商业周期随机Kaldor-Kalecki模型的复杂性与噪音

文摘

摘要商业周期的随机Kaldor-Kalecki模型噪声调查。通过分析李雅普诺夫指数,不变测度和奇异边界理论,一些新的标准确保随机稳定,P-bifurcation和随机Kaldor-Kalecki模型得到音叉分岔,分别。数值模拟结果给出支持的理论预测。

介绍

Kaldor [1)提出了一个商业周期常微分系统模型,在总投资取决于产出和资本存量水平。此后,这个模型常常被讨论,看到1- - - - - -11),在引用。Kalecki业务模型(5比Kaldor)是几年前一个。Kalecki认为储蓄部分利润是投资和资本的增长是由于过去的投资决策。有妊娠期或滞后,之后,资本设备用于生产。1999年,Krawiec和Szydlowski [6)制定Kaldor-Kalecki商业周期模型基于乘数动力学的核心Kaldor(凯恩斯)和Kalecki方法。然而,他们雇佣Kaleckis方法投资和投资决策和实施之间的滞后。该模型如下形式:

(1)

显然,引入噪声和时间延迟到业务模型更为合理。在模型中,Krawiec和Szydlowski [7- - - - - -11)研究了稳定和霍普夫分岔的存在通过分析与模型相关的特征方程,该方法不能应用于随机模型。一般来说,随机时滞微分方程表现出更加复杂的动力学比反应常微分方程由于时间延迟或噪音可能会导致一个平衡稳定性的变化,因此霍普夫分岔。

兴趣调查噪音或延时如何影响系统的动态,,重要的是要确定霍普夫分岔的方向和分支周期解的稳定性发生霍普夫分岔时。考虑到这些因素,我们引入随机性模型代替参数β和问和这只是一个特性转化引入模型的第一步。在理想的情况下我们也想引入随机环境变异等其他参数传输系数α和γ,单位时间内生产健康的细胞,但这样做会使分析太困难。在本文中,我们考虑商业周期的Kaldor-Kalecki模型与噪声

在哪里

•Y是生产总值和K资本产品的商业周期;

•测量反应系统的投资与储蓄之间的区别;

•问∈(0,1)是资本存量的折旧率;

•投资与储蓄功能吗Y和K分别;

•乘法随机激励和吗η(t)是外部随机激励直接(即添加剂随机)。ξ(t)和η(t)是独立的,拥有零均值和标准方差高斯白噪声。即。

和是白色的随机过程的强度吗

随机动力系统理论提供了一个非常强大的数学工具对理解极限随机系统的行为。最近,它已被应用到经济学和金融学来帮助理解金融模型与随机扰动的随机性质(12- - - - - -17]。特别是,各种随机的限制分配模型的研究在经济学和金融学的固定商业周期给出了很好的描述。似乎是没有应用Kaldor-Kalecki商业周期模型。我们这篇论文的目的是探讨随机分岔和稳定(2)通过应用奇异边界理论,李雅普诺夫指数和不变测度理论,霍普夫分岔的方向和分支周期解的稳定性也决定。我们也给算例模拟结果发现通过使用Matlab和Mathematica软件。

论文的结构如下。在第2部分中,我们的拳头大纲Kaldor-Kalecki商业周期模型的扩展模型。3和4节,随机动力行为分析分别从固定措施和不变测度的角度。本文在第五节总结。

初步

节,我们提出一些初步结果用于后续部分建立随机稳定性和随机分岔。证明之前我们给出一些前题的主要定理和定义。

在本文的其余部分,我们假设α,β> 0,q,γ∈(0,1)我(s)是C⁴C⁴。让(Y *, K *)成为一个平衡点(Y^*K^*)系统(2)的一个平衡点,和然后系统(2)可以转换

(3)

让泰勒展开式f (0。然后我们可以重写(3)如下等效系统

(4)

在那里,

让然后用相应的变量在情商。(4)

所以讨论系统(2)的稳定平衡点问相当于讨论系统(6)的稳定平衡点O (0, 0)。

让

在哪里

然后用相应的变量方程,我们得到

即。

系数是表示如下:

设置坐标变换(6)的替代变量,我们获得

很难计算系统的精确解今天(7)。根据Khasminskii极限定理,当白噪声的强度足够小,响应过程弱聚合二维马尔可夫扩散过程(18- - - - - -20.]。通过随机平均法,我们获得了它随机微分方程这个过程感到满意

(8)

在哪里和是独立和标准维纳过程。对于二维扩散过程,需要计算它的二维转换概率密度。没有一般,正确的计算方法。至于具体的系统,我们可以完成一些特殊的计算方法

条件下系统(8)重写如下

(9)

在哪里

从扩散矩阵,我们可以发现,平均振幅r (t)是一个一维马尔可夫扩散过程什么时候

即或因此我们有如下的方程

(10)

