关键字 |
| 心电信号，多项式逼近，切比雪夫多项式，切比雪夫插值。 |
介绍 |
| 心肌在皮肤上产生电流变化，这些变化是由放置在身体特定位置的电极测量的。这些变化被称为ECG(心电图)信号。从工程角度看，心电信号具有周期性。图1显示了一个心脏周期的信号，也称为R-R间隔，有三个表示部分:P波，QRS复波和T波。这些波是心肌收缩和扩张的结果。P波是由于心房的去极化，而QRS复合体反映了左右心室的快速去极化。t波表示脑室[1]的复极化(或恢复)。 |
| 数字心电信号的存储和传输涉及的数据量是相当大的。所以它需要被充分压缩。压缩必须以一种能够精确重建的方式进行。 |
| 心电信号压缩技术大致可分为直接压缩法、基于变换的压缩法和参数提取压缩法。直接法是对原始心电信号样本进行直接压缩，变换法是对原始心电信号样本进行先变换后压缩。在参数提取方法中，首先提取处理后信号的特征，然后利用这些特征对信号[2]进行重构。 |
| 在文献中可以找到各种心电信号的时域压缩算法。这些方法是基于提取少量有效信号样本来表示信号，然后解码同一组样本的思想。时域算法是基于快速启发式的样本选择算法。这些技术速度更快，但存在次优性问题。这类技术的例子是FAN算法[3]和AZTEC算法[4]。采用SLOPE[5]和AZTDIS[6]技术对时域算法进行了改进。[7]中提出的基数约束最短路径(CCSP)算法是基于整个样本选择过程的数学模型。将信号样本建模为图中的节点，然后应用优化技术以获得更高的压缩比。 |
| 针对心电数据的压缩，提出了多项式逼近和多项式插值等几种压缩算法。多项式逼近的优点是它只需要多项式系数，并且能够相当有效地逼近原始心电信号。 |
| 包括样条在内的三阶多项式已用于[8]和[9]中的心电插值。Nygaard等人在[10]中研究了用二阶二次多项式表示的心电信号。在[11]、[12]和[13]中使用了高阶勒让德多项式进行心电数据压缩。采用广义雅可比多项式对[14]进行心电压缩。虽然Chebychev多项式被广泛应用于数学插值和逼近，但利用Chebychev多项式进行心电信号压缩的文献很少。在[15]中，心电数据压缩使用离散切比雪夫变换，将信号分割成由多个心脏周期组成的块。在[16]中，心电信号数据压缩的方法与[15]中相同，但只选择、传输和存储显著的切比雪夫系数。 |
| 在本文中，我们提出了一种计算高效的方法来建模心电信号通过切比雪夫多项式。为了有一个更好的压缩比，我们必须有一个低阶的多项式。因此，我们根据它们的结构将一个完整的循环分割成不同的部分。接下来，我们使用切比雪夫插值对每个片段独立建模，并将它们组合起来重建完整的信号。 |
| 本文的其余部分组织如下:在接下来的两节中，我们简要介绍了切比雪夫多项式和切比雪夫插值。在第四节中，我们描述了所提出的方法以及实现心电数据压缩的算法。在第五节中，我们将介绍我们的方法的实现并讨论所获得的结果。在最后一部分，我们给出了结论。 |
切比雪夫多项式 |
| 第一类次n的切比雪夫多项式用三角余弦函数定义为: |
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| 由递归关系得到了切比雪夫多项式的表达式 |
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| n次Chebyshev多项式，Tn(x)，在区间[- 1,1]有n个0，可计算为 |
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| 切比雪夫多项式的根也称为切比雪夫点。在同一区间内，多项式Tn(x)的n + 1极值位于 |
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| Tn(x)的最大值均为1，而Tn(x)的最小值均为-1。切比雪夫多项式在加权w(x) = (1- x2)-1/2的区间[-1,1]内正交。它们也满足离散正交关系。切比雪夫多项式的其他性质可以在[17]中找到。 |
利用插值的多项式逼近 |
| 多项式逼近问题是寻找一个接近给定函数的多项式，并可以自由选择有效点。一旦确定了显著点，它就简化为一个插值问题，可以用多项式插值来解决。设y(x)为长度为N的ECG线段向量，由y(x)的样本组成，满足 |
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| 给定一组N + 1个数据点(xi,y(xi))我们想要构造一个f (N)次的多项式 |
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| 假设插值多项式是这样的形式 |
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| 这意味着 |
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| 将式(6)代入式(5)，得到一个线性方程组，其矩阵形式为 |
