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| Ab哈米德Ganie1*,Mobin艾哈迈德2和Neyaz艾哈迈德酋长3 |
| 通讯作者:Ab哈米德Ganie,电子邮件:(电子邮件保护) |
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本文的目的是介绍一些新的广义差分序列空间对模量函数涉及强烈几乎可和序列。我们给一些拓扑性质在这些spacesa和包含关系。
介绍 |
序列空间定义为一个真正的或复杂的线性空间序列。在整个论文N, R和C表示非负整数的集合,集合分别为实数和复数的集合。Letω表示所有的空间序列(真实的或复杂的)。让我∞和c是巴拿赫空间中有界和收敛序列 上确界范数 。让T表示操作员onω转变,也就是说,  等等。巴拿赫限制L L∞上定义为非负线性泛函,L是不变的。L(年代x)= L (x)和L (e) = 1, e = (1, 1, 1,…)1]。 |
| 洛伦兹,称为序列{xn}几乎收敛如果所有巴拿赫的极限x, L (x)是相同的,这种独特的巴拿赫限制叫做F-limit x [1]。在他的论文中,洛伦兹证明以下诊断标准几乎收敛序列。 |
一个序列 l∞∈几乎与F-limit l (x)收敛当且仅当 |
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在那里, 统一在n≥0。 |
| 我们通过f表示几乎收敛序列的集合。 |
| 几个作者包括杜兰(2),Ganie et al。3- - - - - -7,王8),洛伦兹(1)和许多其他的研究几乎收敛序列。马多克斯(9,10)定义x强烈几乎收敛到一个α如果数量 |
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通过[f]我们表示几乎所有强烈的空间收敛序列。很容易看到 |
| paranorm与线性矩阵的概念空间。这是一个泛化的绝对值。假设X是一个线性空间。P: x→R的函数被称为paranorm,如果(11,12]。 |
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 (三角不等式) |
 是一个序列的标量λn→λ(n→∞)和(xn)是一个向量序列 然后   向量的乘法),(连续性)。 |
| paranorm p, p (x) = 0意味着x = 0称为总。众所周知,任何线性度量空间的度量是由一些总paranorm [10]。 |
本文将使用下面的不平等。让p = (pk一个正实数序列 ,让 为 。我们有(方程1)(9,11]。 |
 (1) |
| 南达定义如下(13,14]: |
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| 不同的序列空间, |
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| 在X =∞l, C和C0,研究了Kizmaz [15]。 |
| 这是进一步广义Ganie et al。5],Et和Colak [16],Sengonul [17和许多其他人。 |
| 进一步,它是Tripathy et al。18广义上述概念和统一这些如下: |
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| 在哪里 |
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| 和 |
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| 最近,m . Et (19定义如下: |
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| 后马多克斯(20.和皱21),模量g函数是一个函数从[0,∞)[0,∞)等 |
| (我)g (x) = 0当且仅当x = 0, |
(2) |
| (3)g是增加, |
| (iv) g如果连续从右x = 0。 |
| 马多克斯(10]介绍和研究了以下设置: |
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| 强烈的序列几乎和强烈几乎收敛收敛为零。 |
让p = (pk)是一个正实数序列 和H = max(1米)。 |
主要结果: |
在本文中,我们定义了空间 和 如下: |
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| (pk)是任何有界序列的正实数。 |
定理1:让(pk)是任何有界序列和g是任何模函数。然后 和 是线性空间的一组复数。 |
证明:我们要证明的结果 和其他人遵循类似的路线。让 现在 ,我们可以找到正数Aα,英航¡AµA这样  因为f是次加性和 是线性的 |
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当n→∞,统一在m。这证明 是线性的结果。 |
| 定理2:让g任何模函数。然后 |
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证明:我们要证明的结果 第二个类似的证明。让 |
| 现在,通过g的定义,我们有 |
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因此,对于任何数量,存在一个正整数KL这样 我们有 |
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因为, ,我们有x =∈),结果的证明。 |
定理3: 是一个paranormed空间 |
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证明:从定理2,为每一个  的存在。同时,它是微不足道的 和 x = 0。h (0) = 0, x = 0。因为, 因此,通过闵可夫斯基不等式和g的每个n的定义 |
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这表明, sub-additive。此外,让α是任何复数。因此,通过g的定义,我们有 |
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,年代α是一个整数,α< Sα。现在,让α→固定x 0 根据定义的g 我们对 (公式2) |
 (2) |
| 作为g是连续的,我们有1≤n≤n和通过选择α很小,方程(3) |
 (3) |
因此,(2)和(3)了 当α→0。 |
定理4:让X的任何空间(f, g), (f, g)0和(f, g)∞。然后, 是严格的。一般来说, 所有j = 1, 2,…, r1和包容是严格。 |
证明:我们给的证据空间(f, g)∞,别人同样可以证明。所以,让 然后,我们有 |
| g是递增函数,我们有 |
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因此, 继续以这种方式,我们将得到 j = 1,2,…, r 1。包容是严格的。为此,我们考虑x = (kr),在 但不属于 f (x) = x和n = 1。(如果x = (kr),然后 和 对所有 |
定理5: |
| 证明:从上面定理4的证据是显而易见的。 |
| 定理6:让g, g1和g2是任何模函数。然后, |
(我) |
(2) |
证明:让ε给予小的正数,选择等0 <δ< 1δg (t) <ε0 < t≤δ。我们把 并考虑 |
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第一个求和是在哪里 和第二个求和是yk + m>δ。作为g是连续的,我们有方程(4) |
 (4) |
| 和yk + m>δ,我们使用这一事实 |
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| 现在,通过g的定义,我们对yk + m>δ, |
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| 因此,方程(5), |
 (5) |
因此,我们看到从(4)和(5) |
| 为了证明(ii),我们已经从(1) |
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让 因此,通过添加上述不等式形式k = 1 k = n, 和结果。 |
| 定理7:让g, g1和g2是任何模函数。然后, |
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| 证明:遵循的常规验证定理6。 |
定理8:的空间 和 一般不是固体。 |
证明:展示空间 和一般不稳固,我们考虑下面的例子。 |
让pk所有k = 1, g (x) = x r = 1 = n。然后,但 当αk= (1)k对所有 因此结果如下所示。 |
| 从上面定理,我们有以下推论。 |
推论9:的空间 和 是不完美的。 |
定理10:的空间 和 一般是不对称的。 |
证明:展示空间 和 一般是不完美的,这一点,让我们考虑pk= 1为所有k和g (x) = x n = 1。然后, 让re-arrangement (xk)(yk)(yk)是定义如下, |
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然后, 这证明了结果。 |
引用 |
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