关键字 |
| 离散傅里叶变换，正交，内积，快速傅里叶变换，群，代数，施瓦茨，单纯形法，保形映射 |
介绍 |
| 如果数学家被问及所有数学中最重要的发现，傅立叶级数/变换应该被理所当然地列为数学中最基本的发现之一(如果不是“最重要的数学发现”的话)。它渗透到科学和工程(甚至生活)的各个方面，从最抽象的现代物理环境，如对称/量子力学，到应用领域，如成像，全息学，晶体学，信号处理领域，包括压缩，多路复用，调制等。在音频和视频信号的标准中也可以找到相同的变体，如JPEG、MPEG等。因此，提高实现上述转换的算法的性能具有非常重要的意义。 |
数学基础 |
傅里叶变换的本质是一个周期函数(例如，周期为2*T)可以展开为 与 积分区间从-t到t，用的是之间的正交关系 在cos和sin函数之间。 |
| 傅里叶级数是正交展开/分解的主要例子之一，它已被推广/推广到其他正交族，如勒让德、切比雪夫、贝塞尔等，将正交性的概念推广到抽象空间，如希尔伯特空间等，其中角/点积的概念通过“内积”的概念以及相关的“范数”和“度规”得到推广。 |
| 傅里叶变换的主要应用之一是将微分方程转化为代数方程，从而实现算法实现。 |
| 调和函数的主题与应用和深根在复分析有其开始的傅里叶分析。 |
| 上述理论在物理学中的一个直接应用是在衍射理论中，其中弗劳诺费体系中的远场衍射图是单位细胞的空间傅里叶变换。 |
| 推广的另一个方向是通过量子力学和现代物理学中的互易空间/相空间等概念，其中使用联合时间/空间-频率空间进行分析。这就引出了“海森堡测不准原理”。具有讽刺意味的是，傅立叶级数/正交函数再次通过自对偶函数(如孤子、高斯等)的概念提供了一种解决方法，这些函数在变换算子下是不变的，即它们是自己的变换，并且通过使用多个可能重叠但正交的波形实现更精确/更清晰的边界的可能性。 |
| 在自同构函数、模形式、表示理论、谐波群等理论中，周期性的概念被扩展到更一般的对称群以及更广义的高维空间，其中人们试图量化一个对象不变的对称操作(可能与准晶体、彭罗斯平方根等有联系)。 |
| 更直接的联系是在统一的根和循环群之间，目的是在前者和后者的扩展之间建立对应关系。 |
| 另一个方向是通过奇异值分解等算法提取自适应数据驱动的基函数 |
| 除了傅里叶变换的主要性质外，调制和卷积作为变换对之间的联系是关键，这将在下一节中讨论。 |
离散傅里叶变换等等 |
| 多项式乘法可以看作是一个卷积，特别是如果系数可以被认为代表一个向量。 |
| 由于原始时间/空间域中的乘法/调制(按分量计算)对应于傅里叶域中的卷积(反之亦然)，如果变换和逆可以快速计算，我们可以通过按分量计算来大幅简化乘法。 |
| 当许多这样的多项式必须相乘时，例如在涉及函数矩阵等计算的情况下，真正的优势变得重要。 |
| 一个非常有趣的可能性是，对上面的多项式求逆来分解多项式，也就是说，给定一个多项式，我们计算它的变换，然后分解每个分量，然后尝试对变换求逆。一个问题是，这些因素似乎被混淆了(这似乎又与傅里叶变换有关)，但一个有趣的假设是，这些可能对应于多项式所拥有的对称性和/或可能是唯一的质因数，可能确保了可重构性。 |
| 当然，另一种方法是考虑原始多项式的范数和高度，并将它们纳入因式分解中，使其成为一个有约束的优化问题 |
| 然而，另一种方法似乎是尝试在各种系数的相对大小的意义上创建/维持自相似的分布。 |
| 当然，一个问题是系数可能是复杂的，需要使用群论，并将其与诸如高斯质数等离散结构联系起来。 |
| 当然，另一种方法是将其扩展为其他正交函数族，如勒让德多项式等 |
| 详情如下: |
离散傅里叶变换(DFT) |
| •计算一个多项式)在单位的复数th处的度界，0,1,2。n - 1。假设它是2的幂 |
| 假设? ?系数形式为a;=(a;0,a;1…，a; n-1) |
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| 这个想法是为了避免从多项式的点值表示(其中乘法可以按分量进行)转移到系数形式时繁琐和混乱的插值公式(拉格朗日插值公式)，此外还有O(n2)复杂度，这也是由于计算[2]和[7]的复杂性而产生的 |
| FFT等使用与缩放(通常为2)相关的对称性将复杂度降低到O(nlog(n))。下一节不仅试图改进上面的内容，而且还试图通过利用更大/更一般的对称群来定位奇点。 |
更进一步，施瓦茨原理及其应用 |
| 复分析中的施瓦茨反射原理是对函数进行解析性扩展(作为解析函数)的一种尝试。一种常用的方法是通过在实轴上的反射，即F(z') = (F(z))' where '表示共轭运算。[1] |
| 一种扩展上述的方法是反射圆弧(反转)。另一种，当然是沿着曲线的延伸，在这种情况下，就是圆弧，也就是函数从n边正多边形的一个顶点到另一个顶点的解析延拓。 |
| 更具体地说，如果我们用G(通常是一个几何对称群)表示与从曲线上的一点移动到另一点相关的算子(例如，旋转算子)，那么以下情况何时成立: |
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| 这就是下面图中提出的问题，图中代表了一个单位圆，有N个单位根(在这种情况下是10个)，对应于N -gon的边。这个想法是解析地延续P(x)(其中P = 1/W(x)有W(x)多项式)从e^itheta2穿过红线到e^itheta3 |
| 上述问题的答案似乎是一个合格的肯定，从某种意义上说，人们可以解析地沿着单位的另n个根继续函数，形成一个n面正多边形的顶点(本质上是将红线旋转到实轴，进行反射(共轭)，然后反射回来)。“直到”达到了函数的奇点(可能，在投影意义上，因为我们正在研究函数在单位圆上的求值)。这与P(x)表现得像一个共形映射的想法/假设有关。这类似于将解析区域的定义域划分为由奇点定义的域/区域。在这种情况下，共形很重要，因为它保留了内积和角度，因此P(e^i*theta*x) = e^i*theta*P(x)，因为多项式和它们的倒数不仅是共形的，而且是解析/全纯的，而且所有的解析函数都是共形的，“除了局部近奇点。当然，这种一致性还必须考虑到周期性，(可能是通过对数导数函数P'(x) / P(x)，其中P'(x)是P(x)的导数，或者通过在一个周期内或基本域内观察，或者本质上观察等价类，但由于我们观察的是多项式的倒数，这应该不是问题)另一个相关的角度如下: |
| 如果W(x)可以用多项式的正交族展开，(例如Chebyshev多项式，这似乎是最合适的)为: |
 在调制材料等具有时空变化性质的情况下)，除非两个向量，当内积成为范数时，函数是相同的..)。Ci(x)代表第i个切比雪夫多项式 |
| 如果我们将二维旋转算子看作A，同时将W和C看作算子，将x看作二维向量，那么A(W(x) = a1*AC1(x) + a2*AC2(x) +.......an*ACn(x)，可以转换为如下形式:a1*C(1+k)(x) + a2*C(2+k)(x) +......an*C(n+k)(x)其中参数中的附加项k可能代表A的作用(可能与A的作用有关，A很可能是e^i*k形式的旋转，具有切比雪夫多项式的复合/乘法效果) |
| 如果单位圆映射到它自己就很有趣了。 |
| 有趣的是，在一个特定的弧/扇区/区域中的任何奇点都会破坏内积的一致性和不变性，因此我们所需要做的就是在每个扇区的开始和结束处计算P(x)。如果P(A(start)) <> P(end)，我们就知道存在一个奇点，我们可以进一步深入。 |
| 由于大多数n次多项式将有不同的0 << n的数量，这可以帮助加速函数的评估，也可以分解等，由于大多数函数可以由适当的多项式近似(Stone Weirstrass定理等)，这将有助于定位函数的奇点/残差(应用于成像，定位流动中的瓶颈，应用于流体力学，动力分配，外科等)。一旦确定了奇点的方向，就可以使用优化技术来达到奇点。当然，另一个优点是，在统一的不同根源上进行大规模并行计算的可能性。 |
