基于LQR控制器的三自由度直升机俯仰轴稳定设计方法

M.Bharathi, Golden Kumar

巴拉特大学能源与工业系教授兼系主任，印度金奈- 600073
巴拉特大学能源与工业系，金奈- 600073，印度

摘要

本课题尝试采用LQR控制器设计方法来实现三自由度直升机系统的俯仰轴稳定。本报告不仅设计了三维直升机PITCH轴模型的稳定控制器，同时也展示了良好的性能。文中还介绍了Riccaati方程、系统可控性、PID控制器等控制系统的基本概念，有助于理解课题内容。本文首先建立了三维直升机俯仰轴动力学的传递函数和状态空间模型，然后简要介绍了LQR控制器的设计步骤。所研究的状态反馈控制器设计技术是一种优化设计方法，可直接应用于三维直升机的不稳定俯仰轴模型。为了证明所研究方法的有效性，报告还演示了LQR和PID控制器之间的比较研究。分别用LQR控制器和PID控制器对闭环系统的性能进行了测试。

1.介绍

3DOF直升机系统(如图1.1所示)由底座、杠杆平衡、平衡块、螺旋桨等部件组成。以基座为支点的平衡柱，以及俯仰。螺旋桨和平衡块安装在平衡杆的两端。螺旋桨旋转升力时，转动一根平衡杆绕支点使俯仰运动，利用两个螺旋桨的转速差，转动一根平衡杆沿支点做旋转运动。平衡杆两端安装编码器，用于测量旋转轴、俯仰轴的角度，在两个螺旋桨连杆上安装编码器，用于测量翻转轴的角度。两个螺旋桨采用无刷直流电动机，为螺旋桨提供动力。通过调节安装在平衡块一侧的平衡杆来减少螺旋桨电机的输出。所有进出身体的电信号都通过滑环传输，从而消除了缠结电线的可能性，减少了关于移动轴的摩擦和负载。编写实验指南的目的是告诉用户如何设计控制器，以控制直升机按照所期望的角度和速度运动。

最优控制理论是研究以最小代价运行动态系统的问题。当系统动力学由一组线性微分方程描述，而代价由一个称为LQ的二次泛函问题描述时，该理论的主要结果之一是解是由一个反馈控制器LQR提供的。首先，从三维直升机的机理和特点出发，对其进行了详细的分析和建模，并运用物理知识得到了三维直升机的建模运动方程。从模型分析可知，该系统存在非线性和状态干扰问题。首先通过系统的线性性得到系统的线性状态空间，然后利用LQR理论从线性状态空间得到最优状态反馈控制器。

1.2的动力

做这个项目的动机主要是在一个有趣的研究领域进行一个具有挑战性的项目。我发现3DOF直升机系统是我感兴趣的一个合适的研究领域，使用LQR控制器设计方法来检查其可控性和鲁棒性是我在这篇研究论文中的贡献。LQR控制器通常应用于工业，特别是化工和航空航天工业。LQR问题是最基本和最具挑战性的控制问题之一，在该方法中;控制器设计简单，通过对状态的估计提高了状态变量的精度。它省去了控制系统工程师在优化控制器方面所做的繁琐工作。但是，工程师需要指定权重因子，并将结果与指定的预期目标进行比较。这意味着控制器合成是一个迭代的过程，工程师通过仿真和计算判断出最优的控制器，然后调整权重因子，使控制器更符合指定的设计目标，这种控制器合成的计算和仿真工作，激励我们从事这个项目。

1.3目标

三自由度直升机俯仰轴稳定LQR控制器的设计与仿真(MATLAB)。

2数学建模

它由底座、杠杆平衡器、平衡块、螺旋桨等部件组成。以基座为支点的平衡柱，以及俯仰。螺旋桨和平衡块安装在平衡杆的两端。螺旋桨旋转升力时，转动一根平衡杆绕支点使俯仰运动，利用两个螺旋桨的转速差，转动一根平衡杆沿支点做旋转运动。平衡杆两端安装编码器，用于测量旋转轴、俯仰轴的角度，在两个螺旋桨连杆上安装编码器，用于测量翻转轴的角度。

两个螺旋桨，使用无刷直流电动机，为螺旋桨提供动力。通过调节安装在平衡块一侧的平衡杆来减少螺旋桨电机的输出。所有进出身体的电信号都通过滑环传输，从而消除了缠结电线的可能性，减少了关于移动轴的摩擦和负载。

用三个微分方程来描述系统的动力学。建立一组简单的微分方程如下:

2.1节距轴

如图2.1所示，假设横摇为零，则两台螺旋桨电机的俯仰轴转矩将F1和F2提升。因此，俯仰螺旋桨轴总升力FhÃ¯Â¼Â′F1Ã¯Â¼ÂF2。当升力Fh大于重力g时，直升机上升。相反，直升机坠落了。现在，假设滚动为零，微分方程为:

3RESERACH方法

3.1 LQR控制器设计方法

LQR最优控制原理为:

XÃ Â = AX + Bu

确定给出最优值的矩阵K

控制向量:u (t) = -K*x(t)

使性能指标最小化:

其中Q为正定(或半正定)厄米或实对称矩阵R为正定厄米或实对称矩阵。

方程右边的第二项是关于能量损失的。矩阵Q和R决定了误差和能量损失的相对重要性。这里，我们假设控制向量u(t)是无界的。

加权矩阵的选择

用数学方法表示性能指标的一种方法是通过如下形式的目标函数:

这里，标量q1…, qn, r……，rm can be looked upon as relative weights between different performance terms in the objective J. The key design problem in LQR is to translate performance specifications in terms of the rise time, overshoot, bandwidth, etc. into relative weights of the above form. There is no straightforward way of doing this and it is usually done through an iterative process either in simulations or on an experimental setup. Once the matrices Q and R are completely specified, the controller gain K is found by solving the Riccati equation.

根据布莱森法则:

Q11为1/(俯仰角)2的最大可接受值

Q22为1/(滚转角度)2的最大可接受值

Q33为1/(俯仰角)2的最大可接受值导数

Q44为1/(滚角)2的导数的最大可接受值

Q55是1/(旅行费率)2的最大可接受值

Q66为1/(阻尼比)2的最大可接受值

Q77是1/ (Ã¯Â¿Â½Ã¯Â¿Â½)的最大可接受值2

将上述值代入:

Q =

3.2三维直升机系统进距轴PID控制器设计

PID控制方案以它的三个校正项命名，它们的和构成了被操纵变量。将比例项、积分项和导数项相加，计算PID控制器的输出。

图3.2:PID控制器

如图2.2所示，下面将详细解释与控制器及其操作相关的不同术语。该块包含三个不同的参数，即比例，积分和导数。PID算法的最终形式为:

(3.0)

式中=比例增益，=积分增益，

=导数增益，e =误差，t =瞬时时间

比例项

比例项产生的输出值与当前误差值成比例。比例响应可以通过将误差乘以一个称为比例增益常数的常数来调整。对于给定的误差变化，高比例增益会导致输出的大变化。如果比例增益过高，系统就会变得不稳定。

积分项

积分项的贡献与误差的大小和误差的持续时间成正比。PID控制器中的积分是瞬时误差随时间的和，并给出了之前应该修正的累积偏移量。然后将累积误差乘以积分增益并添加到控制器输出中。积分项消除了纯比例控制器出现的剩余稳态误差。

导数项

过程误差的导数是通过确定误差随时间的斜率并将这个变化率乘以导数增益来计算的。导数项对总体控制作用的贡献的大小称为导数增益。导数项减缓了控制器输出的变化率。导数控制用于减小积分分量产生的超调量，提高控制器-过程联合稳定性。

俯仰PID控制器

Pitch轴模型由式(2.3)给出:

IV.RESULTANALYSIS

4.1系统可控性

系统在时间t时是可控的，如果有可能通过无约束控制向量在有限时间间隔内将系统从任何初始状态x(t)转移到任何其他状态。事实上，可控性的条件可能决定了控制系统设计问题的完全解决方案的存在。如果所考虑的系统不可控，这个问题的解决方案可能不存在。虽然大多数物理系统是可控的，但相应的数学模型可能不具有可控性。然后，有必要知道系统在哪些条件下是可控的。

4.1.1连续时间系统的完全状态可控性:

考虑连续时间系统。

xÃ Â = AX + Bu (4)

地点:

X =状态向量(n向量)，u =控制信号(标量)，

A = n × n矩阵，B = n × 1矩阵

方程(4.0)描述的系统在t =时是状态可控的，如果有可能构造一个无约束控制信号，该信号将在有限时间间隔内将初始状态转移到任何最终状态，直到t0≤t≤t1，。如果每个状态都是可控的，那么系统就是完全状态可控的。

我们现在推导出完全状态可控性的条件。在不失一般性的前提下，我们可以假设最终状态是状态空间的原点，初始时间为零

式(4.0)的解为: