共体 |
| S3: S1和S2的主机 |
| Ni(t): Si在时刻t时的总体强度，i = 1,2,3。 |
| t:时间瞬间。 |
| ai: Si的自然生长率，i = 1,2,3。 |
| a33: S3的自抑制系数。 |
| a12, a13: S1因S2与S1因S3的相互作用系数。 |
| a23: S2与S3的相互作用系数 |
| 此外，变量N1、N2、N3为非负常数，模型参数a1、a2、a3、a33、a12、a13、a23为非负常数。 |
| B.基本方程 |
| 考虑物种在时间间隔(t, t + 1)内的生长情况。 |
| 第一种(N1)的方程: |
 (1） |
| 第二种(N2)的方程: |
 （2） |
| 第三种(N3)的方程: |
 （3） |
| 离散形式的种-生长方程: |
| 三物种同步生态模型的离散形式为 |
 （4） |
 （5） |
 (6） |
 (7） |
平衡态 |
| 对于连续模型，平衡态定义为i dN = 0, i = 1,2,3 dt，离散模型的平衡态定义为不增长的周期。 |
| 即Ni(t + r) = Ni(t)， r = 1,2,3，...........，where r is the period of the equilibrium state. |
| A.单周期平衡态(阶段i) |
 （8） |
 （9) |
| 所研究的系统有两个平衡态 |
| (i)完全冲刷状态 |
| 艾凡:n ?0 n ?0 n ?0 |
| (ii)只有第三种物种存活的状态 |
| E: N = 0, N = 0, N =，当1 |
| B.平衡态的稳定性 |
| E1(0,0,0)的稳定性: |
| N1 (t) = N1 (t + 1) = N1 (t + 2 ) = .....................= 0 |
| N2 (t) = N2 (t + 1) = N2 (t + 2 ) = .....................= 0 |
| N3 (t) = N3 (t + 1) = N3t + 2 ) = .......................= 0 |
| 即Ni(t + r)=0，其中r是整数，i = 1,2,3 |
| 因此，E1(0,0,0)是稳定的。 |
| E2的稳定性: |
| N1 (t) = N1 (t + 1) = N1 (t + 2 )= .....................= 0 |
| N2 (t) = N2 (t + 1) = N2 (t + 2 )= .....................= 0 |
| N3 (t) = N3 (t + 1) = N3 (t + 2 )= .....................= 3 |
| 即Ni(t + r) = 0, N3(t + r) = 3 33 1 a ?？，其中r为整数，I = 1,2 |
| 因此，E2是稳定的。 |
| 在这个阶段，两个平衡态E1和E2都是稳定的。 |
| C.两周期平衡态(阶段- ii) |
 （10） |
 （11） |
| 所研究的系统有五个平衡态 |
| (i)完全冲刷状态 |
 |
| (ii)只有第三种物种存活的国家 |
 |
| 状态E3和E4什么时候重合?？3和不存在3什么时候?？3. |
| D.平衡态的稳定性 |
| 平衡态E1和E2如III-B所建立的那样稳定。在这一阶段，我们将讨论除这两点以外的其他平衡点的稳定性。 |
| E3的稳定性: |
| N1 (t) = N1 (t + 1) = N1 (t + 2 ) = .....................= 0 |
| N2 (t) = N2 (t + 1) = N2 (t + 2 ) = .....................= 0 |
| 即Ni(t + r) = 0，其中r是整数，i = 1,2 |
 |
 |
 |
| 其中r是整数。 |
| 当3 ?？3. |
| E4的稳定性: |
| N1 (t) = N1 (t + 1) = N1 (t + 2 ) = ..................= 0 |
| N2 (t) = N2 (t + 1) = N2 (t + 2 ) = ..................= 0 |
| 即Ni(t + r) = 0，其中r是整数，i = 1,2 |
 |
| 其中r是整数。 |
 |
| 当3 ?？3. |
| E5稳定性: |
| N1 (t) = N1 (t + 1) = N1 (t + 2 ) = .......................= 0 |
| N2 (t) = N2 (t + 1) = N2 (t + 2 ) = .......................= 0 |
| N3(t) = N3(t + 1) = N3(t + 2) = .........................= 33 |
| 即Ni(t + r) = 0, N3(t + r) = 33 2a，其中r是整数，i = 1,2 |
| 因此，E5是稳定的。 |
| 在这一阶段，所有五个平衡态中，只有E1、E2、E5三个平衡态是稳定的，其他两个E3、E4是振荡的。 |
数值例子 |
| 离散模型方程(4)、(5)和(6)的数值解计算了各参数的特定值和初始条件。为此，使用了MS EXCEL，结果如图1至5所示。 |
结论 |