| 上述内容也与检测函数中的不连续并通过局部化但光滑的函数(如Tanh / Sigmoidal函数等)自适应平滑它们(如在分段连续曲线的情况下)的想法有关(与傅里叶理论中的吉布斯不连续等有关)。 |
| 此外，由于1/f(x)类型的反演通常与傅里叶变换/倒数空间有关，它们可以在衍射理论中找到应用 |
| 上述方法也可用于非常复杂函数的求值/渐近逼近，如配分函数(著名的“圆法”)。 |
| 有趣的一点是，切比雪夫多项式是一类函数，它有助于最均匀地传播由于近似/截断而产生的误差。 |
| 一个相关的想法是无限级数与其相关的极限积分(从傅里叶级数过渡到变换)之间的联系，通过在与弧长不相称倍数相关的单位根处评估函数(材料带隙等的链接)(第8章“一些特殊函数”的练习部分，[9]第200页) |
| 从更基本的观点来看，上述内容与代数拓扑学中的同伦理论等主题相关。 |
| 一个有趣的链接涉及到上述优化问题的应用，特别是与线性规划中的Karmarkar内点算法有关(可能适用于非线性规划)，其中多维多型的顶点成为转换后的坐标系的原点，下一个顶点的选择简化为2步问题:确定最陡下降的方向和沿着这个方向的旅行长度(本质上，确定下一个顶点作为梯度/最陡下降方向与多型的低维投影的交点，特别是如果我们观察多维多型的分层梯度2维子空间，这将使解析函数的机制能够充分应用。 |
| 在更高的层次上，我们可以看到算子和函数的代数与基础空间/群/半群等相关的代数之间的同态(可扩展到同态?)，在这种情况下，复数的同态。本质上，G(或F) (a*b) = G(a)@G(b)，其中G(和F)表示运算符，a和b分别表示函数或复数，*表示底层空间中的操作，@表示运算符的空间/代数中的操作(可能与泛函分析中的Gelfand定理有关?)[4]和[5] |
结论 |
| 一些有趣的未来可能性涉及到量子/光学计算等在实现傅里叶变换方面的可能应用。[8]讨论了将傅里叶方法应用于作为函数/路径生成器的机构综合的可能性。[6]讨论/暗示了将这些方法扩展到抽象高维空间导航的可能性，包括数学逻辑、信息压缩、分子逻辑电路、分子合成等。 |
数字一览 |
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| 图1 |
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参考文献 |
- Lars Ahlfors，“复杂分析”。
- 波阿斯·波拉特，“数字信号处理课程”
- Gerald Kaiser，《小波的友好指南》
- Robert Jewett，“具有度量的抽象卷积的空间”，数学进展18,1-101(1975)。
- Tom.H。Koornwinder，“与量子群相关的正卷积结构，X群上的概率测量，(1991)。
- 孙达拉姆·拉姆钱德兰，《关于数学二分法和尺度概念的哲学漫谈》，《国际科学工程技术杂志》，(www.ijset.com)，)第1卷第4期，页28-34,2012年10月。
- http://web.cecs.pdx.edu/~maier/cs584/Lectures/lect07b-11-MG.pdf
- XichunNie, VenkatKrovi，“耦合串联链机构运动学综合的傅里叶方法”，机械工程学报，第232卷，第127卷，2005年3月。
- 沃尔特·鲁丁，《数学分析原理》，第三版，1976。
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与
积分区间从-t到t，用的是之间的正交关系
在cos和sin函数之间。
在调制材料等具有时空变化性质的情况下)，除非两个向量，当内积成为范数时，函数是相同的..)。Ci(x)代表第i个切比雪夫多项式