Benyammi Youcef1， Moussi Oumelkeir2*
2国家经济学院经济系Supérieure de la统计和经济Appliquée(ENSSEA)，法国
收到日期:30/12/2015;接受日期:28/01/2016;发表日期:03/02/2016
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通常我们使用Dickey-Fuller检验来检验假设H0: I(1)(存在单位根)与H1: I(0)(不存在单位根)下时间序列的平稳性，它用于短记忆的情况。在这篇文章中，我们提出了分数阶Dickey-Fuller检验的扩展，该检验由Bensalma提出，用于长记忆情况下，当测试回归的误差自相关时。该检验被认为是ADF检验的一种推广，两者步骤相同。推导了该检验的渐近性质，并通过蒙特卡罗仿真实验对其进行了研究。最后以一个应用实例说明了该方法的实用性和简便性。
ARFIMA，长记忆，分数参数测试，FDF测试
考虑到分数阶积分参数识别的重要性，许多研究者对基于该参数的统计检验产生了兴趣。这些测试对于捕获许多长内存进程的持久性属性非常有用。平稳性测试通常是几篇论文的主题。有越来越多的工作开发这些测试的新方法。这些工作是为了验证参数d的归属，使得如果d < 1/ 2，过程是平稳的(渐近平稳)，如果d≥1/ 2，过程不是平稳的。
一开始，赫斯特统计量被用作一种启发式测试来测试长记忆行为的存在，然后，随着随机方法的发展，为了提高这些测试的性能，其他测试也被暴露出来。在这些测试中，我们发现了GPH测试(Geweke和Porter-Hudak测试)，它是在频域测试长记忆的存在。Robinson和Tanaka分别在频域和时域提出了拉格朗日乘子检验(LM检验)。另一种类型的测试是由Dolado [1，冈萨洛和马约拉尔，由洛巴托和贝拉斯科修改[2]，因为它是在替代假设下工作的Wald类型测试。这种测试被称为分数次迪基-富勒测试(FDF测试)，最初是为FI(d0)与FI(d1)用d1< d0。最近，Bensalma [3.]提出了一种具有可接受的幂性质的统计检验方法，并基于Dickey-Fuller原理来检验单位根的存在。结果证明，它是著名的Dickey-Fuller (D-F)测试的推广，并且可以被视为在简单性、效率和实现方面优于FDF。
bensalma检验的所有步骤和性质都与Dickey-Fuller检验相似，而且他使用的假设与DF检验相同。因此，他证明了我们可以使用Dickey fuller发现的临界值来执行他的测试。为此，我们发展了A. Bensalma[]提出的分数阶Dickey Fuller检验。3.在增广的情况下。本开发采用蒙特卡罗仿真方法对性能(功率)进行了研究，并检验了经验分布。
本文的组织结构如下。在下一节中，我们将介绍由Bensalma[]提出的新的分数阶Dickey-Fuller检验。3.]。在第3节中，我们将分几个小节讨论新的分数增强Dickey-Fuller检验。首先，我们介绍了在测试中使用的回归。其次，研究检验统计量的渐近分布，并计算其临界值。最后一小节包含蒙特卡洛模拟实验，其中研究了测试的大小和功率。第4节讨论了先前检验的实证应用。最后，第5节总结了结论。
Bensalma [4]提出了一种基于分数参数的新检验方法，其灵感主要来自于著名的Dickey-Fuller检验[5]，但在更一般的情况下(分数情况)。本测试是在以下假设下开发的:
回归检验由:
（1）
式(01)可以写成:
(2)
ρ =φ−1
假设检验可以基于(02)中回归的ρ系数构建为:
零假设下ρ及其t比的OLS估计量的渐近分布由以下定理给出:
定理:
如果
是一个数据生成过程，定义为:
，设为(02)中给出的回归
当n→+∞时，有:
当n→+∞时，t-stat验证:
<
为了测试分数阶时间序列的渐近平稳性，我们使用以下测试问题0: d≥½/ H1辅助回归检验由:
在d=1和
分别，两种情况均与常规测试相似[5]。因此，对应的渐近分布，在d=d0，是不变的，类似于Dickey和Fuller [5]。因此，由渐近分布得到的临界值与Fuller [6之后由麦金农介绍。
此外，该测试的所有步骤和给出的理论结果已经在他的文章中被蒙特卡罗模拟验证，这表明该测试是测试分数阶情况下平稳性的强大工具。
研究了NFDF检验统计检验的渐近分布，假设误差项为òt)在回归(02)中为白噪声。但是，这种假设并不总是得到证实。
在本节中，我们基于Bensalma [4]，在误差序列相关的情况下扩展他的原理结果。
转换模型
让(y)t， t∈Z)为分数过程，且:
(4)
(01)中的辅助回归可以写成如下形式:
(5)
在哪里
虽然，误差是自相关的，为了减少到具有非自相关误差的回归，我们必须执行以下引理:
引理
任何具有(p)阶自相关误差的AR(1) -过程，都可以简化为具有非自相关误差的AR (p)过程。
引理的结果
任何具有(p-k)阶自相关误差的AR (k) -过程都可以简化为具有非自相关误差的AR (p)过程。
证明:见附件
根据这个引理及其结果，我们发现式(05)可以写成如下形式
(6)
在哪里
我们替换掉xt表达式(04):
这个方程等价于:
备注:
此方程表示Bensalma提出的NFDF检验的增广回归[3.]。
(i)如果系数γj均不显著，我们将得到简单的NFDF检验模型:
(ii)如果d0= 1,因此:
该模型代表了经典增强Dickey-Fuller检验的回归。因此，该检验可视为增强Dickey-Fuller检验的推广[7]，并基于回归中ρ系数的显著性(07)。
蒙特卡罗实验:
下面，我们利用上述NFDF检验中的一些方法，用蒙特卡罗模拟实验研究了增宽情况下检验的类比。
假设检验的重构:
考虑以下测试问题0: d≥d0对H1: d < d0，这些假设可以构建为(07)中增宽回归系数ρ的函数，这种重新表述在以下命题中提出:
建议1:
在零假设下(其中d≥d0)，在回归(07)中，系数ρ， ρ的OLS估计量为零。
在备择假设下(d < d0)，回归(07)中ρ ρ系数的OLS估计量严格小于零，并且当d时收敛到无穷0是伟大的。
我们可以将这个提案简化如下:
在陈述的命题下，测试
相当于测试
由回归(07)。
证明
本方案的证明将使用模拟:
对于d=1,0.25,0.5,0.75,1,1.25,1.2,2的几个值，实验覆盖了长度为T=500的ARFIMA(1,d,0)系列。蒙特卡洛研究涉及1000个重复(系列)，其中在每个系列中我们计算ρ的估计量。
图1下面显示了估计ρ的平滑曲线。
图1:ρ系数根据d (d=0,0.25，…2)和d的值收敛0ARFIMA (1,d,0)过程。
前两个假设和第二个假设的等价性在图1例如，当我们将d固定在d=1,0.25,0.5,0.75,1,1.25,1.2,2时，ρ值对于d的任何值都是00≤d。一旦d0的值高于d， ρ的值开始下降，并取负值。例如，考虑图1 d，我们注意到，当d时，ρ ρ的系数为零0^0.75(直到d = d的不连续红线0）.从这一点开始，的值开始呈负值递减，这证实了ρ ρ = 0等于d≥d的假设0，以及替代假设ρ ρ < 0等于d > d0。
在零假设下，Said和Dickey [8]表明，增广情况下检验统计量的渐近分布与简单情况下(不存在误差自相关)的检验统计量的渐近分布相同。此外，Bensalma表明d = d时DF检验统计量的分布与NFDF检验相似0。给出了NFDF检验的检验统计量的渐近分布行为。
建议2:
假设:d = d0， NFADF检验统计量的渐近分布不变且与ADF检验统计量的分布相同。
也就是说，如果d的值0等于积分的真实值(无论这个值是多少)，分布保持不变，与ADF检验相同。
证明:
通过比较NFADF检验和ADF检验的经验分布，证明了该方法的有效性。这种比较是针对各种分布的分位数(临界值)进行的。
本文给出的仿真实验如下:
a.首先，我们的目标是生成几个进程(分别对应ARFIMA(0,d, 0)和ARFIMA(p,d,0))。
b.这些模型是基于分数噪声序列，它是用Diebold和Rudebusch算法生成的。
c.用d = d估计回归检验(07)0= 1/2，以保证DF和NFDF两个分布相似的条件。
d. NFDF检验和NFADF检验的估计分位数(临界值)(滞后从1到5不等);对于不同样本量T= 25、50、100、150、200、500、1000、3000)，从50个模拟实验(每个模拟实验包含10,000个重复)的算术平均值中得到0.01 ~ 0.99的显著性水平。
NFADF检验统计量的分布不同于相同期望和相同方差的正态分布(图2一个的q - q图证实了这一点图2 b这表明检验统计量的分布不是正态分布。
图2:比较了ADF检验与正态分布的经验分布和ADF检验的经验分布。
的图2c及2d分别表示ADF和NFADF检验统计量的经验分布图，以及检验ADF和NFADF的ρ关系式的分布。请注意，分布有一个完美的叠加，这证实了我们的命题。
临界值表在附录中给出。
从估计临界值表(09):
•我们看到这些值与Dickey-Fuller[得到的常用表列临界值类似。5]，迪基和赛义德[8麦金农著。
•另一方面，对于相同的样本量、不同的滞后数和相同的阈值，临界值彼此非常接近。
因此，为所有滞后选择单一值是合适的;因此，我们选择临界值的平均值作为代表值(表1）.
