贝叶斯分析γ模型与拉普拉斯近似

和平Shehla¹,阿特阿里汗²

研究学者、部门统计和运筹学,阿里格尔穆斯林大学阿里格尔,印度北方邦
教授,部门统计和运筹学,阿里格尔穆斯林大学阿里格尔,印度北方邦

文摘

在所有重要的故障时间分布、伽玛分布是一个灵活、广泛理解和提供了一个良好的适合连续的,倾斜的可靠性数据。但是简单的非可用性和封闭形式的可靠性和风险γ模型限制其使用的函数。本文提供了一个解决这些问题在R为渐近积分评价采用拉普拉斯近似。然而,整个演示是在贝叶斯框架。渐近结果与仿真结果那么您交替确认。现实问题是用于演示目的。

关键字

贝叶斯、伽马分布,拉普拉斯近似,LaplacesDemon边缘后验密度,R。

我的介绍。

可靠性数据的参数推理过程通常包括像威布尔分布和指数被广泛接受failure-time分布一样重要。还有其他几个统计模型可以成功地用于某些特定类型的数据。两个参数γ分布是其中的一个概率分布,适合连续的,倾斜的反应。伽马分布符合各种failuretime数据非常有效。与指数分布的关系也增强其重要性iid指数随机变量之和也遵循伽马分布。伽马分布的pdf表单

虽然有一个巨大的文学上可用γ参数估计中的经典方法,我们在γ参数的贝叶斯推理(年代)。评估后的特征如密度、均值和方差,是一个非常乏味的任务。当γ模型被用作failure-time分布、贝叶斯计算变得更加困难,因为它涉及到不完整的伽玛函数。没有一对共轭priorlikelihood,评估后数量不能在封闭的形式进行,因此需要一些密集的计算方法。作为解决方案,[1]提出的使用拉普拉斯方法非容积函数的期望和方差。

本文的主要目的是演示γ的拟合模型在可靠性场景中利用拉普拉斯方法R [2]。整个工作是在数据分析上下文。

二世。拉普拉斯近似

最引人注目的方法评估积分参与后密度即

开创了拉普拉斯和被称为拉普拉斯方法。[3]应用这种方法近似的比率两个积分参与后的密度。[4]相反,这种总结多元后验分布的方法只需要到后的二阶导数。整个方法是基于后对它的行为模式。让)(hθ是任何非负单峰函数模式θˆ。我们扩大日志h(θ)二阶泰勒级数对θˆ如下,

模型接收模型从一个用户定义的函数。参数及parm需要一个向量参数优化的初始值。数据接受上市的数据对象模型安装。先生需要一个逻辑值指定是否要实现采样重要性重采样。实现通过先生这个包画独立后样本的函数。optim最大化的对数函数LaplaceApproximation调用非规范联合后验密度。默认LBFGS优化算法。这个函数返回两个总结总结1和总结2。总结1是联合的拉普拉斯近似后验密度和总结2礼物后,sd和分位数的参数基于蒙特卡罗样本。

三世。模拟

评估复杂积分的另一种选择是采取模拟技术。在最简单的情况下,直接可以使用模拟和拒绝抽样。在复杂的情况中,我们应用蒙特卡罗和密度的方法。在这里,LaplacesDemon服务我们的目标函数。拉普拉斯近似的性能已通过仿真研究调查。最优初始值和估计协方差矩阵从拉普拉斯近似,获得LaplacesDemon函数最大化unnormalised联合后验密度的对数与密度。这个函数的参数是:

函数(模型、数据、初始。值,柯伐合金= NULL,迭代= 1 e + 05,状态= 1000,稀释= 100,算法=“读写存储器”,规范= NULL,…)

在模型接收相同的用户自定义模型、数据代表列出的数据对象。原价。值初始值由LaplaceApproximation接受一个向量。柯伐合金接收dA¯´d提议协方差矩阵参数的数量(d)作为LaplaceApproximation返回的函数。迭代指定数量的迭代,拉普拉斯的恶魔将更新搜索目标分布的参数。算法获得报告的具体模型算法用于估计和默认为随机漫步都市算法。

四、数据分析

在本节中,我们分析一个[6]的数据来说明我们的方法。数据包括故障时间(分钟)样品15电子元件加速寿命试验。

1.4,5.1,6.3,10.8,12.1,18.5,19.7,22.2,23.0,30.6,37.3,46.3,53.9,59.8,66.2

我们现在寻找的后估计参数γ模型时安装在上面的数据。贝叶斯的firstmost要求拟合是可能性的定义。在这里,我们有可能为:

