柔性单连杆机械手的建模、稳定性分析与控制

Dinesh Singh Rana¹,迪²

印度库鲁克谢特拉大学仪器仪表系副教授
印度库鲁克谢特拉大学仪器学系PG学生[仪器工程]

摘要

本文利用拉格朗日方法，建立了具有转动基础和平移运动的柔性单连杆机械手的数学模型。通过MATLAB实现了PID、LQR和状态反馈控制器等控制策略对柔性单连杆机器人的末端位置进行控制。状态反馈控制器采用极点配置方法，线性二次型调节器通过求解Riccati方程得到。通过LQR控制器的实现，得到了控制柔性单连杆机械手尖端位置的最佳控制策略。最后通过研究得出LQR控制方法是PID控制器和状态反馈控制器中控制柔性连杆机构的最佳方法。

关键字

PID, LQR, MATLAB，状态反馈控制器。

介绍

机器人和类机器人机械手现在被普遍使用，在恶劣的环境中，如在核电站的各个地方处理放射性物质，建造和修复空间站和卫星[1-5]。大多数机械手的设计和制造方式都是为了最大限度地提高刚度，以减少末端执行器的振动。许多工业机械手都面临着高速运动时手臂振动的问题。为了提高工业生产率，要求减轻臂的重量，提高臂的运行速度[5]。为此，人们希望制造具有总成本低、工作量大、运行速度快、执行机构小、能耗低、运输方便等优点的柔性机械手。柔性机器人的动力学是非线性的。非线性控制是控制工程中专门涉及非线性、时变或两者兼而有之的系统的领域[4-6]。非线性微分方程用于描述非线性系统的动态特性。非线性系统的动力学可以利用经典和现代控制理论线性化，从而能够表征非线性系统[6-11]。

本文的主要目标是通过MATLAB[6]建立柔性单连杆机构的数学模型和控制，并采用PID、LQR和状态反馈控制器等控制策略控制柔性连杆机构的尖端位置。状态反馈控制器采用极点配置方法，线性二次型调节器通过求解Riccati方程得到。

研究方法:柔性连杆机械手建模

柔性机械臂的动力学模型涉及到用拉格朗日方法对柔性连杆和转动底座进行建模。为了确定系统的拉格朗日量，我们需要计算势能和动能。拉格朗日函数定义为机械系统的总动能(K)与总势能(P)之差:

L = k-p

基于拉格朗日公式的动态模型由拉格朗日公式得到，为一组方程:

在那里,

Q用作关节变量，用于描述移动关节的线性位移(d)和旋转关节的角位移(θ)。单连杆柔性机械臂的原理图如图1所示，其等效自由体图如图2所示。柔性连杆长度(L)、端点弧长偏转(d)和臂偏转(α)的关系如图3所示。本文所研究的单连杆柔性机械臂各参数如表1所示。

其中:Ã [Â¨=齿轮角度(弧度)

α =手臂偏转(弧度)

根据拉格朗日函数的定义，给出单连杆柔性机械臂的拉格朗日为:

单连杆柔性机械臂的固有频率由下式给出:

α = d/L

由于接触面固定在底座上，因此假定转动底座与柔性连杆之间的任何摩擦阻尼效应可以忽略不计。雷竞技网页版我们假设θ和α是两个广义坐标。因此，我们有两个方程:

从上面的分析(图5)可以清楚地看出，系统是不稳定的，为了克服这些限制，需要设计控制器。图6中的波德图显示了频率为20 rad/sec时的不连续，这表示系统高度不稳定。频率为20 rad/sec后，幅值和相位图均呈单调下降趋势。

柔性连杆机械手控制器实现:(1)PID实现:

由单连杆柔性机械臂的状态空间模型，即式(16)导出了其传递函数。

控制器将工厂输出的实际值与参考输入进行比较，确定偏差[13]，并产生一个控制信号，将偏差减小到零或一个小值。柔性连杆机械手的PID控制器实现如图7所示。PID控制器的方程由-给出

PID的整定包括调整Kp、Ki和Kd，以达到用户定义的系统响应的“最优”特性。

式中，Kp =比例增益;Kd =导数增益;Ki =积分增益;R(s) =参考信号G(s) =柔性连杆机械手传递函数;E (s) =误差信号;U (s) =工厂投入y(s) =工厂产出

因此，图的开环传递函数为:

其中G(s)为植物传递函数。

式(22)中的开环传递函数可在MATLAB中实现。函数polyadd最初并不在Matlab工具箱中[14-15]。必须将它复制到一个新的m文件中才能使用它。这个传递函数假定导数控制和积分控制以及比例控制都是必需的。该系统的实际控制可以通过采用步进输入及其响应来表示，如图8所示。

(ii)极点配置方法的状态反馈控制器设计

状态反馈是现代控制系统最重要的方面，使用适当的状态反馈，可以稳定不稳定的系统或通过极点布置设计改善阻尼振荡。状态反馈控制器的性能依赖于极点位置，因此成为控制柔性机械臂(单连杆)的试验过程。在使用极点布置方法设计系统时，需要考虑几组不同的闭环极点，比较它们的响应特性，并选择最佳的一组。

考虑控制系统

式中，x =状态向量(n向量)，y =输出信号(标量)

u =控制信号(标量)，A = n × n常数矩阵

B = n × 1常数矩阵，C= 1 × n常数矩阵

D =常数(标量)

