双参数离散毛刺分布的贝叶斯估计

摘要

为了在连续分布的基础上生成离散分布，通过经典方法实现了各种技术，并讨论了它们的参数估计和特性。但少数论文通过贝叶斯估计参数来处理这种分布，主要是由于其复杂性和参数数量的增加。研究了带有两个参数的离散Burr分布的贝叶斯估计问题。为了模拟结果，采用了Monte-Carlo和Metropolis-Hastings算法。

关键字

离散毛尔分布，随机变量，贝叶斯估计，数值方法

介绍

离散分布在模拟现实生活计划中非常重要。关于离散分布的研究和应用已经发表了许多文章。使用这些技术，可以将连续分布转换为离散分布。Katz (1]， Roknabadi，等。[2]，克里希纳和Pundir [3.]介绍了生成离散分布族的不同方法。带有两个参数的离散Burr分布就是其中之一。如果该分布的参数是常数，则估计它们，最大似然和矩方法[4]，但假设变量是随机的，那么就应该使用贝叶斯方法。事实上，人们不能确定分布的参数是常数值，从而将它们指定为先验分布参数并计算它们的贝叶斯估计。在常用的贝叶斯估计方法无法计算的情况下，数值积分、蒙特卡罗和拉普拉斯近似等近似方法[5将被使用。本文利用这些方法估计了贝叶斯离散Burr分布参数。寿命随机变量X遵循Burr- xii，或简单Burr, Br (α，β)¹若其概率密度函数为:

在这种情况下，对于每一个x > 0，生存函数是

风险率是

第二个风险率是

r的矩是

哪一个

特殊情况下，α =1，帕累托分布Par(β)²并利用其可靠性特性进行分析。如果将时间分组为单位间隔，则离散观测变量dX = [X]，即小于或等于X的最大整数，其概率函数为:

哪个x = 0,1,2，.....

克里希纳和Pundir [1]应用此方法研究离散Burr和Pareto分布。利用式(1)，离散Burr分布的概率质量函数DBD (α，θ)^3.可分为以下几种:

值得注意的是，Br (α， β)和DBD(α，θ)的S(x)在x的正确点上相等。下一节将计算n个样本情况下参数的贝叶斯估计。

N样本情况下离散毛刺分布参数的贝叶斯估计

如果X₁X、…_n具有α和θ参数的离散Burr分布，则

要计算贝叶斯估计量，需要考虑以下三种情况:

第一种情况(α已知，θ未知)

假设θ具有参数a和1的beta分布，则θ的先前密度为:

(3)

然后

(4)

和

(5)

哪一个和

由式(4)和式(5)可得θ的后验密度函数:

(6)

哪一个所以

(7)

X的边际分布₁X、…_n由(6)对θ积分得到:

哪一个和;然后

（8）

(9)

假设有平方误差损失函数，且先验已知，贝叶斯估计θ参数为:

(10)

哪一个

哪一个和

将A代入(10)可得到以下结果:

(11)

在这种情况下，贝叶斯估计量θ参数是

第二种情况(α未知，θ已知)

在这种情况下，假设α具有未知的先验分布(即对α的分布没有先验知识)，则α的先验密度可写成:

(12)

和

(13)

哪一个和

由式(12)和(13)可得:

(14)

因此,

(15)

哪一个

Z(θ)的计算公式如下:

由于(15)中得到的后验密度不属于已知分布，因此将通过R软件采用数值方法。假设X₁X、…₂₅为离散Burr分布的随机样本，θ = 0.1, 0.2, 0.3，采用Metropolis-Hastings算法[6]，参数α为q的假设，通过R软件应用上述算法，将生成10000个后验分布成员的马尔可夫链。如果损失函数是误差的平方，这个马尔可夫链的均值是参数的贝叶斯估计，如果损失函数是绝对误差，那么，这个马尔可夫链的中值是参数的贝叶斯估计。这些模拟的结果显示在表1和2分别。

第三种情况(α和θ未知)

在这种情况下，假设α具有未知先验，θ具有与第一种情况一样的β分布，α和θ都是独立的。α和θ接头先验密度如下:

另一方面，我们知道:

(18)

哪一个和

由式(17)和式(18)可得:

(19)

然后

(20)

其中K为常数值，计算公式如下:

(21）

哪一个

在哪里

(22)

考虑到(20)中得到的后验密度不属于已知分布，因此将通过R软件采用数值方法。假设X₁X、…₂₅为离散Burr分布的随机样本，且a = 3，采用Metropolis- Hastings算法[2]，将适当的均匀分布和正态分布分别作为θ和α参数的q个假设，通过R软件应用上述算法，将生成一个具有10,000个后态分布成员的马尔可夫链。如果损失函数是误差的平方，则该马尔可夫链的均值是参数的贝叶斯估计，如果损失函数是绝对误差，则该马尔可夫链的中值是参数的贝叶斯估计。这些模拟的结果显示在表3和4分别。

结论

本文研究了3 n情况下两个参数的离散Burr分布参数的贝叶斯分析，并利用参数的适当先验分布，采用数值参数的Metropolis-Hastings方法

¹参数α和β的连续毛刺分布

²参数为β的连续Pareto分布

^3.参数为α和θ的离散Burr分布

参考文献

1. 频率函数的特性德内比一阶差分方程。1945.
2. Roknabadi AH, Borzadaran GR, Mohammad K.离散危险率函数在伸缩族中的一些方面。经济质量控制，2009;24: 35-42。
3. 离散Burr和离散Pareto分布。统计方法。2009;6: 177 - 188。
4. 数学统计的基本概念。第二版，伊斯法罕理工大学，2004年。
5. 罗伯特C和乔治C介绍蒙特卡罗方法与R.施普林格科学和商业媒体，2009。
6. 贝叶斯的选择:从决策理论基础到计算实现。施普林格科学与商业媒体。2007