关键字 |
| 图像反褶积,交替方向法乘数(小组ADMM),边界条件,周期性反褶积,修补,帧。 |
介绍 |
| 反褶积是一个反问题,导致观察到的图像建模为模糊滤波器的卷积,可能紧随其后的是噪音,和我们的目标是估计底层图像和模糊过滤器。在反褶积,像素附近观察图像的边界取决于像素(未知的图像)以外的领域。典型的形式化这个问题的方法是采用一种所谓的边界条件(BC)。 |
| •公元前周期指的是图像重复向四面八方扩散。它可以通过FFT实现矩阵表示。 |
| •公元前零假设一个黑色的边界,因此,图像的像素在吟游诗人零值,因此矩阵代表卷积block-Toeplitz,托普利兹块。 |
| •Inreflexiveand anti-reflexive BCs,像素在图像域是一个morror图像边界附近,分别使用奇数还是偶数对称。 |
| 为了简单起见和计算方便,最快速的反褶积算法假设周期公元前,allowingconvolutions的优点是有效地使用FFT。然而,如图1中所示,这些公元前notaccurate,很不自然的大多数成像系统的模型。反褶积算法忽略这种不匹配,错误地认为周期性BCleadtothewellknownboundaryartifacts。更好assumptionaboutthe图像边界只是他们未被注意的/未知,哪些模型规范的成像系统,一个图像传感器捕捉到百磅的图像投影镜头的一部分。周期性边界条件的假设(自然),见图1所示。 |
| 公元前二次正规化,图像反褶积与周期对应于一个线性系统,即:相应的矩阵可以有效地倒在DFTdomain使用FFT。 |
| 该技术框架下反褶积analysisnon-smooth正规化;这项工作提出了一种algorithmbased变量分裂和二次处罚,使用方法解决线性系统在每个迭代。方法有关,但这不是小组ADMM,因此有noguarantees收敛于原目标函数的最小值。尽管在小组ADMM提到使用方法的可能性,这种选择没有探索。基于框架下的图像反褶积分析模型的正则化使用小组ADMM继承之前的所有理想的属性ADMM-based反褶积方法:所有的更新方程(包括矩阵求逆)可以有效地计算不使用内部迭代;收敛是正式担保。 |
小组ADMM |
| 小组ADMM我们的特定问题的应用涉及到解决线性系统与未知的图像的大小或规模表示。虽然这看起来像是一个不能克服的障碍,我们表明,情况并非如此。在许多问题,例如(圆形)反褶积,失踪的再生产样品,或重建局部傅里叶的观察,这个系统可以很快解决了封闭形式(O (n)或O (n log n)成本)。对于问题(1)的形式,我们展示如何利用W是一个紧帕框架,这个系统仍然可以有效地解决(通常与O (n log n)成本。 |
| 我们报告结果的一组基准问题,包括图像反褶积,恢复丢失的像素,从局部傅里叶变换和重建,同时使用框架正规化。在所有的实验中,生成的算法是一致和速度大大快于前一状态的艺术方法FISTA,扭曲,SpaRSA。 |
| 考虑无约束优化问题的一个概括 |
 (1) |
在哪里 均服从矩阵,然后呢 是凸函数。小组ADMM提出的实例so1lve(1)提出了算法1, 表示第j块ζ在接下来的分区 |
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| 和一个类似的符号用于英国和dk。 |
| 行4和6这个算法的主要步骤和那些可以带来计算挑战。这些步骤,然而,wereshown快速封闭在一些情况下感兴趣的解决方案。特别是在第4行cansometimes矩阵求逆(例如,在周期性反褶积问题)computedcheaply,利用矩阵反演引理,FFT和otherfast转换(见[1,13]),而第6行对应于一个so-calledMoreau接近运营商(MPO),定义为 |
 (2) |
| f的几个选择,proxf有一个简单的封闭形式。 |
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条件下,(1)有一个解决方案,算法1继承的收敛担保小组ADMM [11]。对于我们的配方,充分条件算法1的收敛到一个解决方案是: 会功能gi是适当的,关闭,凸;矩阵 满列秩(()*表示共轭转置矩阵/向量,然后呢 |
建议的方法 |
答:图像与公元前周期性反褶积: |
| 本节回顾了公元前ADMM-雷竞技苹果下载based图像反褶积方法周期,使用框架配方,这类的标准regularizers成像逆问题。 |
我们首先考虑使用通常的观察模型在图像反褶积与定期公元前:y = Ax + w 是向量包含所有像素(按要求)的原始和观察到的图像,分别w表示高斯白噪声,然后呢 是代表(周期性)卷积矩阵滤波器。框架分析方法,估计图像, 获得的是 |
