自然科学部门,斯坦福大学孟加拉国,孟加拉国达卡- 1209
收到:03/08/2015接受:02/09/2015发表:12/09/2015
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布莱克-斯科尔斯公式是一个著名的金融数学的偏微分方程。在本文中,我们试图解决欧洲选项(打电话)使用不同的数值方法以及分析方法。我们近似模型使用有限元方法(FEM)其次是加权平均方法使用不同的权重数值近似。我们提出semidiscrete和全离散的数值结果计划欧洲看涨期权和看跌期权的有限差分法和有限元法。我们还展示了这两种方法的差异。最后,我们探讨一些解决线性代数来验证解决方案的优越性。
布莱克-斯科尔斯模型;电话和看跌期权;精确解;有限差分方案,有限元方法
一个强大的工具为股票期权的估值是布莱克-斯科尔斯模式(1,2]。这个模型是用来发现股票的价格。公司等。3)解决了修改后的布莱克-斯科尔斯公式定价选项与离散的股息。delta-defining序列的广义狄拉克δ函数和梅林变换获得积分公式。最后数值求积近似用于近似的解决方案。等一些文件(4梅林变换使用。他们被要求解决变量变换和扩散方程。Jodar et al。4]发现b方程的解决方案有一个宽的收益函数,不仅包含狄拉克δ函数类型也普通的回报函数不连续的衍生品。茱莉亚Ankudiova和马提亚Ehrhardt [5解决了非线性布莱克-斯科尔斯方程数值。他们专注于各种与布莱克-斯科尔斯模型相关方程与波动取决于几个因素。他们还在美国欧洲看涨期权与看涨期权分析使用转型为对流扩散方程和非线性项和自由边界问题。在我们之前的论文(6我们讨论了布莱克-斯科尔斯方程的解析解使用傅里叶变换方法对欧洲的选择。我们制定了有限差分格式和找到解决方案。在本文中,我们讨论的解决方案与有限元法和比较结果和结果通过有限差分方案。
线性布莱克-斯科尔斯公式(1,2)1973年由费希尔。布莱克和迈伦。斯科尔斯
(1)
在哪里
V = V (S, t),还清−函数
S = S (t),股票价格,和S = S (t)≥0,
t =时间,
r =−自由利率风险,
σ=波动情况
和t∈(0, t)
其中T是成熟的时间。
终端和边界条件7]欧式看涨和看跌期权规定如下。
欧式看涨期权(7]
布莱克-斯科尔斯公式(1)的解的值V (S, t)是欧洲美元的看涨期权0 S <∞, 0≤t≤≤t。和终端的边界条件如下
V (0, t)为0≤t≤t = 0,
(2)
欧洲看跌期权(7]
欧洲看跌期权的倒数欧洲看涨期权和边界和终端条件
V (S, t)→0 S→∞, (3)
在(1)模型的问题是一个落后的类型。这种类型是有点困难的解决。解决问题与条件(1)(2)和(3)我们所需要的模型类型。在这方面,我们有以下的转换。
让
和
在方程(1)插入这些衍生品
意味着
(4)
让
(4)意味着
现在我们
这
这些插入方程(5)和除以
我们得到了
意味着
的边界条件和初始分别欧式看涨期权和看跌期权
(7)
和
(8)
因此,布莱克-斯科尔斯公式简化成热扩散方程
现在我们解决问题的数值。我们使用有限元方法(FEM)微分方程来解决相关的问题(6),最后返回替换的坐标变换给出了解决问题的微分方程(1)。
我们的模型
(9)
和看涨期权的初始和边界条件
(10)
控制方程的弱形式
(11)
离散化
空间,我们有
(12)
在哪里
给出了形状函数,
是未知的,n是节点的序数。
替换(12)(11),我们得到了弱semidiscretized方程
(13)
让
分别表示所谓的质量和刚度矩阵,定义为:
(14)
(15)
(13)可以表示为:
(16)
在哪里
是一个向量函数与组件
在执行积分(14)和(15)对于线性形状函数,质量和刚度矩阵有以下形式
在h空间的长度近似。
现在我们想离散方程(16)关于时间。从一个简单的计划开始。
的一个微不足道的选择是使用向前欧拉计划。首先我们离散(16)明确
使用该计划的困难是,它需要很少的步长收敛,因此该方案是一个缓慢的,并不是预先研究的兴趣。
我们想要一个快速和有效的计划,所以我们想要更大的时间步进,使用隐式技术感兴趣。我们说克里特岛(16)隐式,
(18)
这是一个线性方程组未知数
。使用(18)的优势
是,该计划是无条件稳定的。方程(18)订单的准确性
。速度比显式欧拉计划以来(18)允许我们使用大的时间步长。
我们使用一个加权平均法来离散(16)重量和我们
(18)
这是一个线性方程组未知数
。使用(18)的优势
是,该计划是无条件稳定的。方程(18)的准确性为O (k)。速度比显式欧拉计划以来(18)允许我们使用大的时间步长。
我们使用一个加权平均法与重量和离散(16)
我们有
(19)
这个系统也是一个线性的未知数在哪里从0到1。这种方法转向时显式方法
即。,equations (17) and (19) are same and implicit method when
,即,equations (18) and (19)are same. For
该计划是有条件地稳定、无条件稳定
方案的准确性
在本节中,我们提出了各种方法的结果。我们已经解决了模型分析(8通过傅里叶变换的方法。在图1我们将解析解两个选项(看涨期权和看跌期权)。解决模型数值我们应用(8有限差分方法(FDM)和显示结果的两个选项图2。这篇文章很感兴趣在有限元素的方法(FEM) (9当代,我们空间上离散模型(6)的部分(4),然后用各种一步欧拉离散化的时间集成semi-discretization得到的线性方程组。中给出的结果图3。我们试图展示对比(FDM和FEM)的方法图4。
图1:分析解决方案
图2:由有限差分方法数值解。
图3:由有限元方法数值解。
图4:有限差分法和有限元法的比较。
线性方程组(19)生成的布莱克-斯科尔斯模型的离散化可以解决许多传统的过程。大型线性系统,科学家们很少使用直接的方法计算成本。在这里,在这一节中,我们的动机是解决系统方程(19)使用不同的迭代技术。这里我们首先研究线性规划求解收敛迅速。为此,我们认为雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛法。的矩阵,雅可比方法可以表示为
高斯-赛德尔法
和SOR算法可以写成
在每个案例中,矩阵D,−L和−U代表对角线,严格下三角,分别和严格上三角的部分。
我们研究预处理共轭梯度(PCG)方法和广义极小剩余(gmr)方法对角预处理[10]。这里我们考虑为所有计算
。结果给出了不同的权值δ。观察图5,我们注意到条件共轭梯度(PCG)方法执行最好的。
图5:比较不同的解决线性代数。
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