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双参数离散毛刺分布的贝叶斯估计

Halaleh Kamari1,侯赛因·贝弗拉尼1还有卡尼亚夫·卡玛瑞2

1伊朗大不里士大学数学科学学院统计系

2巴黎多芬大学统计系,75775 Paris Cedex 16,法国

通讯作者:
Kaniav Kamary
伊朗大不里士大学数学科学学院
电话:+33 1 44 05 44 05
电子邮件:
(电子邮件保护)

收到:01/09/2015接受:30/11/2015发表:15/12/2015

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摘要

为了在连续分布的基础上生成离散分布,通过经典方法实现了各种技术,并讨论了它们的参数估计和特性。但少数论文通过贝叶斯估计参数来处理这种分布,主要是由于其复杂性和参数数量的增加。研究了带有两个参数的离散Burr分布的贝叶斯估计问题。为了模拟结果,采用了Monte-Carlo和Metropolis-Hastings算法。

关键字

离散毛尔分布,随机变量,贝叶斯估计,数值方法

介绍

离散分布在模拟现实生活计划中非常重要。关于离散分布的研究和应用已经发表了许多文章。使用这些技术,可以将连续分布转换为离散分布。Katz (1], Roknabadi,等。[2],克里希纳和Pundir [3.]介绍了生成离散分布族的不同方法。带有两个参数的离散Burr分布就是其中之一。如果该分布的参数是常数,则估计它们,最大似然和矩方法[4],但假设变量是随机的,那么就应该使用贝叶斯方法。事实上,人们不能确定分布的参数是常数值,从而将它们指定为先验分布参数并计算它们的贝叶斯估计。在常用的贝叶斯估计方法无法计算的情况下,数值积分、蒙特卡罗和拉普拉斯近似等近似方法[5将被使用。本文利用这些方法估计了贝叶斯离散Burr分布参数。寿命随机变量X遵循Burr- xii,或简单Burr, Br (α,β)1若其概率密度函数为:

图像

在这种情况下,对于每一个x > 0,生存函数是

图像

风险率是

图像

第二个风险率是

图像

r的矩是

图像

哪一个图像

特殊情况下,α =1,帕累托分布Par(β)2并利用其可靠性特性进行分析。如果将时间分组为单位间隔,则离散观测变量dX = [X],即小于或等于X的最大整数,其概率函数为:

图像

哪个x = 0,1,2,.....

克里希纳和Pundir [1]应用此方法研究离散Burr和Pareto分布。利用式(1),离散Burr分布的概率质量函数DBD (α,θ)3.可分为以下几种:

图像

值得注意的是,Br (α, β)和DBD(α,θ)的S(x)在x的正确点上相等。下一节将计算n个样本情况下参数的贝叶斯估计。

N样本情况下离散毛刺分布参数的贝叶斯估计

如果X1X、…n具有α和θ参数的离散Burr分布,则

图像

要计算贝叶斯估计量,需要考虑以下三种情况:

第一种情况(α已知,θ未知)

假设θ具有参数a和1的beta分布,则θ的先前密度为:

图像(3)

然后

图像(4)

图像(5)

哪一个图像图像

由式(4)和式(5)可得θ的后验密度函数:

图像(6)

哪一个图像所以

图像(7)

X的边际分布1X、…n由(6)对θ积分得到:

图像

哪一个图像图像;然后

图像(8)

图像(9)

假设有平方误差损失函数,且先验已知,贝叶斯估计θ参数为:

图像(10)

哪一个

图像

哪一个图像图像

将A代入(10)可得到以下结果:

图像(11)

在这种情况下,贝叶斯估计量θ参数是图像

第二种情况(α未知,θ已知)

在这种情况下,假设α具有未知的先验分布(即对α的分布没有先验知识),则α的先验密度可写成:

图像(12)

图像(13)

哪一个图像图像

由式(12)和(13)可得:

图像(14)

因此,

图像(15)

哪一个图像

Z(θ)的计算公式如下:

图像

由于(15)中得到的后验密度不属于已知分布,因此将通过R软件采用数值方法。假设X1X、…25为离散Burr分布的随机样本,θ = 0.1, 0.2, 0.3,采用Metropolis-Hastings算法[6],参数α为q的假设,通过R软件应用上述算法,将生成10000个后验分布成员的马尔可夫链。如果损失函数是误差的平方,这个马尔可夫链的均值是参数的贝叶斯估计,如果损失函数是绝对误差,那么,这个马尔可夫链的中值是参数的贝叶斯估计。这些模拟的结果显示在表12分别。

statistics-and-mathematical-sciences-function-squared-error

表1:仿真结果表明,损失函数为误差的平方。

statistics-and-mathematical-sciences-function-absolute-error

表2:当损失函数为绝对误差时的仿真结果。

第三种情况(α和θ未知)

在这种情况下,假设α具有未知先验,θ具有与第一种情况一样的β分布,α和θ都是独立的。α和θ接头先验密度如下:

图像

另一方面,我们知道:

图像(18)

哪一个图像图像

由式(17)和式(18)可得:

图像(19)

然后

图像(20)

其中K为常数值,计算公式如下:

图像(21)

哪一个图像

在哪里

图像(22)

考虑到(20)中得到的后验密度不属于已知分布,因此将通过R软件采用数值方法。假设X1X、…25为离散Burr分布的随机样本,且a = 3,采用Metropolis- Hastings算法[2],将适当的均匀分布和正态分布分别作为θ和α参数的q个假设,通过R软件应用上述算法,将生成一个具有10,000个后态分布成员的马尔可夫链。如果损失函数是误差的平方,则该马尔可夫链的均值是参数的贝叶斯估计,如果损失函数是绝对误差,则该马尔可夫链的中值是参数的贝叶斯估计。这些模拟的结果显示在表34分别。

statistics-and-mathematical-sciences-loss-function-squared-error

表3:仿真结果表明,损失函数为误差的平方。

statistics-and-mathematical-sciences-loss-function-absolute-error

表4:当损失函数为绝对误差时的仿真结果。

结论

本文研究了3 n情况下两个参数的离散Burr分布参数的贝叶斯分析,并利用参数的适当先验分布,采用数值参数的Metropolis-Hastings方法

1参数α和β的连续毛刺分布

2参数为β的连续Pareto分布

3.参数为α和θ的离散Burr分布

参考文献

全球科技峰会