轻子剩余对称性

摘要

摘要

对风味对称性的几个方面进行了研究。讨论了处理香味对称性的两种方法。期望的轻子混合矩阵决定了风味对称群达到一定的表示。

轻子混合矩阵对对称群表示的依赖解释了使用相同对称群的模型之间的差异。

我们讨论了两种方法之间的联系，以确定风味分配和风味真空校准。

另一种方法称为自底向上或残馀对称性方法，在这种方法下，轻子质量矩阵被认为具有破缺离散群的残馀对称性。这种方法的目标是得到这个离散群。

介绍

许多方面，如轻子和夸克扇区的混合和质量层次的差异，迫使风味对称被提出来解释这些方面。提出了几种基于离散对称性的模型来解释风味方面[1-7］．对于大多数这些模型，除了许多假设和提出额外的对称性之外，还考虑了一些额外的语言标量(黄酮)来解释实验数据。这被称为自下而上的方法，其中拉格朗日在离散群下被认为是不变的，并且每个风味被分配给离散群的一个不可约表示。在自发对称性破缺之后，必须恢复中微子质量和混合的最新数据。另一种方法称为自底向上或残馀对称性方法，在这种方法下，轻子质量矩阵被认为具有破缺离散群的残馀对称性。这种方法的目标是得到这个离散群。在本文中，我们试图总结这两种方法之间的关系，并对风味对称性的一些方面进行研究。

轻子剩余对称性

假设轻子扇区的拉格朗日量在一个水平对称群G下是不变的，这个群G会自发破缺，从而使粒子获得它们的质量。G群没有完全破碎，它的一些元素保持不变，保持中微子和带电轻子的质量矩阵不变。我们把表现在质量矩阵中的不破缺对称性称为残余对称性。设Mν为有效光马约拉纳中微子的质量矩阵。这个质量矩阵可以用一个酉矩阵u对角化

（1）

在诊断接头米_v^诊断接头＝(m1, m2, m3)如果M_ν表现出这样的对称性，人们可以找到保持矩阵M的酉矩阵Si (G的不间断元素)_ν不变的,

（2）

如果矩阵S_我都是真实的，M_ν和S_我通勤。对于非简并中微子的质谱，M_ν和S_我可以同时被U_ν，

（3）

在年代_我^d是一个包含S的特征值的对角矩阵_我。从方程式。(1), (2)

(4）

（5）

因此，对称矩阵Si的特征值为±1。四向上到符号-的三种可能的对角矩阵是

（6）

由Eq(3)可知，对称矩阵Si就是上述三个矩阵S的幺正变换_di,I = 1,2,3。对称矩阵Si可以由

（7）

不管质量矩阵的形式是什么，它都有Z2 × Z2的剩余对称性^［8]，只要它有三个不同的特征值^［9]。我们可以对带电轻子应用同样的程序。一般来说，带电轻子质量矩阵ml不是对称的，也不是厄米矩阵，所以它可以被两个酉矩阵对角化，

（8）

其中m_l^诊断接头=诊断接头(米_e,米_μ,米_τ）.用厄米矩阵Ml = m是很方便的_l米_l只处理左手混合U_l是什么导致了轻子混合U_{中性粒细胞}。它可以用U_l，

（9）

我们可以找到保持M的酉矩阵_l不变:

（10）

矩阵T_α和M_l可同时对角化_l，

（11)

证明这一点很容易任何对角酉矩阵都可以是T的解_我^d。如果矩阵Ul是正交的而不是酉矩阵，质量矩阵Ml是对称的，那么唯一的解——直到符号——是三个矩阵S_我^d在Eq 6中。在不损失一般性的情况下，我们可以选择三个4矩阵^［10]

(12)

（13）

（14）

其中m必须满足k是一个整数。如我们所见，根据混合矩阵Uν和Ul的形式，我们可以从式(7)和式(11)中找到风味群G的不间断元素，它们负责中微子和带电轻子质量矩阵中的剩余对称性。在所谓的三双极大对称(TBM)中，它被认为是由于中微子质量矩阵中出现的对称性，

在TBM混合的情况下，在带电轻子质量矩阵为对角线的碱基中，因此总轻子混合来自中微子扇区，中微子的三个对称矩阵为

（15）

水平对称群G是由矩阵{S生成的群_我T_α}。你可以从S中选择一个_我和T的一个_α考虑S的其他矩阵_我和T_α作为中微子和带电轻子质量矩阵5的偶然对称性^［10]。通过使用所有Si矩阵和Te作为水平对称群的生成，S₄是轻子扇区中唯一的三双极大对称，任何群都可以解释轻子水平对称必须包含S₄作为子群^［11-13]。值得注意的是:水平风味群依赖于轻子混合矩阵，即如果混合矩阵改变，中微子扇区和带电轻子扇区的剩余对称性保持不变，但在新的表示形式中，而S产生的G群_我和T_α矩阵将被更改。让我们详细说明这些结果，如果由矩阵S生成的水平群G_我和T_α-中微子和带电轻子扇区的剩余对称矩阵-由轻子混合矩阵U产生，我们称之为旧情况。另一方面，如果G是S生成的水平群_α⁰和T_α⁰是由混合矩阵U产生的₀，我们称之为新案例。如果两种情况下的质量特征值相同，并且每个扇区中的混合矩阵通过如下所示的幺正旋转相互关联