这是一个有效的方法获得随机分岔的临界点分析稳定的平均振幅的变化r (t)在概率的意义。

随机稳定

为了检测当地平均随机系统的随机稳定性,我们经常使用的方法是计算最大李雅普诺夫指数。

定理3.1如果

(我)然后随机系统(2)随机稳定。

(2)当然后随机系统(2)是随机不稳定。

证明。当然后系统⁽¹⁰⁾就变成了

(11)

使用线性伊藤随机微分方程的解,得到系统的解决方案⁽¹¹⁾依下列各项

(12)

在哪里

使用定理qusi-non-integrable哈密顿系统,在这里,我们定义一个新的标准:因此,李雅普诺夫指数的线性近似的伊藤随机微分方程是:

因此我们有:

当这是λ< 0,平凡解的线性伊藤随机微分方程r = 0稳定概率的意义,即随机系统在平衡点是稳定的吗问。除了线性伊藤随机微分方程有鲁棒性,即简单的解决方案r = 0非线性的伊藤随机微分方程(10)稳定概率的意义。这表明确定性系统稳定在其平衡点,也可能在其平衡点稳定概率的意义在随机激励下。

当这是λ> 0。因此,平凡解的线性伊藤随机微分方程r = 0不稳定概率的意义,即随机系统在平衡点是不稳定吗问。这表明尽管确定性系统是稳定在其平衡点,随机系统可能不稳定概率的意义在随机激励下的平衡。

当这是λ= 0。是否是否可以被视为在平衡点分岔的临界条件。霍普夫分岔以及是否可能发生与否是我们将在下一节中讨论。

最大李雅普诺夫指数基于Oseledec乘法遍历理论只能用于判断当地的稳定,我们判断全球稳定的奇异边界理论。的部分,根据奇异边界理论,我们将获得平均随机系统的稳定性。

定理3.2让和然后随机系统(2)随机稳定。

证明。当该系统⁽¹⁰⁾可以改写如下

(13)

因此r = 0是第一种奇异边界的系统(13)。当我们可以找到因此是第二种奇异边界的系统⁽¹³⁾。

根据奇异边界理论,我们可以计算出扩散指数,漂流指数和边界的特征值r = 0,结果如下:

(14)

所以

如果即。的边界r = 0是完全自然的。

如果即吸引力的自然边界r = 0。

如果即。的边界r = 0完全是自然的。

我们也可以计算出扩散指数,漂流指数和边界特征值r = +∞,结果如下:

(15)

所以

如果即。的boundaryis完全自然的。

如果即。的边界是吸引力自然

如果即。的边界是严格的自然

正如我们所知,如果奇异边界r = 0吸引力自然边界和吗入口边界,这种情况都是解决曲线进入内部系统的右边界和吸引的左边界,平衡点是全局稳定的。

从上面的分析,我们可以得出一个结论,当奇异边界平衡点是全局稳定的r = 0吸引力自然边界和吗入口边界。结合当地的情况稳定,平衡

点r = 0时是稳定的和

定理3.3让然后随机系统(2)并不是随机稳定。

证明。当≠0,系统⁽¹⁰⁾可以改写如下:

(16)

一个可以找到在r = 0,所以r = 0是一个非奇异的边界的系统(16)。通过一些计算我们可以发现r = 0是一个常规边界(访问)。另一个结果是当所以(16)的第二个奇异边界。详细介绍如下:

(17)

所以

如果即。的边界是完全自然的。

如果即。的边界是吸引力自然。

如果,即r = 0的边界是严格自然。

正如我们所知,如果奇异边界r = 0吸引力自然边界和r = +∞入口边界,这种情况都是解决曲线进入内部系统的右边界和吸引的左边界,平衡点是全局稳定的。:

从上面的分析,我们可以得出一个结论,平衡点是全局稳定的奇异边界r = 0时吸引力自然边界和r = +∞入口边界。结合当地的情况稳定,平衡点r = 0时是稳定的和

定理3.3让。然后随机系统(2)并不是随机稳定。

证明。当,系统(10)可以改写如下:

(16)

人们可以发现11σ≠0 r = 0,所以r = 0是一个非奇异的系统(16)的边界。通过一些计算我们可以发现r = 0是一个常规边界(访问)。另一个结果是= r m当r =∞∞, r =∞(16)的第二个奇异边界。详细介绍如下:

α₂= 2,β_r= 3,

(17)

所以

如果即。边界r = +∞是完全自然的。

如果即。边界r = +∞是完全自然的。

如果即。边界r = +∞是完全自然的。

因此我们可以得出结论,平凡解r = 0是不稳定的,即随机系统不稳定平衡点的问无论确定性系统在平衡点是稳定的问。

随机分岔

节中,我们将看到如何引入随机性变化的随机行为显著的动力和现象学的观点21,22]。

定理4.1 (D-bifurcation)让(2)进行随机D-bifurcation然后系统。

证明。当然后系统(10)

(18)