设控制信号为:U = -Kx (24)

这意味着控制信号u是由瞬时状态决定的。这样的方案被称为状态反馈。(1 × n)矩阵K称为状态反馈增益矩阵。该系统的框图如图9所示。

将式(24)代入式(23)，得到x(t) = (A-BK) x(t)。这个方程的解由

其中x(0)为外部扰动引起的初始状态。稳定性和瞬态响应特性由矩阵A-BK的特征值决定。如果矩阵K选对了，矩阵A-BK可以是一个渐近稳定的矩阵，对于x(0)≠0，当t趋于无穷时，可以使x (t)趋于0。矩阵A-BK的特征值称为正则极点。如果这些调节杆被放置在s平面的左半部分，那么当t趋于无穷时，x (t)趋于0。将规则极点(闭环极点)放置在所需位置的问题称为极点位置放置问题。

用MATLAB可以很容易地解决极点布置问题。MATLAB中有两个命令——acker和place——用于计算反馈增益矩阵k。命令acker基于Ackerman公式。该命令只适用于单输入系统[13]。最常用的命令有:

K =涡流(A, B, J)

或者，K= place(A,B,J)

其中A和B是系统矩阵，J是包含所需闭环极点的行向量。这些命令返回增益向量K。

案例1:选择s=-2+j4, s=-2-j4, s=-10, s=-4处所需的闭环极点

由这些闭环极点得到的反馈增益矩阵K[13]为:

K=[1.533 231.3162 -1.2551 -13.1102]

案例2

在s=-4+j10, s=-4-j10, s=-3, s=-5处选择所需的闭环极点

该闭环极点得到的反馈增益矩阵K为:

K=[3.3349 171.8775 -0.0898 - 10.45]和

案例3

在s=-3+5j, s=-3-5j,s=-2,s=-4处选择所需的闭环极点

该闭环极点得到的反馈增益矩阵K为:

K=[0.5213, 259.76， -1.6155， -8.8193]

基于极点布置法反馈增益矩阵(Ko)的柔性连杆系统单位阶跃响应分别如图10、图11和图12所示。

(iii)线性二次型调节器

系统动力学由一组线性微分方程描述，代价由二次泛函描述的情况称为LQ问题。该理论的主要结果之一是由线性二次调节器(LQR)提供的解。实际上，这个算法会找到那些最小化不希望的偏差的控制器设置，比如偏离期望高度[13]的偏差。控制动作本身的大小通常包含在这个总和中，以保持控制动作本身所消耗的能量有限。LQR算法的核心是一种自动寻找合适的状态反馈控制器的方法。

考虑系统方程给出的最优调节器:

这决定了最优控制向量的矩阵K

从而使性能指标[13]最小化

其中，Q和R是一个正定或实对称矩阵。

显示优化配置的框图如图13所示。将式(27)代入式(26)可得

x = Ax -BKx = (A-BK)x

将式(28)代入式(27)可得

设x*(Q + K*RK)x = -d/dt (x*Px)

式中，P是正定厄米矩阵。

x*(Q + K*RK)x = -x*[(A-BK)*P + P (A-BK)]x

比较方程两边注意到这个方程对任意x都成立，前提是

可以证明，如果a - bk是一个稳定矩阵，则存在一个满足式(29)的[13]正定矩阵。性能指标J可以用

由于假设A-BK的所有特征值都具有负实部，我们有x(∞)—0。

因此，我们得到J=x*(0) Px(0)，因此，性能指标J可以用初始条件x(0)和p得到。求二次型最优控制问题的解，我们进行:R = T*T，其中，T为非奇异矩阵。式(29)可写成(A*-K*B*)P + P(A- bk) + Q + K*T*TK = 0。

J, w, r, t, K的最小值要求

x*[TK-(T*)-1 B*P]*[TK-(T*)- 1b *P]x w.r.t. K

最小值为零或TK = (T*)-1B*P和

式(29)给出了最优矩阵k，因此，当式(28)给出的性能指标为线性，且u(t) = -Kx(t) = R-1B*Px(t)时，二次型最优控制问题的最优控制律为线性。

式(31)中的矩阵P必须满足式(29)或以下简化式:

式(32)称为简化矩阵Riccati方程。设计步骤如下:

(i)求解式(32)，矩阵P的约简矩阵Riccati方程。

(ii)将矩阵P代入式(31)。得到的矩阵K是最优矩阵。

采用LQR法求解双连杆柔性机械臂单位阶跃响应如图14所示。图14显示，齿轮角很快就稳定到设定点，没有任何超调。

其中x1对应θ(齿轮角)，x2对应α(手臂偏转)

结论

本文研究了柔性连杆机构的数学建模和控制策略的各个方面。利用拉格朗日方法建立了柔性连杆机构即单连杆的数学模型。这些数学模型的特点是使用经典和现代控制理论。对它们进行了时域和频域分析，研究表明，所建立的柔性机械臂数学模型是高度不稳定的系统。针对柔性机械臂(单连杆)末端位置的控制，分别采用了PID、LQR和状态反馈控制策略。通过对柔性连杆机械手问题的各种控制器的实现结果表明，状态反馈和线性二次调节器(LQR)控制器具有比常规PID控制器更好的性能。