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| 最左边的矩阵是范德蒙矩阵。如果Vandermonde矩阵的行列式不消失，由(7)给出的方程组将有唯一解。为了求ak，我们可以构造插值多项式f(x) |
| 或者，我们可以用拉格朗日公式显式地写出所需的多项式 |
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| 现在让我们构造另一个插值多项式p(x)，通过在n个插值点采样f(x)，使n < n。我们可以估计它们之间的差异，即插值误差E(x)。设ï  n表示阶数≤n的多项式空间，设Cn+1[a, b]表示在区间[a, b]上有n+1个连续导数的函数空间。然后我们有这个定理: |
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| 如果我们可以在这个区间内自由地选择插值点x0，…，xn，那么可以最小化乘积ï  j = (x-xj)，从而最小化插值误差E(x)。这可以通过选择区间为[-1,1]和插值点xj作为切比雪夫点来实现。下面的定理给出了上述情况下误差的估计。 |
| 定理2:假设p(x)在x0, x1…，xn处插补f(x)，并假设这n+1个插补点是切比雪夫多项式Tn+1(x)的(n +1)根，由(3)给出。那么ï ' ¢ε[-1,1]， |
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| 我们的目标不是在区间[-1,1]上近似函数p(x)，而是在(3)所给出的离散点集上近似函数p(x)的值。任意函数p(x)可以在区间[-1,1]上近似为 |
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| 系数cj定义为 |
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该方法 |
| 因为我们处理的是一个R-R区间，所以我们的工作域在区间[a, b]。因此，我们首先变换插值间隔y ε[- 1,1]使用 |
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| 这将f(x)在[a,b]上的插值问题转化为f(x) = g(x(y))在y ε[-1,1]上的插值问题。区间内的切比雪夫点为切比雪夫多项式Tn(x)的根y ε[- 1,1]，即: |
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| 在区间[a, b]中对应的n + 1个插补点为 |
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| 插值误差由 |
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| 在我们的方法中，我们需要使用(8)与所有N个ECG样本构造函数f(x)。然后利用节点求出切比雪夫点和切比雪夫插值多项式。接下来，我们计算误差，如果误差不在我们的容忍范围内，我们增加阶数。我们继续执行这些操作，直到我们的错误标准得到满足。 |
| 接下来我们观察到，要对一个R-R区间内的心电信号建模，切比雪夫多项式的阶数可能相当高。因此，我们根据部分的结构将信号分割成不同的部分。然后利用切比雪夫插值技术对每个截面进行独立建模。 |
| 我们在这里提出一个算法来显示我们的方法的步骤。 |
| 算法chebyshev_poly_approximate = chebyshev_poly_approximate (N，ε， f(x)，Ck,p(x)) |
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切片结果与讨论 |
| 心电信号不是线性的，而是由各种形状的波组成的曲线。提出的算法在心电信号的一个R-R区间内实现和测试。切比雪夫近似技术的性能是通过最大绝对误差和网格误差变化来衡量的。 |
| 为了测试我们算法的性能，我们在MATLAB环境中使用模拟的标准心电信号进行了测试。该算法最初应用于心电信号的R-R区间。信号由8274个样本组成，我们将误差容差固定为ε = 10-2。为了近似一个完整的周期，我们需要高达100阶的切比雪夫多项式。原始信号和一个心周期误差的近似信号如图2所示。 |
| 由于切比雪夫多项式的阶数相当高，我们需要更好的压缩，我们将整个周期分割成不同的部分。心电图各波的形状和持续时间被认为是分割的基础。因此，不同段的采样点数量是不同的。整个循环的七个部分如图3所示。 |
| 将该算法应用于各截面，并不断增加切比雪夫多项式的阶数，直到误差在规定的容差范围内。 |
| 分割后的原始信号和近似信号以及各段上的误差如图4所示。表I显示了不同分段多项式随阶数增加的误差变化情况。从表中可以看出，斜率变化较大的线段需要较高阶的切比雪夫多项式，最高可达8阶，而斜率变化较小的线段可以在规定的误差允许范围内用最大阶为3的切比雪夫多项式进行插值。 |