(16)

对于中微子扇区，两种情况下的质量矩阵关系如下

（17）

两种情况下的剩余对称矩阵关系如下:

((18)

(19)

对于带电轻子扇区，两种情况下的质量矩阵关系如下

（20）

两种情况下的剩余对称矩阵关系如下:

(21)

(22)

由式(19)、(22)我们发现，新情况下的残差对称矩阵与旧的残差对称矩阵通过幺正相似变换相关联，因此残差对称保持不变，但在新的表示中，但并不是所有G的发生器都通过相同的相似变换进行变换。所以对称群G依赖于轻子混合矩阵u，新的轻子混合与旧的轻子混合通过

(23)

如果W1 = W2混合矩阵相同U ' =U，但两种情况下基底不同，Si和Tα通过相同的相似变换变换，水平群G不变，但表示方式不同。所以我们可以说，相同的混合矩阵U可以导致相同的相同的群G，但是在不同的表示中取决于场和质量矩阵的表示基

剩余对称与上下之间的联系

一般来说，考虑一般的汤川耦合项

（２４）

假设拉格朗日L在水平对称群G下是不变的，ψ和φ根据不可约表示(IR) Γ变换^α和Γ^β， IR Γγ是张量积Γ的结果^α*Γ^βθ根据复共轭IR Γ变换^γ∗[13]

(25)

考虑(αa， βb|γci)是混合态ψ的G族的Clebsch-Gordan (CG)系数_α^αin IR Γ^α具有标准正交态的φ_b^β转换成IR Γ^β_。结果在IR Γ中为标准正交态|θ γ c i^γ

(26)

从左乘G群的投影算子P(T)与式(26)中的第二行

(27)

同样地，

(28)

由式(24)、(26)可知，汤川耦合hijk与Clebsch-Gordan系数成正比;

h是一个自由参数。

现在假设中微子质量是由i型跷跷板机制产生的，那么负责质量矩阵风味结构的拉格朗日量可以写成

其中L是SU(2)轻子重态e_R是右手带电的轻子ν_R是右手中微子，φ， ξ和χ是规范单重态黄素。假设每一项在水平对称群G下是不变的，y, h, h '是汤川耦合常数。以带电轻子项为例，假设L和eR在IRs Γ下变换^α和Γ^β黄酮在IR下转化Γ^γ它出现在张量积Γ中^α*Γ^β，因此我们对所有IR Γ求和^γ出现在这个张量积中。自发对称破缺后，黄素φ获得真空期望值，从而得到带电轻子的质量。从式24、29中，我们可以明确地写出带电轻子的汤川耦合项，

(31)

那么带电轻子的质量是

(32)

水平对称群G通过黄酮φ、χ和χ′的真空期望值自发破缺。对称群G被破缺为更小的对称群G '，我们称这种更小的对称为残馀对称。对称群G '的生成元是保持黄素的真空期望值不变的G元素。如果F_我使φ的真空期望值不变的G元素，那么

(33)

其中I = 1,2,3。从方程式。(28)、(33)

(34)

(35)

因此，我们得出质量不变性方程的通常形式，

(36)

类似地，对于中微子扇区，如果Si是保持ξ和χ的真空期望值不变的G元素，则

(37)

如果ν_R红外变换Γ^β，狄拉克中微子质量矩阵和右手中微子质量为

(38)

与带电轻子Eq(36)的情况类似，中微子扇区的质量矩阵不变性方程为:

（39)

在哪里

(40)

结论

在前面的讨论中，我们将残馀对称性(S)的产生器联系起来_我F_我)和动态输入(场和真空对准的IRs)。如果我们将某个群视为水平对称群，如A4或S4，我们可以使用公式(39)来编写导致所需混合的不可约表示的约束。A4群是由Eq(12)中的T de在k=1, m=3和Eq(15)中的S2生成的，因此在T的作用下，黄酮φ和χ的真空排列保持不变_德和S2为

对于群S4，它是由矩阵T生成的_德， k=1, m=3时，式(12,15)中的S1, S2和S3，则黄酮的真空排列如下:

在不可约表示中2

在不可约表示中，

在不可约表示3 '中，

参考文献

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