| T | 概率 小于C(α) |
|||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.01 | 0.025 | 0.05 | 0.1 | 0.9 | 0.95 | 0.975 | 0.99 | |
| 25 | -2.665 | -2.287 | -1.956 | -1.614 | 0.916 | 1.321 | 1.689 | 2.093 |
| 50 | -2.625 | -2.263 | -1.948 | -1.626 | 0.904 | 1.309 | 1.635 | 2.064 |
| One hundred. | -2.599 | -2.253 | -1.946 | -1.618 | 0.900 | 1.297 | 1.636 | 2.015 |
| 150 | -2.585 | -2.251 | -1.946 | -1.615 | 0.899 | 1.291 | 1.635 | 2.035 |
| 250 | -2.590 | -2.247 | -1.944 | -1.615 | 0.891 | 1.284 | 1.613 | 2.031 |
| 500 | -2.581 | -2.223 | -1.941 | -1.611 | 0.885 | 1.284 | 1.614 | 2.003 |
| 1000 | -2.564 | -2.229 | -1.944 | -1.613 | 0.888 | 1.296 | 1.633 | 2.051 |
| 3000 | -2.563 | -2.16 | -1.940 | -1.613 | 0.883 | 1.289 | 1.612 | 2.047 |
资料来源:由我们自己模拟制作
表1:新分数阶迪基-富勒检验统计量的估计临界值。
NFADF测试的功率和大小:
接下来，我们将通过分析ARFIMA (p, d, 0)几个模型的大小和功率来研究增强情况下检验的信度。
命题04:
让yt，t∈Z为随机过程，α、β分别为新分数阶增广Dickey Fuller检验的第一类误差和第二类误差，其假设为:
存在由临界区域Wα确定的无偏检验，
与
和
其中t是ρ ρ对应的检验统计量，d定义为:
， cn(α)为α级的临界值
证明:
为了证明这个命题，我们将对几个ARFIMA(p,d,0)模型进行蒙特卡罗模拟，其中我们取不同的d值(d = 0,0.5,1))来检查所有可能的情况(长记忆和短记忆，平稳和非平稳)。
我们考虑了这些过程的自回归部分的几个滞后(p=1,2,3,4)，并在自回归部分平稳的假设下随机选取系数值。
我们将研究不同样本容量(T= 25,50,100,300 et 1000)的不同模拟模型在阈值1%，5%和10%时NFADF检验的规模和功率0(d0∈)-1.5、1])。
对于每个实验，我们使用了10000次重复，结果如下表所示。
初步结果:
我们进行了几次模拟实验，我们注意到，当改变用于运行测试的滞后数时，当改变自回归部分的系数时，我们得到了相同的结果。因此，在我们下面的研究中，我们选择了一个只有一个滞后的增强模型。
以下表2 - 7日采用蒙特卡罗模拟方法，在上述假设的基础上，给出NFDF试验的计算尺寸和功率。
| T | α\ d0 | 0 | -0.1 | -0.2 | -0.3 | -0.4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | 1% | 98.1% | 99.3% | 99.8% | 99.7% | 99.9% |
| 5% | 94.4% | 96.2% | 98.3% | 98.8% | 98.6% | |
| 10% | 89.5% | 93.3% | 95.2% | 97.2% | 96.3% | |
| 50 | 1% | 99.3% | 99.5% | 99.7% | 99.9% | 100% |
| 5% | 95.4% | 97% | 98.4% | 99.3% | 99.4% | |
| 10% | 89.4% | 93.6% | 96.4% | 98.4% | 98% | |
| One hundred. | 1% | 99% | 99.8% | 99.9% | 100% | 100% |
| 5% | 94.5% | 97.6% | 99.3% | 99.6% | 100% | |
| 10% | 89.6% | 95.3% | 97.4% | 98.6% | 99.6% | |
| 500 | 1% | 98.9% | 99.9% | 100% | 100% | 100% |
| 5% | 95.1% | 98.9% | 99.9% | 100% | 100% | |
| 10% | 91% | 97.2% | 99.2% | 100% | 100% | |
| 1000 | 1% | 98.9% | 99.9% | 99.9% | 100% | 100% |
| 5% | 94.7% | 99.3% | 99.7% | 100% | 100% | |
| 10% | 89.8% | 98.2% | 99.5% | 99.9% | 100% |
资料来源:由我们自己模拟制作
