四缸系统建模方法分析

Jayaprakash J¹， SenthilRajan T²，哈里什先生T^3.印度塞图理工学院仪表与控制工程系助理教授

摘要

工业中的许多应用程序流程通常需要控制至少两个变量。这可以使用至少两个控制回路，使其成为多输入多输出(MIMO)或多变量系统。四缸工艺是一种由四个水箱相互连接的多变量实验室工艺。本文采用线性化原理和雅可比矩阵的形式对QTP进行数学建模，并在状态空间模型中表示系统。系统的线性化动力学有一个多变量零点，可以放置在s平面的左右半部分。利用RGA研究了控制回路之间的相互作用，并利用LabVIEW进行了分析。这个过程是理想的说明多变量控制概念和性能限制由于多变量右半平面零点。

关键字

QTP，数学建模，MIMO，状态空间模型，雅可比矩阵，线性化。

介绍

一个系统可以根据输入和输出分为各种类型，如SISO(单输入单输出)和MIMO(多输入多输出)。SISO是一个单输入和单输出的简单系统，而MIMO系统是一个有多个输入和输出的系统。QTP设计是一种著名的MIMO系统，适用于实时分析各种具有非线性动态的控制方案。有些系统不能用线性模型来表示，而需要使用非线性模型。QTP的非线性是由于质量流量关系中的平方根项，即流量与槽位之间的关系。非线性模型增加了系统优化的难度，使系统性能变差。这类系统的线性化要求系统围绕一个稳定点运行。泰勒级数展开是线性化的一种方法，它使系统逼近于给定的静止点。通常任何系统都可以用状态空间或输入-输出模型来表示。这里它处理使用前一个模型，其中状态空间表示的A, B, C和D是使用雅可比矩阵获得的。

非线性系统的稳定性可以用李亚普诺夫直接法、波波夫准则、线性化法等多种方法进行分析。通过将零点映射到实轴和虚轴上，即零点映射，可以定义非线性系统的稳定性。极点零位图是一个系统模型在复平面上的极点和零位图，其中实值在x轴上，虚值在y轴上。

许多实时MIMO系统由于输入影响多个受控变量而发生交互作用。在QTP中，1号罐与3号罐、2号罐与4号罐之间存在较强的相互作用。这是由于泵1灌装罐1和3的输入以及泵3灌装罐1的输出。罐体2和罐体4之间也存在类似的相互作用。这种相互作用对有效控制有不利影响。相对增益阵列(RGA)是多变量控制系统[3]中控制回路之间相互作用的度量。

当MIMO系统是这样的，每个输入只影响一个特定的输出，与其他输入影响的输出不同，系统是解耦的或不相互作用[8]。本文采用两种不同的建模方法对四缸过程进行了实时实现，并利用MATLAB进行了性能分析。

四罐工艺

四重罐是一个实验室工艺，有四个相互连接的罐和两个泵，如图1所示。过程输入为u1和u2(泵的输入电压，0-10V)，输出为y1和y2(电平测量设备的电压0-10V)。目标是用进口流量[9]控制较低的两个罐的液位。

每个泵的输出用三通阀分成两个。泵1由罐1和罐3共用，泵2由罐2和罐4共用。因此，每个泵的输出进入两个罐，一个较低和另一个上斜槽，流向这些罐的流量由阀门的位置控制，表示为γ。两个阀门的位置决定了系统是处于最小相还是非最小相。让参数γ由阀门的设置方式决定。

每个罐的底部都有一个排放阀。罐4的流量到罐1，罐3的流量到罐2。这种相互作用在油箱之间产生了强耦合，使其成为一个多变量控制系统。由于QTP具有很强的非线性特性，其辨识与控制问题一直是控制系统工程师的难题。从1号罐和2号罐排出的水流入底部[2]的储罐。

