学院管理和经济科学大学de Parakou贝宁
收到日期:10/05/2016接受日期:24/05/2016发表日期:28/05/2016
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多元流程、核密度过放荡生活距离,线性过程,参数估计,长期记忆,多变量过程
让
bead-variate线性过程独立于表单:
(1)
定义在一个概率空间(Ω
(F), p), {Zt}是固定的序列d-variate相关随机向量
和正定协方差矩阵a: d×d。在本文我们将假定
(2)(3)
在任何d d, d = 2, A =(一个吗ij(θ))的组件依赖于参数θ,等
和0d×d表示d×d零矩阵。这里θoΘΘ
,。让
(4)
'表示转置,和矩阵³=(σkj),
(5)
被假定为高斯和一直响了依赖的过程。Fakhre-Zakeri和李中央定理证明了多元线性流程由独立的多变量随机向量和Fakhre-Zakeri和李也派生功能多元线性过程的中心极限定理所产生的多变量随机向量与鞅差序列。Mi-HwaKo Tae-Sung Kim和Sung-Mo涌1]证明d-variate相关随机向量的中心极限定理。问题是如何估算θ为了调查模型的拟合数据?一个估计
有两个基本属性:它会不会大大pertubated效率及其分布。
{Xt}是一个多元高斯过程与密度依赖fθ()。我们估计一般多元线性过程中的参数(1)。
本文证明的一般估计参数向量θ的最小车辆疾驰距离方法(磁流体动力)。唯一现有的例子磁流体动力估计i.i.d.相关的随机变量序列的2- - - - - -4]。长期记忆单变量线性流程看到片断的门(5]。长期记忆概念出现自1950年以来在水力学赫斯特的作品。这个过程据说是一个长期记忆的过程,如果在(1)中,λ是一个参数的内存,和1 / 2 <λij< 1 j = 1,…, d和i = 1;…; d。
开发人员在第二节,一些假设前题,基本上基于Tae-Sung金的工作,Mi-Hwa Ko和Sung-Mo涌1)和工作Theophilos Cacoullos [6]。是我们的主要结果在第三节,基于零碎的工作和门5]显示一致性和渐近性质的磁流体动力参数θ的估计。我们用一些例子得出结论,
Parzen [7]给出一类估计的渐近性质n(x)一个单变量的密度函数f (x)的基础上随机样本x1X、…n从f (x)。动机在Parzen,我们认为估计fn(x)密度函数f (x)以下的形式:
(6)
(7)
Fn(x)表示基于样本的经验分布函数的n个独立观察x1X、…n在随机采用向量X选择满足适当的条件和{hn}是一系列积极的常量在续集总是满足hn→0,当n→8。我们假设K (y)是一个标量函数Ed这样
(8)
(9)
(10)
y表示向量的长度。
和
(11)
(12)
还K (y)是绝对可积(因此f (x)是均匀连续的)。
(13)
和
(14)
看到Theopilos Cacoullos [6)和零碎的,门5]
符号和假设:让
是一个家庭的功能whereT是一个紧凑的参数集
这样的θεΘ,f (。,θ):
是一个积极的积分函数。假设f(θ)满足以下假设。
(A2):θ,µεΘ,θ≠µ是一个连续可微函数在θεΘ。
(A2):(我)
有一个零勒贝格测度和f(θ)是有界的
(2)为θ,µΘ阿,θ≠µ暗示
是一组积极勒贝格序,xo
(A3): K这样的内核函数
(A4):带宽{bn}满足自然条件,
对于ι≥= 1当n→∞
(A5):存在一个常数ß> 0,
让F表示一组密度对勒贝格测度定义的功能
在以下:让
.Denote B (g)的设置
在H2过放荡生活的距离。
如果B (g)是减少到一个独特的元素,那么T (g)定义为该元素的值。在其他地方,我们选择任意但这些极限的独特元素,称之为T (g)。
引理1:让
是一个严格的固定采用随机向量序列与E (Zt型)= 0,E (Zt型)< + 8和正定协方差矩阵³作为(5),我们(Xt)是一个d-variate线性的过程定义为(1)假设
(15)
然后,(X的线性过程t)满足中央极限定理,即
(16)
→在哪里