当方程(18)是一个决定性的系统,而且没有分岔现象。在这里,我们讨论的情况让

连续随机动态系统生成(18)

在哪里的微分Statonovich的意义,它是独特的强解(18)与初始值x。和0是一个定点的•。自从m (r)是有界的,对于任何,它满足椭圆率条件:σ(r)≠0;它保证最多有一个固定的概率密度。根据Itoˆ振幅方程r (t),我们获得它的FPK方程对应(18)如下

(19)

让然后我们获得系统的解决方案(19)

(20)

上面的动力系统(19)两种平衡状态:不动点和非平稳运动。前者的不变测度是0δ,它的概率密度。δ_x后者的不变测度是ν的概率密度(20)。在下面,我们计算李雅普诺夫指数的两个不变的措施。

使用线性伊藤随机微分方程的解,得到系统的解决方案(18)

(21)

动态系统的李雅普诺夫指数对쏕被定义为:

(22)

替换(21)(22),请注意,我们获得定点的李雅普诺夫指数:

(23)

的不变测度作为(21)它的密度,我们获得李雅普诺夫指数:

(24)

让我们可以获得的不变测度定点稳定当α< 0,但非平稳运动的不变测度时是稳定的所以是一个D分岔点。(2)进行随机D-bifurcation然后系统。

定理4.2让然后系统(2)不接受随机P-bifurcation。

证明。简化Eq。(20),我们可以获得

(25)

c是一个归一化常数,因此我们有什么

(26)

在哪里显然,当这是是一个δ函数。当这是r = 0的最大值点在状态空间,因此系统发生D-bifurcation当v =−1,的临界条件D-bifurcation平衡点。当v > 0时,是没有意义的最大值,因此系统不会P-bifurcation发生。

定理4.3 (P-bifurcation)让,然后系统(2)经过P-bifurcation参数值

证明。当然后Eq(10)可以改写如下

(27)

让然后我们考虑系统(27)

(28)

这是解决

(29)

我们现在确定域在哪里是一般(可能为空)的一组初始值的轨迹仍然存在在时间t和范围的

我们有

(30)

在哪里

和

(31)

在哪里

我们现在可以确定

并获得

(32)

在哪里

系统的遍历性不变的措施(27)£º

(我)唯一不变的措施

(二)我们有三个不变的马尔可夫措施和在哪里

我们有解决远期Fokkwer-planck方程

收益率

(我)对所有

(二)

和在哪里

自然不变的措施问那些固定对应措施_α^+。因此一切不变的措施是马尔可夫的措施。

密度的两个家庭显然经过P-bifurcation参数值。(2)经过P-bifurcation然后系统

定理4.4让或,那就是系统(2)进行随机音叉分岔。

证明。我们确定不变的措施(一定狄拉克测量)当地的RDSχ钻产生的

(33)

在状态空间和我们现在计算李雅普诺夫指数对这些措施。

线性化的RDS满足线性化端

因此

因此,如果ϒ——不变测度,其李雅普诺夫指数吗

提供了集成电路是满意的。

(我)的集成电路我们是非常满意,获得吗

所以ν₁^α是稳定的和不稳定

(二)是可测量的,因此密度p_α的和实验所得到满足

独特的概率密度的解决方案吗

自

集成电路是满意。李雅普诺夫指数的计算是通过观察来完成的

在哪里

因此由遍历thoerem

最后

(3)是可衡量的。自

因此

从定理4.4,密度的两个家庭显然经过P-bifurcation参数值这是相同的值作为超临界情况。因此,我们有一个D-bifurcation微不足道的参考措施在和P-bifurcation然后系统(2)进行随机音叉分岔。

数值模拟

在本节中,我们给出一些例子来验证thepretical 3和4的结果。集然后系统。(2)

(34)

为简单起见,我们假设(0,0)的系统平衡点也是微不足道的。(34)。选择然后(0,0)渐近稳定性(数字1 - 7)。

结论

在这篇文章中,我们已经考虑商业周期的Kaldor-Kalecki模型与噪音。尽管有很多论文Kaldor-Kalecki模型的稳定性和霍普夫分岔的商业周期延迟,该方法不能应用于当前的模型。通过使用奇异边界理论,李雅普诺夫指数和不变测度理论,我们研究了一般第三多项式随机微分方程。应用系统(2)的结果,我们发现,在一定条件下,当µ₃或µ₇变化,零解失去稳定性和霍普夫分岔发生,这是一个家庭的周期解分叉零µ时的解决方案₃或µ₇一个关键。此外,提供一个完整的平衡模型的行为作为一个参数捕获Kaldor-Kalecki商业周期模型的行为变化,我们从动力学的观点进行分析和现象学分岔。三个数值模拟结果支持了理论预测。

确认

这项研究得到了国家自然科学基金(11201089)和(No.11301090)。广西自然科学基金(没有。2013 gxnsfaa019014)和(gxnsfba019016 2013号)。

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