模型开发

为了研究在外部扰动和操纵变量变化的影响下，过程的行为如何随时间变化，并因此设计合适的控制器[4]，必须对过程进行建模。这使用了两种不同的方法，一种是实验性的，另一种是理论的。在这种情况下，为了研究其动态行为，需要对过程进行表示。这种表示通常以一组数学方程的形式给出，其解给出了过程的动态行为。[10]

对于每个i=1…4的罐，考虑质量平衡方程和伯努利定律进行数学建模，得到:

在推导系统的数学方程之前，让我们考虑，

泵1的输入为v1，泵2的输入为V2。

流量的阀门优先级设置为γ1γ2[0,1]。

施加v1电压时通过泵1的流量为k1V1，施加V2电压时通过泵2的流量为k2V2。

通过泵的流量与施加在泵上的输入电压成正比。

罐1通过阀门1后的流量为γ1k1V1，罐2通过阀门2后的流量为γ2k2V2。

罐4通过阀门1后的流量为(1-γ1) k1V1，罐3通过阀门2后的流量为(1-γ2) k2V2。

四缸过程的非线性模型如下所示。质量平衡方程表明

[累积速率]=[流入速率]-[流出速率]

利用质量守恒定律，

(1）

这里mT=容器中积累的质量

Min =输入质量流量

Mout =输出质量流量

累积质量，mT=罐体体积(v) *罐内液体密度(ρ)

输入质量流量(min) =体积流量(qin)*进口流中液体密度(ρ1)

输出质量流量(mout) =体积流量(qout)*出口流中液体密度(ρ2)

由于整个系统对液体的消耗是相同的，那么ρ= ρ1 = ρ2。

非线性四罐过程建模为:

其中Ai为槽的横截面积，hi为水位，为槽的进水量，为池的出水量=1…4。

只取决于泵的输入电压，取决于重力加速度和水箱中水的水头。利用伯努利方程和液体流速可以确定。

因此,

（4）

其中泵为常数，V1、V2为水通过泵1和泵2的流速，γ1γ2为阀比。

在那里,

Ai =出水管截面积，g =重力加速度，hi =表示每个水箱的水位i=1…4。

柜1

利用质量守恒定律，

[累积速率]=[流入速率]-[流出速率]

柜2

利用质量守恒定律，

[累积速率]=[流入速率]-[流出速率]

柜3

利用质量守恒定律，

[累积速率]=[流入速率]-[流出速率]

4罐

利用质量守恒定律，

[累积速率]=[流入速率]-[流出速率]

最终方程，

上述非线性微分方程代表了四罐系统的数学模型。该坦克正在用质量守恒定律进行数学建模。使用特定过程的数学模型为其开发控制器总是足够的。但是在QTP中存在一个挑战，由于它的非线性和不确定性，很难开发一个必须采取适当控制动作的控制器。

泰勒级数和雅可比变换

式(10)中的非线性关系是由于这些方程中存在平方根项，这使得控制器设计变得困难。为了克服这一困难，需要线性化。方程(10)通过泰勒级数加雅可比矩阵变换得到QTP的状态空间形式。在得到QTP的状态空间模型后，利用简单的转换技术[13]完成了状态空间到传递函数的转换。第一步是通过泰勒级数得到微分方程的线性逼近。

如果对QTP的数学模型进行积分，得到h1、h2、h3和h4，则得到一个无穷级数的值[14]。通常的做法是用泰勒级数的有限项来近似一个函数。微分方程的一般形式可以表示为:

我们用泰勒级数得到线性逼近。

是关于h和u的雅可比矩阵，在平衡点处求值，[

雅可比矩阵用于求解平衡点处的微分方程组或平衡点附近的近似解。

让

忽略高阶项，我们得到线性近似。

同样，如果非线性系统的输出为:

(21）

忽略高阶项，我们得到线性近似。

输出方程是，

该流程有两个输出。它们是较低的两个水箱的水平。

实际上，从系统中获得的总输出将是所有四个油箱的液位。有必要的是，只有较低的两个罐的水平是足够考虑的。

状态空间法将系统微分方程的每一阶导数化为一个变量，从而得到一个矩阵。状态空间表示法可作为系统传递函数表示法的替代方法，因此可以平等地对待SISO或MIMO进程。状态空间表示法最适合于控制系统的理论处理和数值计算。在初始条件为x (to)的齐次情况下，系统响应的确定是非常简单的。基于这些优点，本文对四罐过程进行了状态空间表示。四罐过程的线性化状态空间方程为:

式(26)和式(27)给出了由所建立的数学模型得到的QTP的状态空间分析。

传递函数模型

传递函数方法将拉普拉斯变换应用于微分方程，这允许将它们作为单个代数方程[7]处理。传递函数的关键优势在于其紧凑性，这使得它们适合于频域分析和稳定性研究。但是，传递函数方法忽略了初始条件。为了确定QTP的传递函数，使用以下公式:

在这里,

(30）

(31)

近似等于1。对应的传递矩阵为

（32)

由状态空间方程导出的QTP的传递函数为方程[32]。

最小相位和非最小相位

根据G(s)多变量零点的位置，将系统划分为最小相位或非最小相位。这些零是分子多项式的零，如下所示:

当时，系统处于非最小相位

并发现处于最小相位，如果

图6和图7清楚地显示了系统运行在最小相位(即+和非最小相位)时的极点和零点图。当系统运行在非最小相位时，s面右半面发生极移。这就导致了所研究过程的不确定性。

仿真结果

得到了四罐工艺在开环和闭环下的最小相位和非最小相位运行结果。对所实现的PI控制器进行了传递函数分析和状态空间分析的比较，并对系统的性能进行了研究。

图8和图9区分了四罐过程在开环操作的传递函数和状态空间分析中的模拟输出。可以看出，在传递函数模型中得到的系统响应是1和2槽的沉降时间较短，而不是所研究系统的状态空间分析。

图10和图11给出了非最小相位开环操作时四罐过程的传递函数模拟输出和状态空间分析结果。在图10中，1号和2号罐迅速而急剧地稳定在10号和12号。在状态空间分析中，系统开始稳定需要200秒的时间。但事实上，在状态空间分析中，四个油箱在开环运行时都有适当的响应。

图12和图13显示了在最小相位下闭环PI控制器运行的传递函数和状态空间分析中四罐过程的模拟输出。在图12中，罐体1和罐体2在125秒时在笋上产生一个小峰值后沉降。在传递函数分析中，沉降时间为350秒，振荡很小。在状态空间分析中，系统在75秒内产生一个尖峰，而开始稳定所需的时间要短得多，为135秒。在图13中，所有四个储罐都稳定下来，PI控制器的响应良好。采用根轨迹技术选择PI控制器的值。最小相位响应对传递函数和状态空间分析都提供了较好的满意结果。

对闭环PI控制器非最小相位运行的四罐过程的传递函数输出和状态空间分析结果表明，PI控制器在非最小相位运行时，1罐和2罐的响应非常差。事件解释控制器无法动作，控制器性能不理想。图14清楚地显示了两个容器之间的强交互。在传递函数和状态空间分析中，从得到的罐的响应可以清楚地说明相互作用和不确定性的影响。当比较两个响应时，状态空间分析提供了一个更好和更清晰的表示，系统可以更详细和更清楚地研究状态空间分析。

结论

状态空间法适用于复杂时域响应，而传递函数法适用于频域模型。QTP非常适合于演示最小相位和非最小相位系统。研究QTP的传递函数和状态空间表示有助于清楚地了解多变量控制系统中的零点位置是如何影响控制器性能并作为控制器性能的限制。这归根结底是由于在非最小相位运行时，两罐之间的耦合作用和强相互作用造成的。用状态空间表示得到的响应比用传递函数得到的响应好得多。