收到日期:21/01/2016;接受日期:14/04/2016;发表日期:18/04/2016
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在本文中,我们考虑的是一个外地的问题包含一个布朗运动的随机微分方程。解决方案包含的均方黎曼和均方Riemann-Steltjes积分,所以我们研究独特的均方连续解的存在性定理及其连续依赖的随机数据X0和(数据)的非随机系数的非局部条件正义与发展党。同时,随机微分方程与积分条件将被考虑。
积分条件,布朗运动,独特的均方解决方案,持续依赖,随机数据,非随机数据,整体状况
许多作者在过去几十年研究了常微分方程的非局部问题,读者被称为(1 - 7),和引用。也随机微分方程理论,随机不动点理论,随机微分方程解的存在,利用逐次逼近方法和属性,这些解决方案都进行了广泛的研究了几个作者,尤其是那些包含了布朗运动的形式导数Gausian白噪声,布朗运动W (t), t∈R,被定义为一个随机过程
W (0) = 0;E (W (t)) = 0, E (W (t))2= t
和[W (t1W (t)2)是一个高斯随机变量t1t2∈r .读者被称为(8,9]和[10- - - - - -16)和引用。
这里我们关心的是随机微分方程
dX (t) = f (t) X (t)) dt + g (t) dW (t) t∈(0, t] (1)
与外地随机初始条件
(2)
X0是一个二阶随机变量独立于布朗运动(t)和一个k是真正积极的整数。存在的一个独特的均方解决方案将被研究。连续随机数据X的依赖0和非随机数据k将被建立。问题(1)积分条件将被考虑。
(3)
让C = C (L2(Ω))是类的均方连续二阶随机过程与规范
在整个论文我们假设以下假设
(H1)这个函数
均方是连续的。
(H2)存在一个可积函数k: [0, T]→R+,在那里
这样的函数f满足均方李普希兹条件
(H3)存在一个正实数1这样
现在我们有以下的前题。
这就完成了证明。
引理2.2:问题的解决方案(1)和(2)可以由积分方程表示
(4)
在哪里
证明。积分方程(1),我们获得
和
然后
和
然后
因此
现在定义的映射
然后我们可以证明下面的引理。
引理2.3F: C→C。
证明。让1 2 X∈C t t∈[0, t]这样2 1 t - t <δ
从假设(2)
然后我们有
所以,
使用假设和引理2.1,我们得到
这证明F: C→C。
存在的一个独特问题的连续解X∈C(1) -(2),我们有如下定理。
定理3.1我们的假设(H1)−(H3)感到满意。如果2 m < 1,那么这个问题(1)-(2)有唯一解X∈C。
证明。让X, X*∈C,那么
因此
如果2 m < 1,那么F是收缩和存在一个外地随机问题的唯一解X∈C (1) - (2) [2]。这个解决方案是由(4)
考虑到随机微分方程(1)与非局部条件
定义4.1非局部问题的解决X∈C (1) - (2) X(不断依赖数据0)如果
这样
意味着
在这里,我们研究了X(随机数据的连续依赖性0)解决方案的随机微分方程(1)和(2)。
定理4.2我们的假设(H1)−(H3)感到满意。非局部问题的解决方案(1)-(2)是连续依赖于随机数据X0。
证明。让
是外地的解决问题(1)-(2)和
是外地的解决问题(1)和(6),然后
使用我们的假设,我们得到的
然后
这就完成了证明。
现在考虑外地的随机微分方程(1)的条件
定义4.2非局部问题的解决X∈C(1) -(2)(不断依赖系数k外地的条件)
这样
意味着
在这里,我们研究了连续依赖(随机数据X0)解决方案的随机微分方程(1)和(2)。
定理4.3我们的假设(H1)−(H3)感到满意。非局部问题的解决方案(1)-(2)不断依赖系数k外地的条件。
证明。让
是外地的解决问题(1)-(2)和
是外地的解决问题(1)和(7)。
和
和
然后
使用我们的假设
然后
因此
这就完成了证明。
让一个k= v (t)k)−v (tk−1),τk∈(tk−1 tk),(0 < t1 < t2 < t3 <…< T)。
然后,非局部条件(2)将在表单
来自外地的均方连续性解决方案的问题(1)-(2),我们获得的15]
即非局部条件(2)转换到均方Riemann-Steltjes不可或缺的条件
现在,我们有下面的定理。
定理5.4让假设(H1)——(H3)感到满意,那么外地的随机微分方程(1)积分条件(3)有一个独特的均方连续解形式表示
证明。方程(4)的限制得到证明。
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