在ZN-Invariant Semi-Simple李群的子组

文摘

我们使用Mathematica找到Z_N不变的子组E的₈m理论的应用。这些Z_N不变的子组进而重要,在某些情况下,他们像我们现实世界的计组。我们提出一个具体的例子,Z_N不变的子组E的₈m理论,它出现在orbifold紧化。然而,过程可以申请任何Z_N组织行为的变化(翻译)根半单李群的晶格_nB_nC_nD_nE₆E₇和E₈的因素。

关键字

Orbifold紧化,弦理论,m理论

介绍

在时空的一部分是紧化的模型,紧凑的空间影响的几何测量模型的对称性。在此,我们认为Horava-Witten m理论(1,2),11^th维紧化是一个区间,我,还有两个ten-dimensional飞机。方便识别的边界,作为,所以我由固定的边界点动作片。这些ten-dimensional时空的每一个飞机上有一个独立的副本E8规领域(主要矢量包)。与四维时空产生了更现实的模型,可以进行如下:

1。扭曲的周期性条件强加于六的十个维度时空的边界飞机、传递,Λ合适6-dimensional晶格和ΔΛ的对称。我们考虑

2。同时将Δ行动嵌入到E₈计的结构组字段的每个两个时空的界限,E的结构组织破碎的子组₈关于Δ-action是不变的。

这是被称为“紧Horava-Witten T m理论₆/Δorbifold”,Δ是“orbifold集团”。通常,Δ徒在紧凑的空间坐标旋转,同时通过转变(翻译)E₈根格(3,4]。

在裁判5),我们构建了-orbifold m理论模型。我们使用Mathematica找到不变的子组E的₈。介绍数学计算代码的细节和过程,我们使用Ref [5]。这个过程可以使用,也许,有细微调整为高阶(迭代)orbifolds,并在需要的情况下找到不变的子组的半单李群_nB_nC_nD_nE₆E₇和E₈因素,_N行为由根晶格的变化。

该算法

考虑根晶格一个简单的李代数一个_nB_nC_nD_nE₆E₇和E₈。让你表示转变(翻译)向量作为(3,4];此外,(需要= 1,所以你生成一个_N行动,因此在g的根向量不变的对这个u-action g

(1)

的根向量是一个群吗H_我⊂G是不变的_N动作片由u。不同向量u定义不同的转变^N行动,因此不同_N不变的子组的g . G-conjugation识别那些是等价的,我们发现不一样^N不变的子组,H_我,因为我= 1,2,…不失一般性,我们限制——重视组件u inshift标准范围内

注意:这样定义的_N不变的子组H_我⊂G是显式定义的G的根格而言,它们是常规的定义(6- - - - - -13]。此外,conditionshift零权向量是非常满意的p_C={0,0,0}相应嘉当发电机的g .因此,

(2)

和所有的定义_N不变的常规G的子组排名也最大。

步骤1:找到G的正根向量的集合,表示W。

步骤2:基于上述的限制,我们构造所有可能的_N变化向量v。

步骤3:找到所有的子组¹H_我⊂G。

步骤4:每个子组之一H_我⊂G,定义以下四个变量:

t是积极的根向量的集合H_我⊂G;

p: t = | |是积极根向量的总数H_我⊂G;

接待员:= rankl (H_我),定义为半单的一部分H_我⊂G,即。,without U (1)-factors; m is number of A₁因素(如果有的话)H_我⊂G。

这三个变量可以读出通过查看群嗨,可以用作标识符。如果这三个变量并不足以确定H_我⊂G明确定义另一个变量:

米₂的数量是一个吗₂因素H_我,如果任何。

如果{p, r、m m₂}结果并不足以识别H_我⊂G明确,我们找一个₃,一个₄。因素嗨,数字,m₃,米₄…,will be necessary to identifyH_我⊂G明确。

步骤5:选择第一个从步骤2 u。

步骤5:t =φ。对所有,附加w_一个集合t。

步骤5 b:计算{p, r、m…} t的过程(见第五节)。

步骤5 c:识别子群H_我⊂G通过比较{p, r、m…}与步骤4的列表。

步骤6:从步骤2中选择下一个,然后转到步骤5。

步骤1 - 4是预备的。特别是,第四步设置标识符的字符串{p, r、m m₂,…}作为正则子组的“地址”嗨(I = 1、2、3、…)给定的简单李群g为特定应用程序的目的,如在m理论(2,5,14)与G = E₈和_N翻译行为的根晶格(1)的一个子集标识符{p, r、m m₂,所以…}就够了。

根和移位向量

我们采取的伴随表示G组和计算它的正根向量使用标准算法(从最高的根6,8- - - - - -12]。例如G组= E₈。任何具体的表示这些根基将取决于选择的基础上,至少存在三个相当标准的约定,对应节点的标签丹金图形的E₈如图所示,³在图1。在高能物理感兴趣的主要应用,如在裁判2,5,14参),我们的约定(10,11),提供长达数十年的标准在高能物理。

最高的不可约的根源(248 -维)的伴随表示E₈{0,0,0,0,0,0,1,0}。整个根系可以获得最高的根通过减去它积极的单根向量如下:在任何给定根向量w,积极的第n个元素的价值,w [n],显示的次数n积极单根α_n可以减去从w -α的次数_n可以添加到w,得到另一个根或零10,12]。例如,α₁={2 1 0,0,0,0,0,0}是第一个积极单根(1^圣嘉当矩阵的行;图1);它本身可以减去两次⁴生产:(3.1)

所有这三个向量确实是根系的E₈。从λ={0,0,0,0,0,0,1,0},积极的单根α₇={0,0,0,0,0,1,2,0}可以减去一次(因为λ是最高的根,没有积极的根可以添加和仍然得到根):

(3.2)

在哪里可以减去一次

(3.3)

以这种方式继续暂停已经生产了240根向量和8份(非零){0,0,0,0,0,0,0,0}。联合,他们跨越248 -维E的伴随表示₈。

事实上,每一个有限维的酉表示任何半单李群可能以类似的方式表示:我们都记得,这样的表现是由权重向量张成的由最高的体重从获得的所有迭代减去上述积极的简单的根源;见参考文献。1- - - - - -12]。λ是最高权重的定义,没有积极的单根可能被添加到它和λ的重量系统内得到一个向量。因此,一个积极的n^th组件λ[n] > 0最高权重λ必然意味着α_n可以减去λ[n]从λ> 0的次数;情节so-obtained”α_nλ的后裔,”(λ−kα_n),k水平低于λ。现在向下逐级返回之前,寻求一个m n积极的组件在一个α_n后代的重量λ,构建α_米-decendants。从一个m的水平^th≠n^th组件(λ−kα_n)[m] > 0但(λ−kα_n+α_米)不在重量系统(上方(λ−kα_n)意味着α_米可以减去(λ−kα吗_n)精确(λ−kα_n)[m]的次数,α_米的后代。

继续以这种方式最终终止并生成完整的重量系统从最高权重λ定义有限维表征(7,8,10- - - - - -12]。当然,一个人可以很容易从最低的重量和增加积极的简单与时尚的根。特殊情况的伴随表示,这是目前我们关注的焦点,非零权重向量称为根向量。

通过绘制权重(根)低于它们通过减去积极简单的根源和连接他们的箭(为了说明,请参见下面的(3.6)),我们获得一个“纺锤型”图的重量(根)图(伴随)表示。根图的伴随表示等级r, G组的中间行根图是由r的副本的{0,…,0},代表r嘉当发电机。行上方中间填充的r积极单根向量;上面的根中间行是G的正根向量,而树根中间行是负根向量和是sign-reversed副本的正根向量。每李群及其代数,因此就可以制定积极的根的子系统。

E₈:以下Mathematica代码计算120 E8的积极根向量Ref的约定10,11]。代码适应其他公约通过改变依据嘉当矩阵和最高的根,即。,数学变量a和g[0],分别;对于那些显示在图1,一个简单的行和列的排列就足够了。同时,我们使用“外部/全球”变量数组,这样中间计算都是可访问的,例如,为故障诊断和跟踪代码的功能;也就需要开始清算所需的符号,显式地为每个列出的代码。读者可能还会发现全球指挥ClearAll(“全球“*”)有用,清除所有用户定义的变量从先前的计算。

输入(1)