| 从图3和表I可以观察到，即使是8阶多项式(约为0.119)，包含QRS复数的部分的误差仍然相当高。因此，本节进一步分为三个小节。不同分段上近似多项式随阶数递增的误差变化情况如表II所示。 |
| 从表中可以看出，在包含QRS复合体的区段上，最大绝对误差大大降低。进一步观察到，包含QRS复数的各个子部分可以用非常低阶的多项式近似。还可以通过进一步细分这些子部分来减少误差。 |
结论 |
| 提出了一种利用切比雪夫多项式逼近模拟心电信号的方法。最初，一个心动周期内的完整信号用高阶切比雪夫多项式逼近。切比雪夫多项式的阶数取决于截面心电波的形状。具有零斜率或常数斜率的波可以用低阶切比雪夫多项式近似，而具有可变斜率的波需要高阶切比雪夫多项式。因此，采用较低阶切比雪夫多项式对模拟心电图进行近似处理。近似误差可以进一步减少应用先进的分割技术，这将涉及区间分析。这项工作将作为我们今后的工作。 |
表格一览 |
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| 表1 |
表2 |
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数字一览 |
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参考文献 |
- 《医学生理学教科书》，第9版。
- M. Jalaleddine, C. G. Hutches, R. D. Strattan和W. A. Cobberly，“ECG数据压缩技术-统一方法”，《IEEETransactions on Biomed》。工程，第37卷，no。4，第329-343页，1990年4月。
- L. Bohs和R. Barr，“实时自适应采样与风扇算法”，医学和生物工程与计算，第29卷，no. 1。6，第565-573页，1988。
- J. R. Cox, F. M. Noelle, H. Fozzard，和G. Oliver，“Aztec实时心电节律分析预处理程序”，IEEE生物医学学报。工程，第15卷，no。2，第128-129页，1968年4月。
- S. C. Tai，“实时心电数据压缩器的斜率”，医学与生物工程与计算，第29卷，no. 1。2，第175-179页，1991年3月。
- s.c.t ay，“Aztdis两相实时心电数据压缩器”，《生物医学杂志》。Engg。，vol. 15, no. 6, pp. 510–515, Nov 1993.
- D. Haughland, J. Heber，和J. Husoy，“心电数据压缩的优化算法”，医学与生物工程与计算，第35卷，no. 1。4，第420-424页，1997年7月。
- M. Karczewicz和M. Gabbouj，“心电数据的样条逼近压缩”，信号处理，第59卷，no. 1。1，页43-59,1997。
- M. Brito, J. Henriques, P. Carvalho, B. Ribeiro，和M. Antunes，“基于分段字典和bezier近似的心电压缩方法”，程序EURASIP，第15卷，页2504-2508,2007年9月。
- R. Nygaard, D. Haughland，和J. Husy，“通过二阶多项式和分段非插值逼近的信号压缩”，电气与计算工程系，技术代表，1999。
- W. Philips和G. Jonghe，“基于高阶多项式的心电数据压缩”，IEEE生物医学工程学报，第39卷，no. 1。4页。1992年4月，330-337。
- W.飞利浦，“时间扭曲多项式的心电数据压缩”，IEEE生物医学工程学报，第40卷，no. 1。11，第1095-1101页，1993年11月。
- A. A. Colomer和A. A. Colomer，“基于离散legendre变换的自适应心电数据压缩”，数字信号处理，第7卷，第1期。4，页222-228,1997年10月。
- D. Tchiotsop, D. Wolf, V. Louisdorr, R. Husson，“基于雅比多项式的心电数据压缩”，《IEEE医学与生物学工程学会》，2007年第1期。29.法国里昂，2007，第1863-1867页。
- D. Dchiotsop和I. S. Tlviu，“使用切比雪夫多项式压缩方法的心电数据通信”，罗马尼亚协会，第868卷，第1-12页，1990年12月。
- F. Guendouzi, A. Mokhtari，“心电信号的多项式建模”，计算机医学应用(ICCMA)，第1卷，pp. 1 - 5, 2013。
- G. Szego，“正交多项式”，美国数学学会，vol. 23, pp. 38-57, 1975
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