关键字 |
| 分数阶数字微分器，分数阶导数，最小二乘法，分数阶微积分。 |
介绍 |
| 分数阶微积分是一个有300年历史的话题，在分数阶微积分领域已经做了很多工作。在过去的三个世纪里，几位数学家研究了这一课题，直到最近几年，它才被应用于工程、科学和经济学的几个应用领域。然而，近年来专门针对分形科学理论尝试将分数阶导数定义为局部算子。近年来，分数阶微积分在许多工程领域受到了广泛的关注。分数阶数字微分器是分数阶微积分领域的一个重要课题，因为它计算的是没有已知函数的数字信号的分数阶导数。人们对这一领域感兴趣的主要原因是，自然界中存在一些系统，它们的响应可以在分数阶导数的帮助下准确地研究。分数阶基本上表明系统的阶数是非整数的，因为函数的导数可以写成 |
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| 如果n的值是一个非整数。N =1/2可以写成as的导数 |
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| 因此，通过使用函数，我们可以计算一个整数阶函数的分数阶导数。在分数阶微积分领域中，已经实现了几种计算信号分数阶导数的方法。 |
| 在本文中，我们将Savitzky-Golay方法可视化地用于提高受噪声污染信号的性能。各种其他方法也提出了有效的平滑信号和计算其分数阶导数。但这些微分器不适用于计算污染信号的分数阶导数，也采用了遗传算法，但由于计算量大，效率不高。Savitzky-Golay滤波器是一种回归技术，可以估计污染信号的整数阶导数，但不能估计分数阶导数。为了克服这一问题，利用最小二乘法和Riemann-Liouville技术，提出了一种分数阶Savitzky-Golay微分器(FOSGDD)，用于估计污染信号的分数阶导数。在本文中，我们进一步应用了不同的信号来验证所提出的工作。同时计算了计算时间，以说明该方法的效率。 |
| 由于啁啾信号和分数阶微分器可以有效地应用于雷达和声纳领域，我们将啁啾信号应用于该微分器中。啁啾信号主要在声纳和雷达中观测到。啁啾信号可与扫描信号互换使用。它在扩频通信等领域也有广泛的应用，因此将啁啾信号应用于分数阶微分器具有广阔的应用前景。 |
相关工作 |
| 我们研究了S-G (Savitzky-Golay)滤波器的定义和性质，并提出了如何使用脉冲序列的多项式近似轻松地设计它们。与大多数S-G滤波器的考虑相反，我们专注于频域特性，并提供了3-dB截止频率作为多项式阶的函数的近似公式。脉冲响应半长??具有频域思维的工程师可能会发现，如果他们选择在应用程序[6]中使用S-G滤波器，这很有用。采用SG滤波器实现分数阶微分器，并验证了该方法的有效性。将所提方法与几种常用方法进行了比较，分析表明所提方法优于其他所有方法。定义了幂函数的分数阶导数。然后，通过求解Vandermonde形式的线性方程，得到分数阶微分器的脉冲响应。最后，通过一个算例说明了利用所提出的滤波技术可以很容易地计算数字信号的分数阶导数。与以往的方法[5]相比，本文提出了简单的递归公式来设计误差较小的分数阶微分器。 |
设计方法 |
| 我们想要平滑给定的均匀采样信号，并使用大小的滤波窗口估计其阶导数，因为，是一个不，这样我们就可以计算最小二乘多项式。 |
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| 其中为多项式函数，度为拟合给定信号的系数。如果要准确计算系数，将采用最小二乘法，为了更好地实现(3)可以写成矩阵形式为 |
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| 式中为滤波窗口内的实测信号点，为多项式函数的系数向量，为估计误差，为× + 1) Vander-monde矩阵，记为 |
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| 我们可以通过使实际数据与拟合点之间的误差平方和最小来获得最佳拟合多项式的系数，从而可以得到 |
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| 利用(6)，我们将得到给定信号的估计 |
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| 式中为移动窗口系数矩阵，我们将使用该矩阵对给定信号进行平滑。如果我们想平滑信号的值，我们将使用的系数来实现。(3)的整数阶导数为 |
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| 因此，给定信号的阶导数可由 |
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| 其中，表示点的阶导数，表示导数的系数，表示移动窗口的系数。当等于零时，(9)等价于(7)，可用于对给定信号进行平滑 |
| 利用Riemann-Liouville定义，将Savitzky-Golay微分器由整数阶推广到分数阶。 |
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| 其中0是函数。假设信号为，则上式为。 |
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| 如果a是整数，则分数阶微分等价于整数阶。在该方法中，操作是线性的，并遵循线性规则。利用这些性质，最终结果可以写成 |
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| 这里a是由 |
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| 从前面的方程可以看出，矩阵是影响计算时间的关键。如果太大，我们在计算时会遇到问题，所以为了有效地克服这个问题，我们会增加观测信号的采样间隔。 |
仿真结果 |
| a .本节将验证所提算法的准确性。首先，我们将计算给定且采样间隔为1的移动窗口的点权重的系数。表1给出了给定信号的结果。对于using函数中给定结果的验证，如果= 5，可以写成与表1最后一列的结果相同。 |