| 本文研究了一个三物种同步生态系统的离散模型。该系统包括一个共享(S1)，两个主机S2和S3，即。，S2 and S3 both benefit S1, without getting themselves effected either positively or adversely. Further S2 is a commensal of S3, S3 is a host of both S1, S2 and the first and second species have unlimited resources. All possible equilibrium points of the model are identified based on the model equations at two stages. |
| 第一阶段:?？？？i i N t +1 = N t;I = 1,2 |
| 第二阶段:?？？？i i N t + 2 = N t;I = 1,2 |
| 在阶段i中只有两个平衡点，而在阶段ii中有五个平衡点。阶段i的两个平衡点都是稳定的，而阶段ii只有三个平衡点是稳定的。进一步计算了离散模型方程的数值解。 |
鸣谢 |
| 感谢印度理工学院数学系N.Ch.Pattabhi Ramacharyulu教授(Retd)的宝贵建议和鼓励。同时我也要感谢Mr.K.Ravindranath Gupta为这篇研究论文简洁的打字。 |
数字一览 |
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参考文献 |
- acharyaryulu . v.l.n .和N.Ch PattabhiRamacharyulu.;“在有限资源条件下收获的敌种对的稳定性”，国际逻辑智能系统杂志，第4卷，第1期，页。1 - 16, 2010年1月至6月亚太地区。
- 阿查鲁鲁K.V.L.N & N.Ch帕塔布·希拉玛查鲁鲁;“三物种生态系统的ammenal - prey”，《国际计算认知杂志》，第9卷，第2期，页30-39,2011年6月。
- Archana Reddy R, Pattabhi Rama Charyulu N.Ch。，and Krisha Gandhi B, A Stability Analysis of Two Competetive Interacting Specieswith Harvesting of Both the Species at a Constant Rate, Int. J. of Scientific Computing 1 (1), 57 – 68, 2007.
- Bhaskara Rama Sharma B和Pattabhi Rama Charyulu N.Ch。，Stability Analysis of Two Species Competitive Eco-system, Int.J.of LogicBased Intelligent Systems 2(1), 2008.
- Braun, M.:“微分方程及其应用——应用数学科学”，(15)，施普林格，纽约，1978。
- 弗里德曼,做艾滋病病毒:“种群生态学中的确定性数学模型”，Marcel-Decker，纽约，1980年。
- 王晓明，王晓明，王晓明:“三物种同步生态系统的稳定性研究”，《数学学报》，3(10)，pp: 3583-3601, 2012。
- HariPrasad。B和Pattabhi Ramacharyulu.N.Ch。，On the Stability of a Four Species : A Prey-Predator-Host-Commensal-Syn Eco-System-VII (Host of the Prey Washed Out States), Int. Journal of Applied Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1-2, pp.8594,2011.
- HariPrasad。B和Pattabhi Ramacharyulu.N.Ch。，On the Stability of a Four Species Syn Eco-System with Commensal Prey Predator Pairwith Prey Predator Pair of Hosts-VII (Host of S2 Washed Out States), Journal of Communication and Computer, Vol.8, No.6, pp.415 –421, 2011.
- 王晓明，王晓明，王晓明:“一种基于捕食-捕食-寄主-共生的生态系统稳定性研究”，《生态学报》，2013年第3卷，第1期，pp:275- 29,2013。
- 徐志刚，数学建模在生物与医学中的应用，中华民国科学院学报，1985。
- 王志强，一种基于捕食者与捕食者的生态模型，博士学位论文，南京交通大学，2005。
- 《物理生物学的要素》，威廉姆斯和威尔金，巴尔的摩，1925年。
- 《生态学》，约翰·威利，纽约，1986。
- 刘志军，生态共生关系的数学模型，硕士论文，农工大学，2010。
- Srinivas N. C.，“生物医学科学中建模的一些数学方面”博士论文，Kakatiya大学，1991年。
- Volterra V.， Leconssen La theory - emathematique De La LeittePouLavie, Gauthier-Villars，巴黎，1931。
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