ClearAll (g, e);

g [0] = {{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0}};

g[1] =表[平[g[0]],[[平(位置(平(g [0]), 1]] [[p]]]],

{p,长度(平(位置(平(g [0]), 1]]]}];

e(间):= e (x) =联盟[平[{表(表[如果(g [x] [[j]][[我]]= = 1,g [x] [[j]],[[我]],

如果(g [x] [[j]][[我]]= = 2,g [x] [[j]] -[[我]]]]{我8},{j,长度(g [x]]}),

表(表[如果[g [x - 1] [[l]] [[k]] = = 2, g [x - 1] 2 [[l]] - [[k]]], {k - 8}),

{长度l (g [x - 1]]}}, 2]];

g(间):= g (x) =如果[MemberQ (e (x - 1), Null),删除(e x - 1, 1), e [x - 1]];

平(表(g [m], {m, 0, 28日}],1])

输出(1)

取代扁平[表[g [m], {m, 0, 28日}],1]→做[打印[g [m]], {m, 0, 58}]在最后一行的输入(1)打印所有的根,在他们的实际水平和产生纺锤状特征清单。

E₇:对E₇和E₆输入代码是相似的。对E₇伴随的最高根表示,133年,{1,0,0,0,0,0,0}。(133−7)/ 2 = 63 E的正面根向量₇发现下面的代码:

输入(2)

ClearAll [a, e, g];

g [0] = {{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}};

g[1] =表[平[g[0]],[[平(位置(平(g [0]), 1]] [[p]]]],

{p,长度(平(位置(平(g [0]), 1]]]}];

e(间):= e (x) =联盟[平[{表(表[如果(g [x] [[j]][[我]]= = 1,g [x] [[j]],[[我]],

如果(g [x] [[j]][[我]]= = 2,g [x] [[j]] -[[我]]]]{我7},{j,长度(g [x]]}),

表(表[如果[g [x - 1] [[l]] [[k]] = = 2, g [x - 1] 2 [[l]] - [[k]]], {k 7}),

{长度l (g [x - 1]]}}, 2]];

g(间):= g (x) =如果[MemberQ (e (x - 1), Null),删除(e x - 1, 1), e [x - 1]];

平(表(g [m], {m, 0, 16}), 1])

E₆:对E₆,最高的根(伴随表示的重量),78是{0,0,0,0,0,1}。它(78−6)/ 2 = 36根向量积极发现如下:

输入(3)

ClearAll [a, e, g];

g [0] = {{0, 0, 0, 0, 0, 1}};

g[1] =表[平[g[0]],[[平(位置(平(g [0]), 1]] [[p]]]],

{p,长度(平(位置(平(g [0]), 1]]]}];

e(间):= e (x) =联盟[平[{表(表[如果(g [x] [[j]][[我]]= = 1,g [x] [[j]],[[我]],

如果(g [x] [[j]][[我]]= = 2,g [x] [[j]] -[[我]]]]{我6},{j,长度(g [x]]}),

表(表[如果[g [x - 1] [[l]] [[k]] = = 2, g [x - 1] 2 [[l]] - [[k]]], {k, 6}),

{长度l (g [x - 1]]}}, 2]];

g(间):= g (x) =如果[MemberQ (e (x - 1), Null),删除(e x - 1, 1), e [x - 1]];

平(表(g [m], {m, 0, 10}], 1])

李代数的无限序列,Bn, Cn, Dn,我们回忆起低维同构(10]

B1 C1≈≈A1, C2≈B2, D2≈A1⊕A1, D3≈A3。(3.4)

出于这个原因,我们提供下面的Mathematica代码如下:一个为n > 1, Bn和Cn n > 2,

Dn为n > 3,提供两个剩余的显式(低氮吸收)情况下,出于演示目的:

(3.5)

对应于著名的俗的发电机。

C2的嘉当矩阵的转置的B2,这积极的简单的根C2 B2的简单交换简单的根源,即C2的根系是相同的,如(3.6)所示。

一个_n:的,伴随的维数表征是n (n + 2)和积极的根向量的个数是(n (n + 2)−n) / 2 = n (n−1) / 2。Mathematica代码计算的正根向量_n,例如,n = 5是:

输入(4)

ClearAll [n、d、g、e);

n = 5;(* n = 2、3、4……*)