表2:计算得到H的概率0d = 0≥d0(大小)，基于JG MacKinnon计算的Dickey-Fuller分布的1%、5%和10%的渐近分位数。
| T | α\ d0 | 0.5 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | 1% | 99.2% | 99.6% | 99.7% | 99.6% | 100% |
| 5% | 95.1% | 96.9% | 97.2% | 97.8% | 98.9% | |
| 10% | 89.9% | 93.5% | 94.5% | 95.3% | 97.2% | |
| 50 | 1% | 99.1% | 99.3% | 99.8% | 100% | 100% |
| 5% | 95.5% | 97.1% | 99% | 99.6% | 99.5% | |
| 10% | 90.6% | 93.3% | 96.7% | 97.3% | 98.5% | |
| One hundred. | 1% | 99.1% | 99.6% | 99.8% | 100% | 100% |
| 5% | 95.3% | 98.1% | 99.3% | 99.8% | 100% | |
| 10% | 90.1% | 95.4% | 97.3% | 99.3% | 99.7% | |
| 500 | 1% | 99.2% | 100% | 100% | 100% | 100% |
| 5% | 95.3% | 98.8% | 99.6% | 99.9% | 100% | |
| 10% | 90.6% | 97.3% | 99.3% | 99.9% | 99.9% | |
| 1000 | 1% | 99.2% | 99.9% | 100% | 100% | 100% |
| 5% | 94.9% | 99.6% | 100% | 100% | 100% | |
| 10% | 90.9% | 98.4% | 99.9% | 100% | 100% |
资料来源:由我们自己模拟制作
表3:基于JG MacKinnon计算的Dickey-Fuller分布的1%、5%和10%的渐近分位数，计算出接受H0的概率:d = 0.5≥d0 (size)。
| T | α\ d0 | 1 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | 1% | 99.1% | 99.2% | 99.8% | 99.8% | 99.9% |
| 5% | 95.4% | 96.3% | 97.6% | 97.8% | 98.1% | |
| 10% | 90.9% | 92.6% | 94.3% | 95.5% | 96.1% | |
| 50 | 1% | 99.1% | 99.4% | 99.8% | 99.8% | 100% |
| 5% | 95.1% | 97.2% | 98.3% | 99% | 99.3% | |
| 10% | 89.5% | 93.9% | 96% | 97.5% | 98.1% | |
| One hundred. | 1% | 98.5% | 99.7% | 99.8% | 99.9% | 100% |
| 5% | 94.4% | 97.9% | 99% | 98.9% | 99.9% | |
| 10% | 89.9% | 95.7% | 97.1% | 98.2% | 99.3% | |
| 500 | 1% | 98.9% | 99.9% | 100% | 100% | 100% |
| 5% | 95.2% | 98.9% | 99.8% | 100% | 100% | |
| 10% | 90.5% | 97% | 99.3% | 100% | 100% | |
| 1000 | 1% | 99.2% | 99.8% | 100% | 100% | 100% |
| 5% | 94.8% | 99.3% | 100% | 100% | 100% | |
| 10% | 89.8% | 98.1% | 997% | 100% | 100% |
资料来源:由我们自己模拟制作
表4:计算得到H的概率0: d = 1≥d0(大小)，基于JG MacKinnon计算的Dickey-Fuller分布的1%、5%和10%的渐近分位数。
| T | α\ d0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | 1% | 02.1% | 03.9% | 04.0% | 08.6% | 83.2% |
| 5% | 08.0% | 14.5% | 16.3% | 26.6% | 98.5% | |
| 10% | 14.6% | 23.5% | 28.1% | 40.7% | 99.6% | |
| 50 | 1% | 02.6% | 04.3% | 11.0% | 20.6% | 99.8% |
| 5% | 11.2% | 15.7% | 28.2% | 49.4% | 100% | |
| 10% | 19.1% | 28.1% | 43.5% | 66.4% | 100% | |
