非abel超对称量子力学的连接约束

摘要

我们将超对称性对Berry连接的约束的研究推广到内部对称群g的表示中含有分量elds的变换，因为elds作为基础空间的坐标，因此对其结构有了一个非平凡的扩展，相应地，Berry连接上有了新的非abel约束。在G = SU(2)的特定情况下，证明了连接约束为磁单极子在SU(2)上的行为，它的李代数。

简介

Berry相位的概念是外部参数绝热变化下量子系统的路径依赖U(N)完整[1，2］．因此，当一个人绝热地改变一组参数Φ_n在封闭路径附近，量子系统中的简并态|和>发生完整。

(2.1)

在哪里是参数空间上的连接[3.］．贝里的关系一直是人们很感兴趣的话题[4-8］．特别地，通过考虑超对称量子力学系统，我们发现这种联系必须服从特定的微分方程，因此即使参数的能量本征态未知也可以计算。在[4]通过要求具有显式连接项的最一般矩阵值拉格朗日量在向量多重超对称变换下是不变的，作者发现该连接必须服从Bogomolny单极子方程。类似地，当使用手性多重参数时，发现该连接服从tt*方程[4，5］．这些条件后来在[8]，发现该连接服从自对偶瞬顿方程，由此可以通过降维得到先前的结果。在弦理论中，贝里相已被研究产生于特定的膜结构[9，10］．

在本文中，我们研究了内部对称群g的表示中的分量场的超对称变换对Berry连接的约束。这是[的自然非abel扩展]。8］．在第2节中，我们从这些场构建了最一般的二次阶拉格朗日量。理论赖以生存的基础空间获得了新的结构，相应地，在第三节中，我们发现了由超对称性对其联系施加的有趣的新约束。作为一个具体的例子，证明了化简选择G = su(2)约束它作为一个自对偶瞬子和一个单极子解的混合物存在su (2)

非阿贝尔超对称和贝瑞联系

我们感兴趣的是将超对称性应用于具有内部对称群表示的分量场的量子力学拉格朗日量。我们关注的情况是，超级多域的玻色子分量作为理论存在的空间S上的坐标。在这种情况下，连接只是拉格朗日中的一个前阶项。

在[4]玻色子场Φ_μ作为基础的坐标多方面的。当这些场以内部对称群的表示形式存在时，这个流形就获得了一种新的结构。字段现在参数化了

(2.2)

在哪里表示内部群g的李代数。该空间由玻色子坐标Φμ所跨越，其中希腊索引表示，以及小写罗马字母索引我们将看到超对称性对其连接施加了非平凡的约束。

考虑下面的超对称变换1

(2.3)

(2.4)

在哪里是实玻色子场的分量，λa是双分量复费米子分量，是双分量超对称发生器，f_{美国广播公司}内部对称群的结构常数是由及其相应的耦合强度。这是[8]中给出的变换的非abel扩展。我们赋予这些参数与超对称变换一致的工程维数:并且[g] = 1。利用这些赋值，我们构造了一个超对称的拉格朗日量，其连接项是时间导数线性的。最普遍的形式是

(2.5)

在哪里的函数就是连接。在上面，h.c表示厄米共轭。

A.标量值拉格朗日量

我们现在要求2.5是不变的，直到在2.3和2.4变换下的总导数。

有人发现，如果，

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

而且,

(2.10)

(2.11)

(2.12)

其中θ是参数的矩阵值函数，出现在拉格朗日，关键是这里的换易子在函数系数的提升代数上运行，而不是在内部对称群上。要求新的拉格朗日量在2.3和2.4下不变，可以得到类似于前面用=讨论的标量值情况和用协变导数替换普通导数的结果:

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

指数i;J表示= 1;2;3组件。请注意，底层空间的额外结构意味着这种场强不同于通常所知的场强:例如F_μμ^ab≠0

B.矩阵值拉格朗日

在本节中，我们将2.5中乘多域分量的所有函数提升为U(N)中的矩阵。由于拉格朗日函数是矩阵值，超对称条件下的不变性要求[11］

在哪里现在这里出现的换向子严格地在U(N)提升的拉格朗日矩阵结构上，而不是在内群G上。

至关重要的是，在g→0的极限下，转换减少到阿贝尔内群的n个副本，并且拉格朗日中新的g依赖因子消失，可以恢复[8)与

Berry连接的一般约束

我们希望研究超对称性对连接的约束。这些约束有一个新的非阿贝尔贡献，来自于多个分量的非平凡内部对称群。这些贡献在2.19和场强方程2.15中最为明显。

把这些综合起来，就得到了这样的方程

(3.21)

对于μ≠ν，我们有

(3.22)

至少在a = b的情况下，我们将其识别为瞬子约束的暗淡(G)副本．对于μ=ν 1有(我们故意避免包括双指标)。

(3.23)

这是对下面流形的新结构L (G)的连接的一个新的约束。

的简化情况．

3.23的一般解很难找到，但是可以通过简化ansatz来发现一个特别简单的解。我们设内部对称群为然后而且，那么3.23就变成了(在对指标的收缩之后)。

(3.24)

(3.25)

在哪里与3.22一起，这意味着连接表现为U(N)的泛化。

瞬子在而且,提供对于一个选定的曲面的磁单极子．

讨论

在本文中，我们证明了在内部对称群G的表示中，对由这些场构建的最一般的量子力学拉格朗日(具有显式连接项)施加具有分量场的超对称性会导致Berry连接上的非平凡的新约束。底层流形获得了一种新的结构对应于内群的李代数。而在原始的连接总是服从自对偶瞬子方程的约束，正是在这种新的结构上观察到新的特征。在最简单的情况下所选的组为Abelian，恢复了[8］．此外，在G = su(2)的简化情况下，新的约束被证明是su(2)上的单极子。一般来说，3.23是对l (G)上的Berry连接的一个新的约束。研究G的不同选择是否也会给出Berry连接的已知解决方案将是有趣的。我们把它留作进一步的研究。

在[12，13]，通过谐波超空间方法得到了su(2)连接的类似约束。在基础流形为的情况下，给出了超场作用的显式形式在我们的例子中，流形变成了我们期望一个类似的论点成立，即使这里没有给出明确的行动。这与弦理论有有趣的联系，弦理论认为这种一般结构存在于低维极限或特定的膜结构中。

致谢

作者要感谢D. Tong和D. r . Gomez为这项工作提供了重要的见解，也感谢D. s. Berman和D. Thompson进行了有益的讨论。GT由EPSRC拨款支持。

参考文献

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