在那里,

Initial.Values <投入(模型,MyData, n = 1000)

最后,拟合完成LaplaceApproximation函数使用以下命令与LaplaceApproximation # # # # # #配件set.seed (1) M1 < -LaplaceApproximation(模型、Initial.Values MyData,迭代= 15000)输出总结列表在表1和表2所示。

诉模拟研究

我们实现随机漫步都市算法模拟的联合后验分布。提出未来估计称为提议联合目标密度的计算,然后提出了当前的联合后验密度的比值叫做α计算。建议国家对当前状态如果接受该状态是当前状态的一个进步。如果提议的状态被拒绝,然后重复当前状态,另一个提议可能估计下一次迭代。在这里,建议是多元正态分布。整个过程一直使用LaplacesDemon函数实现的。这个函数是LaplaceApproximation然而辅助的功能。R代码如下:

Initial.Values < -as.initial.values (M1)与LaplacesDemon # # # # # #配件M11公路< -LaplacesDemon(模型、MyData Initial.Values)

据报道在表3中输出。

VI。失败时间回归建模

协变量与解释变量模型()有时最好描述人口的异质性。它解释或预测为什么有些单位生存很长一段时间而其他人很快失败。回归建模背后的主要目的是利用failure-time和解释变量之间的关系。创建一个回归模型的方法之一是让模型参数(s)取决于协变量。我们说明这与绝缘液体failure-time数据讨论了[7]。数据包括故障时间(分钟)76年的电绝缘液体标本类型的测试电压水平,7点v¯½26、28、30、32、34、36千伏。本研究的主要目的是画一个时间和击穿电压应力之间的关系。

答:数据创建

我们创建数据y向量形式如下:

通过仿真研究了相同的数据。这里使用的算法是Adaptive-Mixture大都市。首先,更新一个mm散射矩阵基于当前参数和累积outer-products相关的累积,这些是用来生成一个多元正态的建议。然而,这个提议是一个混合物。这两个组件混合自适应多变量和静态/对称的单变量的建议。在每个迭代中,混合物混合重量决定。混合物的重量必须间隔(0,1],它默认为0.05,如[8]。低体重与更多的自适应多变量相关建议和更高价值的混合重量与更多的静态/对称的单变量有关的建议。LaplacesDemon函数被用于此目的。它的R代码如下:

参数估计报告在表6所示。

基于模拟值,所有三个参数的边缘后验密度已经在图3中表示。密度参数的经典解释(s)估计已经被证明在相同的情节。

七世。结束语

介绍了R包LaplacesDemon,促进了高维贝叶斯推理。它已经完全用R和一个了不起的提供用户定义的概率模型。本文的主体包括书面和分布式编码伽马与拉普拉斯近似建模的数据集。人们已经发现,拉普拉斯近似是一个合适的替代高维集成和R提供了一个简单的函数即LaplaceApproximation来实现它。同时,我们试图提供一个真实的边缘后验与提供的一个渐近的频率论的理论方法。很明显的结果,基于贝叶斯方法欠(或weakly-informative)先验同样兼容古典推理的方法。

确认

第一作者要感谢大学拨款委员会(UGC),新德里的金融援助。

引用

l·蒂尔尼r·e·卡斯j·b·Kadane”完全指数拉普拉斯近似非容积函数的期望和方差”,《美国统计协会,84卷,407号,710 - 716年,1989页。
R开发核心团队,”R:统计计算”的语言和环境,R统计计算的基础,维也纳,奥地利,2012年。
l·蒂尔尼j·b·Kadane“精确的近似后的时刻和边际密度”,《美国统计协会,81卷,393号,82 - 86年,1986页。
d·v·林德利“近似贝叶斯方法”,在贝叶斯统计,eds。j·m·贝尔纳多。m·h·Degroot d·v·林德利和a . m . f·史密斯,瓦伦西亚,西班牙:大学出版社,第245 - 223页,1980年。
Statisticat, LLC LaplacesDemon:“贝叶斯推理的完整的环境”,R包版本13.03.04,URL http://www.bayesianinference。com, 2013。
j . f .无法无天的“寿命数据的统计模型和方法”,威利,纽约,1982年。
w·b·尼尔森“加速lifetest数据的统计方法——逆幂律模型”,通用电气(General Electric Co .)技术报告71 - c - 011。斯克内克塔迪,纽约,1970年。
罗伯茨G,罗森塔尔J,“自适应密度”的例子,计算统计和数据分析,18岁,349 - 367年,2009年。
j . f .无法无天的寿命数据的统计模型和方法,第二版,威利,纽约,2003年。