| b .在本节中，我们将计算不同值的，和1的移动窗口系数，结果如表2所示，从结果中验证了该方法对于计算信号的分数阶导数是有效的。表2给出的结果与(11)计算的结果相同。 |
| C.在本节中，我们将使用所提出的微分器来平滑受均匀分布随机噪声污染的给定信号。取，在0.2的区间内从0.1变化到0.9，平滑信号的结果如图1所示。固体曲线表示被污染的信号，其他曲线表示不同值的结果。结果表明，该微分器对污染信号具有良好的平滑性能。 |
| d .在本节中，我们将把啁啾信号应用到所提出的微分器上，所应用的信号可以写成 |
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| 在这里，我们将与几种流行的方法进行比较，如Tustin方法，Oustaloup方法，Euler方法，Al-Alaoui方法，Simpson方法和New IIR方法，其中微分阶为0.5,k = 200, n= 9。图2显示了不同方法的对比。 |
| 图2中，平面线上的曲线为理想曲线，星号处的曲线为提出方法的曲线，其余为不同方法的曲线，从图中可以看出，FOSGDD的性能优于其他方法，并计算了不同方法的RMS误差，分数阶为0.3 ~ 0.9，区间为0.2。从结果可以看出，FOSGDD方法可以有效地平滑信号并计算其均方根误差。从表3可以分析出，FOSGDD方法的响应远远好于其他方法。 |
| 在误差比较中，我们分析了该方法在无噪声和污染啁啾信号实验中均优于其他方法。在无噪声的情况下，我们观察到其他方法同样有效，但RMSE误差相对较大，但当比较有噪声信号时，所有其他方法的响应都低于平均水平，错误率较高。该方法具有较强的鲁棒性，使用简单、快捷。 |
| 在此基础上，对不同的噪声平滑方法进行了比较。结果如图3所示。在本实验中，我们将加入随机噪声的信号应用于微分器。结果表明，该方法是求解啁啾信号导数的有效方法。 |
| 信号在法线处表现较理想，在星号处提出的方法与其余方法不同。结果表明，该方法完全消除了噪声，并从表中验证了该方法与其他方法相比具有较低的均方根误差。 |
| 对于均方根误差的计算，我们可以写成 |
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| 其中估计信号响应，z =理想信号响应，n =样本数 |
| 通过计算均方根误差(RMSE)，验证了该微分器的响应优于其他方法，是同类微分器中唯一用于平滑和计算分数阶导数的微分器。 |
| 在表4中，计算了不同方法的计算时间，可以看出FOSGDD的计算时间非常少。该方法计算信号导数的时间较短，在实际应用中具有较好的应用价值。 |
结论 |
| 本文提出了一种实现分数阶微分器的设计方法。本文采用最小二乘法和Riemann-Liouville方法对所提出的方法进行了实现，实验分析表明该方法能准确估计啁啾信号、正弦信号等不同信号的分数阶导数。它可以精确地对信号进行平滑处理，并计算其分数阶导数。这种方法的另一个优点是，与其他方法相比，它消耗的时间更少。对于受污染的信号，它比任何其他方法都要好。该方法可应用于医学图像增强。该方法可用于心电图和左室压的生物医学信号处理，需要数值微分来提取信号中包含的快速瞬态信息。 |
表格一览 |
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数字一览 |
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参考文献 |
- K. S. Miller和B. Ross，“分数阶微积分和分数阶微分方程导论”，Wiley，纽约，1993。
- K. B. Oldham和J. Spanier，“分数阶微积分”，学术出版社，纽约，1974年。
- 《泛函分数阶演算》，2011年第1期。
- 陈东东、陈永勇、薛东，“数字分数阶Savitzky-Golay微分器”，电子工程学报，vol.58, no. 1。11日,2011年。
- 曾志超，“分数阶数字FIR微分器的设计”，IEEE信号处理。信。第八卷，no。3.，pp.77-79, 2001.
- R. W. Schafer，“什么是Savitzky-Golay滤波器”，IEEE信号处理杂志，第28卷，no. 1。4, pp.111-117 2011。
- S.C Dutta Roy，“关于常数参数阻抗或分数算子的实现”，IEEE事务电路理论，vol.14, no. 1。3, pp. 264-274, 1967。
- 孙鸿辉，曹永勇，“奇异函数表示的分形系统”，电子工程学报，vol.37, no. 1。9，第1465-1470页，1992。
- A. Oustaloup, F. Levron, B. Mathieu和F. m . Nanot，“频段复杂非整数微分器的表征和合成”，IEEE事务电路系统，vol.47, no. 1。1，页25-39,2000。
- 曾志强，李世林，“基于径向基函数的分数阶数字微分器设计”，电子工程学报，vol. 29, no. 1。7, pp.1708-1718, 2010。
- M. AL-Alaoui，“新型数字积分器与微分器”，《电子通信》，第29卷，no。4，第376-378页，1993。
- 陈永强，“分数阶微分器与积分器的离散化方案”，电子工程学报，vol.49, no. 1。3，页363-367,2002。
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- S.Samadi, M.O. Ahmed和M.N.S. Swamy，“多项式信号的精确分数阶微分器”，IEEE信号处理通信，vol.11, no. 1。6, pp.529-532, 2004。
- 曾志强，“基于分数阶微分器的改进设计”，电子工程学报，vol.53, no. 1。1，页193-203,2006。
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