 (3) |
在哪里 一些框架的分析操作符(例如,一个冗余小波框架或框架曲波),Ø是调整鼓励框架分析的向量系数是稀疏的,和λ> 0是正则化参数。Ø典型的选择,在此采用 |
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| 问题(5)可以书面形式(3),与J = 2 |
 (4) |
 (5) |
 (6) |
 (7) |
| g1and g2的运营商,关键部件的算法的简单表达式1(第6行), |
 (8) |
 (9) |
| “软”表示知名不足函数在哪里 |
 (10) |
迹象,马克斯和绝对值函数离散,然后呢 表示特定组件的产品。算法1的4号线(其他关键组件)的形式 |
 (11) |
| 假设P(即对应于一个Parseval1帧。,P*P =I, although possibly PP*≠I the matrix inverse in (11) is simplycomputed in the DFT domain |
 (12) |
| U和U *的代表DFT的酉矩阵及其逆,Λ是对角矩阵的DFT系数卷积的内核(即。,= U *ΛU)。 |
(12)的反演O (n log n)成本,因为矩阵 对角线,产品U和U *可以使用FFT计算。每个应用程序的主要成本(11)(4算法1行)也因此O (n log n)成本(12)或由P *产品的成本。对于大多数紧框架用于图像恢复,这种产品有快速O (n log n)算法。 |
| 我们得出结论,在周期性BC和对于一大类帧,每个迭代算法1的解决(3)O (n log n)成本。最后,这个实例的小组ADMM收敛担保,因为:(1)g2是强制性的,因此目标函数(3),因此它的解集非空,(2)g1和g 2,关闭,凸函数;(3)matrixH(2) =我显然已经满列秩,这意味着G =(*我*)也满列秩。 |
b图像反褶积与未知的边界: |
| 与未知边界来处理图像,我们模型的边界像素觉察,这是实现 |
| y = MAx + n (13) |
| whereM∈{0,1} m×m (m < n)是一个掩蔽矩阵,即。,a matrix whose rows are a subset of the rows of an identity matrix. The role of M is to observe only the subset of the image domain in which the elements of Axdo not depend on the boundary pixels; consequently, the BC assumed for the convolution represented by A is irrelevant, and we may adopt periodic BCs, for computational convenience. |
假设一个模型与模糊滤波器卷积有限大小的支持 ,x和Axrepresent广场的图片尺寸√n×√n,然后矩阵M∈Rmxn ,代表的一个乐队最外层像素宽度l的完整的Ax卷积图像。问题被视为反褶积和修补的结合,在丢失的像素构成了未知的边界。如果M =我,模型可以减少到一个标准的周期性反褶积问题。相反,如果一个=我,问题变成了一个纯粹的修复问题。此外,制定问题不仅可用于模型问题的边界,而且其他像素,失踪,如标准图像修复。 |
| 根据模型(13),框架分析公式(1)的变化 |
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| 在这一点上,一个可能会(14)映射到(1)使用(4),(5,(7),简单地改变(6) |
 (15) |
| 这种选择的问题是矩阵中倒4号线算法1将成为 |
 (16) |
| (13)不同,不容易可逆的由于存在M .侧步这个困难,我们建议解耦的作用(DFT对角线)算子的空间算子,通过保持(7)、(8)和(9),并替换(4) |
 (17) |
| 这个选择,算法1的4号线仍由(13)(其高效FFT-based实现(14)),而面具peratorM仅影响男人接近的运营商新的g1, |
 (18) |
 (19) |