| One hundred. | 1% | 02.5% | 09.5% | 24.0% | 44.7% | 100% |
| 5% | 10.4% | 25.7% | 47.1% | 71.9% | 100% | |
| 10% | 19.6% | 37.7% | 62.6% | 82.9% | 100% | |
| 500 | 1% | 6.9% | 29.3% | 66% | 95.3% | 100% |
| 5% | 19.6% | 50.3% | 84.4% | 99.2% | 100% | |
| 10% | 31.2% | 64.4% | 91.5% | 99.8% | 100% | |
| 1000 | 1% | 8.8% | 38% | 83% | 99.3% | 100% |
| 5% | 22.6% | 60.8% | 93.8% | 99.9% | 100% | |
| 10% | 34% | 72.5% | 97.1% | 100% | 100% |
资料来源:由我们自己模拟制作
表5:计算得到H的概率1: d = 1 < d0(幂)，基于JG MacKinnon计算的Dickey -Fuller分布的1%、5%和10%的渐近分位数。
| T | α\ d0 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 1.5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | 1% | 01.9% | 02.9% | 05.6% | 08.1% | 83.9% |
| 5% | 08.6% | 10.3% | 19.6% | 28.5% | 92.1% | |
| 10% | 14.8% | 19.7% | 30.3% | 44.3% | 96.2% | |
| 50 | 1% | 03.7% | 06.5% | 10.9% | 22.6% | 100% |
| 5% | 10.8% | 17.4% | 31.6% | 48.6% | 100% | |
| 10% | 17.8% | 28.8% | 46.8% | 63.8% | 100% | |
| One hundred. | 1% | 02.6% | 08.5% | 22.5% | 44.9% | 100% |
| 5% | 11.8% | 22.1% | 47.8% | 72.8% | 100% | |
| 10% | 20.1% | 35.2% | 60.6% | 84.0% | 100% | |
| 500 | 1% | 07.5% | 67.4% | 30.1% | 95.7% | 100% |
| 5% | 19.5% | 85.1% | 50.9% | 99.3% | 100% | |
| 10% | 29.9% | 90.8% | 63.5% | 99.8% | 100% | |
| 1000 | 1% | 09.1% | 35.6% | 84.2% | 99.0% | 100% |
| 5% | 23.8% | 58.1% | 94.4% | 100% | 100% | |
| 10% | 35.4% | 70.3% | 97.4% | 100% | 100% |
资料来源:由我们自己模拟制作
表6:计算得到H的概率1: d = 0.5 < d0(幂)，基于JG MacKinnon计算的Dickey-Fuller分布的1%、5%和10%的渐近分位数。
| T | α\ d0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 25 | 1% | 1.8% | 1.8% | 5.8% | 7.1% | 84.5% |
| 5% | 7.4% | 10.9% | 20.5% | 28.4% | 97.7% | |
| 10% | 15.7% | 21.6% | 33.9% | 43.9% | 99.4% | |
| 50 | 1% | 1.4% | 6.2% | 10.1% | 20.6% | 100% |
| 5% | 8.7% | 17.7% | 29.6% | 48.6% | 100% | |
| 10% | 14.8% | 27.7% | 42.9% | 64.8% | 100% | |
| One hundred. | 1% | 2.7% | 8.4% | 22.1% | 43.6% | 100% |
| 5% | 11.8% | 24.5% | 47.2% | 71.2% | 100% | |
| 10% | 20.1% | 36.2% | 63.2% | 82.9% | 100% | |
| 500 | 1% | 7.3% | 27.2% | 62.6% | 95.5% | 100% |
| 5% | 20.8% | 49.2% | 81.2% | 99.8% | 100% | |
| 10% | 30.2% | 62.4% | 88.6% | 100% | 100% | |
| 1000 | 1% | 9.8% | 37.5% | 81.9% | 99.2% | 100% |
