二元K K 41 40的能量计算和稳定性ï ' Â玻色-费米系统

摘要

研究了二元kk41 40 ï′体系的低温能贡献。在Gross- Pitaevskii (GP)和Thomas-Fermi (TF)近似下进行了研究。对K K 41 40 ï′体系的Gross- Pitaevskii (GP)分析表明，对于正散射长度和负散射长度，体系分别表现出正能量和负能量。然而，在这两种情况下，系统在远离凝聚态中心的地方都有稳定性。结果表明，由于平均场相互作用，GP能量是K K 41 40 ï′体系总能量的主要贡献者。K K 41 40 ï′系统的临界凝聚半径约为6个振子单元，在此范围内，系统自发地从负吸引区向正吸引区移动，在此范围内，系统更能稳定地防止坍缩。在TF近似中，动能不受两种粒子之间相互作用的影响。就像在GP的情况下，也有远离冷凝中心的系统的稳定性。

关键字

玻色子，费米子，玻色-爱因斯坦凝聚(BECs)，散射长度，振子长度，GP方程，TF方程

简介

宏观系统的总能量来源于系统的微观成分的性质[1，2统计力学研究有两种方法;孤立系统中的独立粒子模型和涉及大系统集合的集成模型。玻色子是基本粒子数和为偶数的原子，具有自旋角动量积分。费米子是基本粒子数奇数和的原子，具有奇数半积分的总自旋角动量。

玻色-爱因斯坦理论起源于玻色[3.和爱因斯坦在1925年。玻色研究的是光子，但爱因斯坦将这一想法扩展到了原子，在低温下，粒子处于零动量状态(ZMS)。随后首次在实验中实现了BEC在稀蒸汽中的作用威曼和科内尔[4自1995年以来，在超冷原子气体领域取得了大量的实验和理论进展。凯特勒和胡莱特[5的稀气体中获得的BECs而且原子。特兰斯考特等[6]报告了二元BEC而且混合物。

本文的目标是在GP和TF方程的基础上，建立玻色子、费米子以及玻色子和费米子混合的有效平均场哈密顿量。给出了粒子分布和能量分布的关键推导和分析结果。研究了玻色子-玻色子和玻色子-费米子相互作用对玻色-费米凝聚体稳定性的影响。

理论推导

Gross-Pitaevskii近似

在研究到一阶近似的BECs时，给出了一个非线性薛定谔方程，也称为GP方程

Eq。(1)

是外部俘获势，g是两种粒子之间相互作用强度的度量。利用GP方程研究了凝聚体中玻色子组分的基态性质。罗斯和费尔德梅尔[8]修正了GP方程，包括费米子云产生的平均场相互作用。Tripenbach等人通过耦合GPEs的数值模拟研究了二元凝聚体的结构。

Bogoulibouv近似

由于GP方程的不完备性，引入了Bogoulibouv近似。它被用来研究凝聚态和非凝聚态原子之间的非摄动相互作用。Legget [10，11]显示了GP和Bogoulibov近似之间的关系。

微正则系综

采用了具有对相互作用的微正则集成模型。根据配分函数得到了熵、热力学能和比热。得到玻色子在第j能级的分布为

(2)式。

对于费米子

Eq。(3)

在哪里静止态的能量和而且分别为玻色子和费米子的化学势。玻色子和费米子系综的配分函数Q为

Eq。(4)

熵、内能和比热均由标准教材[1，2)方程

(5)式。

Eq。(6)

Eq。(7)

研究了双分量玻色-费米混合物的平均场描述。与时间无关的耦合gpe [13玻色子的标准形式为

Eq。(8)

对于费米子来说

(9)式。

玻色子-费米子和玻色子-玻色子相互作用强度分别定义为

Eq。(10)

和

(11)式。

在哪里而且分别为玻色子-费米子和玻色子-玻色子s波散射长度。

由方程得到玻色-费米系统的总能量

(12)式。

GP分析中常用的波函数是Legget提出的波函数[8]并给出

Eq。(13)

通过使用等式。(8,9,10,11,12,13)，则玻色-费米系统的总能量为

(14)式。

在eq.(14)中Ei是一个特殊的函数，称为指数积分并且在标准形式中定义为

(15)式。

玻色-费米系统的托马斯-费米近似

玻色子和费米子的粒子密度分别为

(16)式。

而且

(17)式。

对于部分重叠的波函数．费米子之间和玻色子之间的综合相互作用大于玻色子和费米子之间的相互作用。这就是导致两种类型的粒子存在或代表两种类型粒子的波函数部分重叠的原因。类似地，分离的波函数通常发生在．在这里，玻色子-费米子相互作用的强度高于玻色子-玻色子和费米子-费米子相互作用。因此，这导致了两种类型的粒子的分离或它们的波函数的分离。给出了每个凝聚体中玻色子和费米子原子的数量，分别为

Eq(18)。

而且

Eq。(19)

从方程式。(16,17,18,19)再次分别得到玻色子和费米子密度

Eq(20)。

而且

Eq。(21)

方程式。(20和21)表示玻色子和费米子密度如何随托马斯-费米半径R的变化而变化。在式(20)中，玻色子的密度有一部分与R线性相关，另一部分与R有三次相关。对于所有R>0的值，我们在陷阱中有一个有限的玻色子密度。当R=0时，我们有一个完全不存在玻色子的区域。类似地，式(21)表明，费米子密度与相对托马斯-费米半径(R0- r)线性相关，也与(R0- r)线性相关^3.- r^3.)．显然，当R=R0时，费米子就不存在了。所以费米子只在R < R0时存在。所以在R=0和R= R0的两个点上我们得到了在TF近似中玻色子和费米子的完全分离的状态。

玻色子-费米子混合凝聚体的稳定性

让我们考虑在绝对零度温度下具有正和负散射长度的捕获玻色子-费米子混合凝聚态的情况。在GP理论中，我们使用玻色子序参数[14]，即高斯ansatz作为

Eq。(22)

与是振子长度。

费米子密度分布为

Eq(23)。

总能量是根据减少的振荡器能量来评估的

Eq。(24)

其中α是度量玻色子-费米子和玻色子-玻色子耦合常数或相互作用强度的比值

(25)式。

而且

Eq。(26)

分析

我们分析了式(24)的情况系统得到如下图:-

Gross-Pitaevskii能量包括动能、谐振子能量和玻色子-费米子相互作用能，均采用GP近似计算。为⁴¹K -⁴⁰这里考虑K系的正散射长度⁴¹K和⁴⁰K原子意味着粒子之间的排斥。R是凝聚体的宽度，我们得到的结果是，在凝聚体中心附近，相互作用更强，导致几乎无限的能量。当我们远离凝聚态中心时，系统稳定下来。稳定性通常与系统中的最低能量有关。

E1为动能，E2为谐振子能量，E3为Thomas-Fermi近似中的玻色-费米相互作用能。

在托马斯-费米近似和我们计算中使用的低密度极限中，与谐振子和平均场的贡献相比，动能的贡献预计会很大。这是因为动能不受两种粒子之间相互作用的影响。就像在Gross-Pitaevskii例子中一样，当我们远离凝聚态中心时，系统也有稳定性。

图的形状几乎与在图5Gross-Pitaevskii能量。这表明Gross-Pitaevskii能量对总能量的贡献最大。正的散射长度导致正的能量，也有稳定的系统远离凝聚体的中心。

接下来是当我们考虑负散射长度时得到的结果⁴¹K -⁴⁰K原子。只计算了Gross-Pitaevskii能量和相应的总能量。这是由于意识到即使玻色子和费米子之间的相互作用的符号发生改变，托马斯-费米能量几乎保持不变。

与中所示结果进行比较始，发现通过改变散射长度的符号，Gross-Pitaevskii能量由正变为负。负散射长度导致负能量。然而，远离凝聚态中心的系统的稳定性没有改变。

负的散射长度也改变了总能量的符号⁴¹K -⁴⁰K系统从正到负。在约R= 6.0振子单元处总能量发生交叉，可称为临界凝聚半径。这表明，在没有正散射长度(粒子之间的斥力)的情况下，系统可以自发地进入粒子之间的正相互作用状态。

结论

GP分析结果表明，对于正散射长度和负散射长度，系统分别表现出正能量和负能量。然而，在这两种情况下，系统在远离凝聚态中心的地方都有稳定性。GP能量是系统总能量的主要贡献者系统由于平均场相互作用。的系统显示出约6个振子单元的临界凝聚半径，在此范围内系统自发地从负吸引区移动到正吸引区。

确认

感谢物理系所有同事的智力支持。非常感谢国际理论物理中心(ICTP)允许我们访问他们的电子期刊递送服务。

参考文献

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