| 注意,由于M的特殊结构,矩阵M * M是对角线,因此反演(18)O (n)成本,相同的是对产品M * y,它对应于扩展观察图像x y的大小,通过创建一个边界的零。当然,两个(M * M +μ1我)−1和M *可以预先计算的,然后使用整个算法,只要μ1保持不变。类似于公元前周期所显示的是什么情况,该小组ADMM方法与未知的边界由模糊变清晰的主要成本每迭代O (n log n)。考虑到我们的方法的相似性与3.1节之一,它足以确认新的g1in(16)是正确的,关闭,和凸(显然是这样),保证了小组ADMM算法的收敛性。 |
实验 |
本报告在实验中,我们使用基准莉娜图像大小(256×256),用两种不同的模糊(无所不能的集中和统一),19×19(即所有的大小。,2 l + 1×(2 l + 1),和我= 9),在两个不同BSNRs(模糊信号噪声比):40 db, 50 db, 60分贝。我们专注于大型模糊的原因是边界条件的影响非常明显,在这种情况下。在每个退化图像,该算法提出了Section3.2运行,以及定期的版本(3.1节),没有预处理耐受规定观察到的图像与一个¢edgetapperA¢MATLAB函数。时,算法停止 λ是调整收益率最高重建图像的信噪比。 |
| 模拟研究涉及的输出方法基于小组ADMM所示图三:它包括原始图像和退化图像后执行小组ADMM算法会产生估计图像。成本函数将显示迭代得到的数量估计图像的退化图像。ISNR值估计图像列表的表。2小组ADMM中使用基于框架分析。 |
结论 |
| 最近提出了一个新的策略来扩展快速图像反褶积算法,基于交替方向法乘数(小组ADMM),与未知的边界条件问题。认为基于框架的分析公式,给出了收敛算法提出的担保。实验表明结果的修复质量。正在进行的和未来的工作包括theinstead公元前采用一个标准或边界平滑计划,一个更现实的模型,实际成像系统将外部边界像素视为未知;即。,the problem is seen as one of simultaneous deconvolution and inpainting, where the unobserved boundary pixels are estimated together with the deconvolved image. |
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表乍一看 |
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| 表1 |
表2 |
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数据乍一看 |
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引用 |
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(1)
均服从矩阵,然后呢
是凸函数。小组ADMM提出的实例so1lve(1)提出了算法1,
表示第j块ζ在接下来的分区
(2)
会功能gi是适当的,关闭,凸;矩阵
满列秩(()*表示共轭转置矩阵/向量,然后呢
是向量包含所有像素(按要求)的原始和观察到的图像,分别w表示高斯白噪声,然后呢
是代表(周期性)卷积矩阵滤波器。框架分析方法,估计图像,
获得的是
(3)
一些框架的分析操作符(例如,一个冗余小波框架或框架曲波),Ø是调整鼓励框架分析的向量系数是稀疏的,和λ> 0是正则化参数。Ø典型的选择,在此采用
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(10)
表示特定组件的产品。算法1的4号线(其他关键组件)的形式
(11)
(12)
对角线,产品U和U *可以使用FFT计算。每个应用程序的主要成本(11)(4算法1行)也因此O (n log n)成本(12)或由P *产品的成本。对于大多数紧框架用于图像恢复,这种产品有快速O (n log n)算法。
,x和Axrepresent广场的图片尺寸√n×√n,然后矩阵M∈Rmxn
,代表的一个乐队最外层像素宽度l的完整的Ax卷积图像。问题被视为反褶积和修补的结合,在丢失的像素构成了未知的边界。如果M =我,模型可以减少到一个标准的周期性反褶积问题。相反,如果一个=我,问题变成了一个纯粹的修复问题。此外,制定问题不仅可用于模型问题的边界,而且其他像素,失踪,如标准图像修复。
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(16)
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(18)
(19)
λ是调整收益率最高重建图像的信噪比。
