4Malaysia-Japan国际理工学院、马来西亚各种大学(UTM),吉隆坡,马来西亚
收到日期:10/03/2016;接受日期:14/04/2016;发表日期:18/04/2016
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在这个报告中,凸同伦摄动方法(HPM)提出了近似解的线性Fredholm-Volterra积分和积分微分方程。HPM的收敛性和收敛速度都证明了方程。5提供了数值例子验证了该方法的有效性和准确性。例子表明,HPM非常准确和简单的对积分型积分微分方程来实现。
近似法、同伦摄动法、收敛、错误估计
积分方程自然发生在许多领域的科学与工程(1]。计算的方法来解决积分方程是一个重要的科学研究工作。弗雷德霍姆和沃尔泰拉积分方程是最重要的一个积分方程。
一些迭代方法同伦摄动方法(HPM) (2- - - - - -11)和Adomian分解方法(ADM) (12- - - - - -14),同伦分析方法(15- - - - - -22)已经应用于求解线性和非线性弗雷德霍姆,沃尔泰拉积分方程和积分微分方程。
HPM已被用于一个宽范围的问题;寻找非线性常微分方程的精确和近似的解决方案(常微分方程)7),线性和非线性积分方程(8),积分微分方程(9,10和沃尔泰拉-弗雷德霍姆积分方程11]。Hetmaniok et al。23]提出的方法基于同伦摄动方法解决Volterra-Fredholm第二类积分方程。级数的收敛问题的构造是制定并给出公式的证明。此外,近似解的估计是通过级数的部分和阐述。2016年,Zulkarnain et al。24)考虑Fredholm-Volterro积分微分方程(FVIDE)第三类的订单,用同伦摄动法来解决它(HPM)。发现触发MHPM semianalytical方法,容易应用FVIDE。数值示例方法的效率和可靠性。在这个报告中,我们考虑两种类型的积分方程:
(1)
(2)
方程式。(1)-(2)被称为Fredholm-Volterra积分方程(FVIEs)和Fredholm-Volterra积分微分方程(FVIDEs)分别为第三类。对于两种类型的方程近似解的收敛性是建立和提供四个例子来验证该方法的准确性。
本文组织如下。在第2部分中,我们将应用程序HPM的问题(1)和收敛性的证明。在第三节,HPM修改解决Eq。(2)和近似解的收敛速度。第四节提供了四个例子:前两个例子与情商有关。(1),另两个示例处理Eq。(2)。数值结果表明,该方法是非常准确和快速收敛。在第五节给出结论。
解释(HPM)同伦摄动方法,我们认为的一般积分方程形式
陆+ν= f(3)
L是一个线性算子和N是非线性算子。
作为一个可能的补救措施,我们可以定义同伦H (v, p)通过
H (v, p) = (1−p) F (v) + p (L (v) + N (v)−F)(4)
在哪里F (v)是一个功能操作符与已知的解决方案u0,可以很容易获得。很明显,
H (v, p) = 0(5)
,我们有
H (v, 0) = F (v)。H (v, 1) = Lv + Nv−f(6)
这表明H (u, p)不断跟踪隐式定义的曲线从一个起点H (v0,0)一个解决方案H (u, 1)。嵌入参数p单调增加从零到单位的琐碎的问题F (v) = 0不断变形的最初的问题吗L (u) + N (u)−f = 0。嵌入参数p∈(0,1)可以被看作是一个扩大参数(2]。
获得情商的近似解。(3)我们搜索解决方案系列的形式
(7)
当p→1, Eq。(5)对应于情商。(3)变成了近似解即。,
(8)
该系列(8)是大多数情况下,收敛和收敛速度取决于L (u)和N (u)。
让我们考虑线性Fredholm-Volterra积分方程(1)的内核K1K2∈C ([a、b]×[a、b])和功能年代,f∈C [a、b)是已知的,而函数是待定。定义操作符L (u)和N (u)Eq。(1)如下
Lv (x) = s (x) v (x)
假设s (x)≠0对任何x∈(a、b]。重写Eq。(4)在表单中
H (v, p) = Lv - u0+ p (u0+ Nv - f)(9)
我们解决问题(1)如下。对于p = 0算子方程的解H (v, 0) = 0相当于一个小问题的解决方案s (x) v - u (x)0(x) = 0。p = 1的方程H (v, 1) = 0导致Eq。(1)的解决方案。
用系列解决方案(7)Eq。(5)根据阿贝尔定理的解决Eq。(1)得到的方程
比较相同的参数p在两边情商的力量。(10),导致以下关系
(11)
(12)
(13)
根据计划(11)(13)我们定义部分和遵循
(14)
定理1thm1让K1K2∈C ([a、b]×[a、b])和年代,f∈C [a、b),s (x)≠0对任何x∈(a、b),是连续函数。此外,如果下面的不平等
(15)
在哪里
满意和初始猜你0选择作为连续函数在区间[a、b),然后(7)系列解决方案是一致收敛区间上的精确解u (a、b)为每一个p= [0,1]。
证明。定理1的证明没有多少变化Hetmaniok et al (23]。(定理1)。
备注1Hetmaniok et al。23][备注1]。thm1,间隔(a、b可以取而代之的是()a、b),(a、b]或[a、b),而K的连续性条件我因为我={1,2}和f在适当的地区1Ω和2Ω必须加强通过添加假设这些函数的有界性。此外,条件K我∈([a、b]* [a、b]])可以取代一些实力较弱的条件下,例如内核Lebesque可积性的K我在一组a、b]×[a、b和不平等的25]
在困难或不可能的情况下找到的和系列(7)p = 1,我们可以考虑一个近似解的部分和通过系列(14)。第一个n+ 1系列(14)的限制p→1创建所谓的n阶近似解的形式
(16)
解决方案的年代n(16)可以(x)估计的基础上,下面的定理。定理2是没有多少区别在Hetmaniok et al。23)(定理2)
定理2的错误n(16)的阶近似解可以估计的不平等
在哪里
证明。
让我们介绍的空间连续可微的函数C1([a, b])配备标准
(17)
也就是说,
在哪里
是标准的规范在C [a, b]。
凸HPM申请FVIDEs(2)我们重写它的形式
(18)
在哪里u′(x)的一阶导数是什么u (x)与初始条件u (a) = d0和整合双方的Eq。(? ?)
(19)
操作符形式写Eq。(19)
(20)
在哪里
(21)
使用上面的定义,我们获得了情商的同伦算子。(? ?)
(22)
p∈[0, 1]是同伦参数和u0(x)定义作为情商的初始猜测。(? ?)。以类似的方式,用级数解(7)进入方程
H (v, p) = 0
领导
(23)
比较参数的表达式相同的力量p,我们获得
(24)
(25)
(26)
接下来,的导数v我们定义
(27)
通过使用同伦摄动法,算子方程的解
(28)
搜查了幂级数的形式吗
(29)
如果系列(29)具有收敛半径不大于1,则级数是绝对收敛。通过将情商(29)。(28)和比较参数的表达式相同的力量p导致了关系
(30)
(31)
(32)
近似解的收敛性(7)Eq。(2)中给出了定理3 . .
定理3让
连续函数在各自的领域。此外,如果不平等
(33)
在哪里
持有和初始值0选为连续函数,那么在方程式系列。(7)一致收敛到精确解u (x)的C1规范在区间[a、b每个p∈] [0,1]。
证明。由于内核K1K2和函数f (x), s (x)和s (x)≠0, x∈[a, b],是连续在各自封闭的领域
让你0被选为连续函数
然后从(24)-(26)的关系,
(26)的一般情况下,我们有以下评估:
(34)
在哪里αβ= (b−)
从系列(7),p∈[0, 1]它遵循
(35)
自估计系列(? ?)是常见的几何级数系数β,因此它是收敛,如果公比β< 1。它意味着v (x)上一致收敛为每个p∈[a, b] [0,1]。
关系的假设(30)- (32)
用(? ?)的估计v′k(x)收益率:
系列(29日),我们得到的
(36)
该系列
是收敛的几何级数具有公比β< 1。因此,解决v (x)是可微的。这系列(7)和(29)都是收敛的,如果|β| < 1。然后根据(17)我们获得收敛的级数(7)的精确解u (x)的C1规范。
部分和年代n在情商(x)。(16)和它的导数可以估计如下。
定理4错误n E n阶近似解(19)及其误差的n阶近似导数En可以估计的定义(18)
在哪里
而
和
证明
和
让错误估计En和相对误差δn被定义为
和
示例1考虑Fredholm-Volterra线性积分方程
(37)
因此
定理1的条件,因此HPM收敛任何选择的初始猜测。让我们选择然后计算连续函数vj由关系(11)-(13)我们获得
表1显示的错误当术语n的增加下降非常快。
| n |  |
 |
n | |
|
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 4.17343915 * 106 | 1.39114638 * 105 | 20. | 7.30756701 * 10-19年 | 2.43585567 * 10-17年 |
| 10 | 2.35172667 * 10-10年 | 7.83908886 * 109 | 25 | 4.07349003 * 10-23年 | 1.35783001 * 10-21年 |
| 15 | 1.31092835 * 10-14年 | 4.36976116 * 10-13年 | 30. | 2.27070391 * 10-27年 | 7.56901305 * 10-26年 |
表1:错误的近似解n(x)由(16)情商。(37)。
示例2考虑到Fredholm-Volterra积分方程
(38)
与精确解d(x) = e- x。
解决方案。让最初的猜你0= 0。由此可见,从情商。(38)
参数αEq。(38)满足不等式(15)。
从表2可以看出,绝对和相对误差降低了计算n的增加时非常快。
| n | |
|
n | |
|
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 8.52615826 * 108 | 8.526158263 * 106 | 20. | 5.59658360 * 10-30年 | 5.59658360 * 10-28年 |
| 10 | 3.43859915 * 10-15年 | 3.43859915 * 10-13年 | 25 | 2.25784296 * 10-37年 | 2.25784296 * 10-35年 |
| 15 | 1.38724210 * 10-12年 | 1.38724209 * 10-20年 | 30. | 9.108865591 * 10-45年 | 9.10886559 * 10-43年 |
表2:错误的近似解n(x)定义为情商。(38)。
示例3考虑到Fredholm-Volterra积分微分方程的第三类
(39)
与精确解ud= x和初始条件u (0) = 0。
解决方案。从情商。(39)
因此,
满足条件的定理3。通过选择初始函数u0我们获得(x) = 1 (表3):
| n | |
|
n |  |
|
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 1.96687746 * 109 | 1.96687746 * 107 | 20. | 7.97754087 * 10-36年 | 7.97754087 * 10-34年 |
| 10 | 4.75088504 * 10-18年 | 4.75088504 * 10-16年 | 25 | 3.82804414 * 10-45年 | 3.82804414 * 10-43年 |
| 15 | 1.02017261 * 10-26年 | 1.02017261 * 10-24年 | 30. | 1.81398763 * 10-53年 | 1.81398763 * 10-51年 |
表3:近似解的误差(16)情商。(39)
从这些研究结果我们可以得出精确解的近似解收敛速度非常快的时候n增加。
示例4考虑到Fredholm-Volterra积分微分方程的第三类
(40)
解决方案。情商的精确解。(40)dx = 1 + 32。不难看到
满足条件的定理3。
的结果表4表明,情商的绝对和相对错误。(40)与初始猜测下降非常快0(x) = x + 2。
| n | |
|
n | |
|
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 5.79771528 * 107 | 1.44942882 * 105 | 20. | 4.38679146 * 10-27年 | 1.09669786 * 10-25年 |
| 10 | 1.13820421 * 10-13年 | 2.84551053 * 10-12年 | 25 | 8.61212628 * 10-34年 | 2.15303157 * 10-32年 |
| 15 | 2.23451662 * 10-20年 | 5.58629154 * 10-19年 | 30. | 1.69072818 * 10-40年 | 4.22682043 * 10-39年 |
表4:近似解的误差(16)Eq。(40)
示例5第三类考虑Fredholm-Volterra积分方程的形式
解决方案。确切的解决方案是u (x) = x2与最初的猜测
在这个例子中,定理2的条件失败。自
因此
从表5,我们可以得出这样的结论:情商的近似解。(41)将收敛于精确解,但这可能取决于选择的初始猜测。
| n | |
|
n | |
|
|---|---|---|---|---|---|
| 5 | 6.01228713 * 103 | 0.15030718 | 20. | 5.09091226 * 10-11年 | 1.27272807 * 109 |
| 10 | 1.22543958 * 105 | 3.06359894 * 104 | 25 | 1.03764182 * 10-13年 | 2.59410456 * 10-12年 |
| 15 | 2.49772003 * 108 | 6.24430008 * 107 | 30. | 2.11494619 * 10-16年 | 5.28736548 * 10-15年 |
表5:近似解的误差(16)Eq (41)。
在这个报告中,我们分析了HPM求解线性FVIEs FVIDEs第三类。从这个定理2,HPM FVIEs一致收敛如果α< 1。同时,HPM FVIDE均匀收敛,如果β< 1可微。
示例1 - 2对应表1和2验证HPM FVIEs非常准确和稳定。同时例子3 - 4显示HPM快速收敛到精确解时的点n增加。例5,表明凸HPM收敛于精确解的初始猜测尽管条件的合适选择定理2是不满意。
从上面的例子中,我们可以得出这样的结论:HPM方法求解FVIE FVIDE收敛很快,当点的数量n增加和给定的函数和内核thm1和thm3满足一定的条件。
这项工作是支持的大学Putra马来西亚根据基础研究资助计划(德意志联邦共和国,2011)。项目代码是01 - 12 - 10 - 989 fr。
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