| 5% | 24.9% | 61.5% | 92.1% | 100% | 100% | |
| 10% | 34.6% | 71.6% | 96.2% | 100% | 100% |
资料来源:由我们自己模拟制作
表7:计算得到H的概率1: d = 1 < d0(幂)，基于JG MacKinnon计算的Dickey -Fuller分布的1%、5%和10%的渐近分位数。
从前三个表中，我们注意到:
在H0，当d0= d时，接受原假设的概率接近值(1- α)，∀α= 1%， 5% et 10%(第一列的第一列)表3)，差异不超过1%，证实了该分布(NFADF检验)与ADF检验的相似性。
•对于d的其他值0，得到的结果表明，当它们远离d(实值)时，接受H的概率0增加直到达到100%(对于大样本量)。这将确保在不同的实际经验中对零假设的选择做出准确的决策。
在我们计算幂(表4、5和6）：
•α (I型误差)和幂之间的联系是明确定义的，因此当我们取较高的α值时，幂增加，反之亦然。
•请注意，当我们上升α或当我们增加样本长度时，幂是低的。但在所有情况下，它都高于α。以α = 1%为例，所有计算的幂，无论样本是什么，无论d和d的值是什么0，均高于1% (α = 5%和α = 10%同样)。这意味着这个统计检验是一个无偏检验。
•我们还注意到，当d和d之间的差异时，功率达到100%0这很好，尤其是当样本量很大的时候。
从这一评论和结果来看，我们可以说这一性质与Said和Dickey(1984)发现的性质相似。
经验的应用程序
接下来，我们将在尼罗河数据上应用新的分数阶Dickey-Fuller检验，它具有长记忆的证据在其他研究中已经被证明，并且具有平稳分数阶白噪声0 < d < 1/2的特征。
我们考虑的是公元622-1281年尼罗河的年最低水位。D，在开罗附近的Roda Gauge上测量，包含663个观测值。这些数据取自杜森的书[9];Beran提出的测量单位[10是厘米。
长记忆的存在在尼罗河极小值中可见一斑图3一。它表明，自相关图表明相关性的缓慢衰减(图3 b）.同样，该系列的理论谱密度在零频率处呈现一个极点(图3 c）.
图3:尼罗河最低水位:年最低水位(图03.a);样本自相关(图03.b);平滑周期图(图03.c)。
这种类型的长期依赖行为的进一步证据是由修正的R/S统计量和d的Whittle估计量给出的，其中我们发现该系列的Hurst统计量的估计为:
=0.876, H= d+1/2，则分数的值为
= 0.376。ARFIMA (0,d,0)的Whittle估计量参数为:
= 0.4202。
为了检验长记忆情况下的平稳性，在H的检验假设中放置d0 = 1/2就足够了0: d≥1/2 / H1: d > 1/2。它将是H的0: d≥1/2 / H1: d < 1/2。
我们可以通过确定最大阶数(p。马克斯)，然后采用常用的赤池信息准则(AIC)和施瓦茨信息准则(SIC)。
下表给出了基于滞后数对不同估计模型应用NFADF检验的结果。
从这个表中，我们注意到检验的适当回归是没有滞后的回归，并出现如下情况:
请注意，该统计值大于表中列出的临界值(表8)在水平5%(-1.941)时，在这种情况下，我们必须拒绝序列非平稳性的原假设，这一结果与上述分数参数估计所得的结果和Beran(1994)所得的结果一致。
 |
 统计 |
另类投资会议 | 原文如此 | |
|---|---|---|---|---|
| 滞后 | ||||
| P = 0 | -0.012268 | -2.004 | 11.34920 | 11.36278 |
| P = 1 | -0.011523 | -1.878 * | 11.36597 | 11.38637 |
| P = 2 | -0.010417 | -1.698 * | 11.36095 | 11.38818 |
| P = 3 | -0.010014 | -1.628 * | 11.36362 | 11.39770 |
| P = 4 | -0.009912 | -1.605 * | 11.36807 | 11.40902 |
| P = 5 | -0.009674 | -1.567 * | 11.36319 | 11.41102 |
| P = 6 | -0.008924 | -1.456 * | 11.36530 | 11.40003 |
(*)表示在5%水平上拒绝原假设，使用ADF临界值。
表8:尼罗河系列不同滞后的NFADF检验回归估计。
从这个应用程序我们可以推断，这是一个简单的测试计算和具有相同的程序测试ADF测试。使用这个测试的优点是它是标准的，我们可以在短记忆和长记忆的情况下使用它。
本文提出了H的新分数增强Dickey-Fuller检验0: d≥½/ H1: d < 1/2，基本上基于Bensalma(2013)提出的新分数Dickey-Fuller检验，该检验也受到Dickey-Fuller检验(1979)的启发。该检验被认为是ADF检验(1984)的推广，因此如果d0= 1这种分数检验回归简化为Said和Dickey(1984)提出的简单ADF检验回归。此外，还证明了如果真值等于d0d = d0)，检验统计量的分布与ADF检验相同。