表示依分布收敛和N (0, T)表示的正态分布意味着零向量和协方差矩阵T(4)中定义。
引理1的证明,请参阅定理1.1 Tae-Sung Kim Mi-Hwa Ko和Sung-Mo涌1]
引理2:备注3.2和定理3.5的Tae-Sung Kim Mi-Hwa Ko和Sung-Mo涌1),我们有
(17)
引理2的证明,请参阅Tae-Sung Kim Mi-Hwa Ko和Sung-Mo涌1]
引理3:假设(一个5)持有。如果f1上是连续的
如果对于几乎所有x, h是在Φ连续
(我)
(2)如果B (g)是减少到一个独特的元素,然后在g t是连续的车辆疾驰拓扑。
(3)T (fθ)=θΘ独特
证明:看到引理3.1零碎的,门5]。
引理4:假设
满足的假设(一个1)- (A3)。然后,所有序列的密度
收敛于fθ过放荡生活的拓扑。
在那里,
与一个n(问×q -矩阵的分量趋于0 n→∞
证明:见定理2 Beran [2]
引理5:在假设(一个3),如果带宽bn定理1和2,如果f(θ)是连续在一个紧凑的支持。如果密度f(θ)的观测(满足假设1)- (2)。然后
收敛于f(θ)车辆疾驰的拓扑。
证明引理8
在假设(一个2),(3)和(5)和引理2,我们有
然后
在车辆疾驰拓扑
该方法引入了Beran [2独立样本,由零碎的,门5)线性单变量过程相关的长期记忆。本文假设过程独立多元相关随机向量相同条件下Bittyand门(5在漫长的记忆。最小车辆疾驰的距离估计参数向量获得通过非参数估计过程的密度(Xt)。我们定义
当θ值εΘ最小化车辆疾驰的距离
在哪里
是f的非参数估计(θ)和
存在许多的非参数估计方法在文献中。看到例如Rosenblatt [8),在其中。由于计算的原因,我们考虑的核密度估计在第二节中定义。之前分析的最优性质
我们需要一些假设。
在哪里是f的非参数估计(θ)和
渐近性质
定理1(几乎可以肯定一致性):假设(一个1)- (5)举行。然后,几乎必然收敛toθ。
的证据,看到第三节。
让由J表示n为:
让我们表示的
下面的函数。
在哪里
是一个存在的数量,t表示转置。
条件1:
我们有q×q矩阵序列vn在引理4和序列Jn是这样的,我nvn趋向于零
。
定理2(渐近分布):假设(A1)——(A6)和条件1。如果
是一个满秩矩阵(qq),
承认一个紧凑的支持,我们有
的证据,看到第三节。
附录
定理1的证明
从引理3,
作为
独特,证明之前的其余部分从功能性的连续性T引理1 (.)。
定理2的证明
从引理和定理的证明2零碎的,门5),我们有
一个组件(d×d)矩阵的零概率当n→8。
条件下1,我们有
的极限分布
取决于的极限分布
,
= 0,b = 0,我们有代数的身份
为
我们有
与
和
从假设(A6)
与
和
在假设(A1) -泰勒(A2)我们应用拉格朗日为了2和假设(A4)我们有:
所以
所以
此外,我们有
Fn()和F()分别经验分布函数和过程的分布函数。通过集成部分,我们有
从Ho和兴9,10)(定理2.1和2.2的话)和假设(A2)和(A4)
Φ是一个标准的高斯随机变量和! D表示依分布收敛。
所以
在哪里
表示的等效分布亲和力。对于所有ξ> 0,
的融合
取决于的融合
所以假设下
我们有
我们有
与
和
在假设(A1)——(A2)我们应用Taylor-Lagrange公式
订单2和假设(A4)
此外,从命题1、2和3
(部分)
或
在哪里
和U (x)的值根据不同的点的证明引理3:
在这里
多个Wiener-Ito积分定义的关系(9)1.1节和σ2(x, c)中定义的第一个命题点3。表示由
或
我们推断出
被称之为
然后
我们得出这样的结论:D→0时n→∞
部分(b)
与
和
(a)部分的证明
是一样的证明吗
。在的地方
因此它可以证明的极限分布
的极限分布是一样的吗
处理
然后
与
和
的证明引理3 (b)(部分),我们有:
然后
从命题1、2和3,我们有:
或
或
我们推断出
或
所以,
或
然后,
或
我们得出结论,我们有一个渐近正态分布或者一个渐近的过程向多个维纳-伊藤积分。
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