该方法在大样本中具有较强的有效性，并通过模拟实验得到了对任何显著性水平均无偏的检验结果。一般来说，NFADF检验的性质接近ADF检验的性质(1984)。
最后，通过一个实例说明了该检验的使用方法，并说明了分数阶迪基-富勒检验的简单性和灵活性。
引理的证明:
Let (x)t，t∈Z是一个AR(1)过程，其形式为:
在哪里
根据定义，误差是自相关的。为了简化到误差不相关的回归，我们必须执行以下转换:
对方程求和，可得:
如:
(1)
(2)
在哪里
是一个所有根都在单位圆外的特征多项式。
我们注意到这个回归(2.a)是阶(p)的自回归模型，没有自相关误差。
引理的结果证明
为了简化演示，让我们采用系数比前面表达式(1.a)更容易处理的自回归模型，后者取决于φ和a:
注册登记人(1):
我们可以写成:
注册登记专员(2):
我们可以写成:
就AR(3)而言:
我们可以写成:
AR(p):
我们可以这样写:
(1 b)
我们把系数换成αk将这个表达式与表达式(1.a)中的值结合起来，我们得到:
表达式(1.b)变成:
我们通过右边的第一个括号Φ进行因式分解，得到:
所以:
重要的价值观:
| T | 延迟(p) | La probabilité que est inférieure à C(α） |
|||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.01 | 0.025 | 0.05 | 0.1 | 0.9 | 0.95 | 0.975 | 0.99 | ||
| 25 | 0 | -2698年 | -2279年 | -1957年 | 61 | 0.913 | 1.324 | 1.699 | 2.099 |
| 1 | -2670年 | -2291年 | -1964年 | -1615年 | 0.926 | 1.332 | 1.692 | 2.094 | |
| 2 | -2645年 | -2287年 | -1955年 | -1611年 | 0.910 | 1.315 | 1.672 | 2.084 | |
| 3. | -2642年 | -2287年 | -1957年 | 62 | 0.921 | 1.329 | 1.686 | 2.101 | |
| 4 | -2651年 | -2289年 | -1951年 | -1617年 | 0.912 | 1.306 | 1.694 | 2.091 | |
| 5 | -2688年 | -2292年 | -1952年 | -1611年 | 0.916 | 1.324 | 1.694 | 2.093 | |
| 50 | 0 | -2.624 | -2.247 | -1.950 | -1.631 | 0.899 | 1.310 | 1.641 | 2059年 |
| 1 | -2.623 | -2.270 | -1.949 | -1.645 | 0.885 | 1.269 | 1.630 | 2061年 | |
| 2 | -2.624 | -2.264 | -1.952 | -1.624 | 0.911 | 1.344 | 1.632 | 2086年 | |
| 3. | -2.629 | -2.267 | -1.948 | -1.618 | 0.905 | 1.321 | 1.636 | 2066年 | |
| 4 | -2.631 | -2.270 | -1.945 | -1.617 | 0.916 | 1.305 | 1.642 | 2058年 | |
| 5 | -2.620 | -2.261 | -1.948 | -1.622 | 0.909 | 1.309 | 1.629 | 2054年 | |
| One hundred. | 0 | -2.574 | -2.278 | -1.940 | -1.613 | 0.897 | 1.304 | 1.639 | 2.022 |
| 1 | -2.625 | -2.258 | -1.940 | -1.632 | 0.877 | 1.287 | 1.619 | 1.936 | |
| 2 | -2.602 | -2.257 | -1.948 | -1.615 | 0.912 | 1.298 | 1.646 | 2.034 | |
| 3. | -2.595 | -2.237 | -1.945 | -1.621 | 0.907 | 1.302 | 1.637 | 2.042 | |
| 4 | -2.598 | -2.241 | -1.951 | -1.617 | 0.899 | 1.289 | 1.640 | 2.045 | |
| 5 | -2.600 | -2.247 | -1.952 | -1.615 | 0.901 | 1.307 | 1.635 | 2.038 | |
| 150 | 0 | -2.581 | -2.263 | -1.943 | -1.618 | 0.903 | 1.298 | 1.639 | 2.041 |
| 1 | -2.566 | -2.218 | -1.938 | -1.609 | 0.898 | 1.287 | 1.631 | 2.019 | |
| 2 | -2.594 | -2.284 | -1.947 | -1.620 | 0.901 | 1.312 | 1.640 | 2.035 | |
| 3. | -2.584 | -2.240 | -1.950 | -1.624 | 0.910 | 1.267 | 1.627 | 2.045 | |
| 4 | -2.595 | -2.248 | -1.941 | -1.611 | 0.886 | 1.288 | 1.645 | 2.034 | |
| 5 | -2.589 | -2.251 | -1.946 | -1.607 | 0.900 | 1.299 | 1.632 | 2.039 | |
| 250 | 0 | -2.574 | -2.261 | -1.944 | -1.609 | 0.905 | 1.297 | 1.621 | 2.041 |
| 1 | -2.623 | -2.228 | -1.948 | -1.629 | 0.870 | 1.259 | 1.596 | 1.963 | |
| 2 | -2.530 | -2.200 | -1.936 | -1.598 | 0.880 | 1.278 | 1.608 | 2.014 | |
| 3. | -2.571 | -2.269 | -1.951 | -1.615 | 0.895 | 1.284 | 1.618 | 2.112 | |
| 4 | -2.590 | -2.274 | -1.946 | -1.619 | 0.901 | 1.304 | 1.617 | 2.042 | |
| 5 | -2.654 | -2.251 | -1.942 | -1.620 | 0.898 | 1.287 | 1.618 | 2.063 | |
| 500 | 0 | -2.543 | -2.208 | -1.937 | -1.608 | 0.876 | 1.267 | 1.635 | 2.000 |
| 1 | -2.566 | -2.230 | -1.933 | -1.609 | 0.894 | 1.283 | 1.633 | 2.017 | |
| 2 | -2.569 | -2.225 | -1.947 | -1.616 | 0.887 | 1.277 | 1.637 | 2.010 | |
| 3. | -2.615 | -2.236 | -1.951 | -1.614 | 0.882 | 1.284 | 1.627 | 2.006 | |
| 4 | -2.567 | -2.218 | -1.941 | -1.610 | 0.879 | 1.290 | 1.630 | 2.025 | |
| 5 | -2.631 | -2.222 | -1.942 | -1.614 | 0.892 | 1.305 | 1.636 | 2.003 | |
| 1000 | 0 | -2.554 | -2.247 | -1.947 | -1.610 | 0.891 | 1.294 | 1.610 | 2.112 |
| 1 | -2.561 | -2.228 | -1.952 | -1.612 | 0.884 | 1.298 | 1.609 | 2.010 | |
| 2 | -2.568 | -2.219 | -1.947 | -1.612 | 0.890 | 1.311 | 1.616 | 2.061 | |
| 3. | -2.571 | -2.227 | -1.944 | -1.614 | 0.884 | 1.289 | 1.620 | 2.047 | |
| 4 | -2.563 | -2.231 | -1.941 | -1.615 | 0.886 | 1.292 | 1.611 | 2.033 | |
| 5 | -2.567 | -2.225 | -1.937 | -1.617 | 0.893 | 1.294 | 1.618 | 2.041 | |
| 3000 | 0 | -2.564 | -2.221 | -1.935 | -1.609 | 0.882 | 1.288 | 1.614 | 2.054 |
| 1 | -2.561 | -2.217 | -1.937 | -1.618 | 0.884 | 1.287 | 1.606 | 2.039 | |
| 2 | -2.560 | -2.208 | -1.942 | -1.613 | 0.889 | 1.294 | 1.612 | 2.044 | |
| 3. | -2.571 | -2.219 | -1.948 | -1.615 | 0.880 | 1.290 | 1.617 | 2.048 | |
| 4 | -2.559 | -2.220 | -1.939 | -1.616 | 0.888 | 1.289 | 1.611 | 2.051 | |
| 5 | -2.563 | -2.211 | -1.942 | -1.608 | 0.879 | 1.291 | 1.613 | 2.048 | |
C(α):水平临界值。资料来源:由我们自己模拟制作
表9:新分数阶Dickey-Fuller检验的估计临界值。
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