=如果[n > 1,扁平[{{{PadLeft [d [[1]], n, 0, n - 3]}},

d{表[PadLeft [[[3]], n, 0, n - i - 2],{我,n - 2}]},

{{PadRight [d [[2]], n, 0, n - 3]}}}, 2) {2}];

g [0] = {RotateLeft [PadRight [{1 1}, n, 0], 1]};

g[1] =表[平[g[0]],[[平(位置(平(g [0]), 1]] [[p]]]],

{p,长度(平(位置(平(g [0]), 1]]]}];

e(间):= e (x) =联盟[平[{表(表[如果(g [x] [[j]][[我]]= = 1,g [x] [[j]],[[我]],

如果(g [x] [[j]][[我]]= = 2,g [x] [[j]] -[[我]]]]{我n}, {j,长度(g [x]]}),

表(表[如果[g [x - 1] [[l]] [[k]] = = 2, g [x - 1] 2 [[l]] - [[k]]], {k, n}),

{长度l (g [x - 1]]}}, 2]];

g(间):= g (x) =如果[MemberQ (e (x - 1), Null),删除(e x - 1, 1), e [x - 1]];

平(表(g [m], {m, 0, n - 1}], 1])

B_n:B_n伴随的维数表示n (2 n + 1)和正根向量的数量(n (2 n + 1)−n) / 2 = n²。Mathematica代码计算Bn的正根向量,例如,n = 5是:

输入(5)

ClearAll [n、d、g、e);

n = 5;(* n = 3、4、5……*)

=平[{{{PadLeft [d [[1]], n, 0, n - 3]}},

d{表[PadLeft [[[4]], n, 0, n - i - 2],{我,n - 3}]},

{{PadRight [d [[2]], n, 0, n - 3]}}, {{PadRight [d [[3]], n, 0, n - 3]}}}, 2);

g [0] = {PadRight [{0 1 0}, n, 0]};

g[1] ={平[g[0]],[[平(位置(平(g [0]), 1]] [[1]]]]};

e(间):= e (x) =联盟[平[{表(表[如果(g [x] [[j]][[我]]= = 1,g [x] [[j]],[[我]],

如果(g [x] [[j]][[我]]= = 2,g [x] [[j]] -[[我]]]]{我n}, {j,长度(g [x]]}),

表(表[如果[g [x - 1] [[l]] [[k]] = = 2, g [x - 1] 2 [[l]] - [[k]]], {k, n}),

{长度l (g [x - 1]]}}, 2]];

g(间):= g (x) =如果[MemberQ (e (x - 1), Null),删除(e x - 1, 1), e [x - 1]];

平(表(g [m], {m, 0, 2 - 2}], 1])

C_n:类似于B_n的维度的伴随表示Cn也是n (2 n + 1)和积极的根向量的个数也(n (2 n + 1)−n) / 2 = n²。Mathematica代码计算的正根向量C_n,例如,n = 5是:

输入(6)

ClearAll [n、d、g、e);

n = 5;(* n = 3、4、5……*)

a = '[平[{{{PadLeft [d [[1]], n, 0, n - 3]}},

d{表[PadLeft [[[4]], n, 0, n - i - 2],{我,n - 3}]},

{{PadRight [d [[2]], n, 0, n - 3]}}, {{PadRight [d [[3]], n, 0, n - 3]}}}, 2]];

g [0] = {PadRight ({2}, n, 0)};

g[1] ={平[g[0]],[[平(位置(平(g [0]), 2]] [[1]]]]};

e(间):= e (x) =联盟[平[{表(表[如果(g [x] [[j]][[我]]= = 1,g [x] [[j]],[[我]],

如果(g [x] [[j]][[我]]= = 2,g [x] [[j]] -[[我]]]]{我n}, {j,长度(g [x]]}),

表(表[如果[g [x - 1] [[l]] [[k]] = = 2, g [x - 1] 2 [[l]] - [[k]]], {k, n}),

{长度l (g [x - 1]]}}, 2]];

g(间):= g (x) =删除(e x - 1, 1);

平(表(g [m], {m, 0, 2 - 2}], 1]

D_n:为维_n0020的尺寸伴随表示是n (2 n−1)和正根向量的数量(n (2 n−1)−n) / 2 = n (n−1)。Mathematica代码计算的正根向量D_n,例如,n = 5是:

输入(7)

ClearAll [n、d、g、e);

n = 5;(* n = 4、5、6……*)

=平[{{{PadLeft [d [[1]], n, 0, n - 4]}},

d{表[PadLeft [[[5]], n, 0, n - i - 3],{我,n - 4}]},

{{PadRight [d [[2]], n, 0, n - 4]}}, {{PadRight [d [[3]], n, 0, n - 4]}},

{{PadRight [d [[4]], n, 0, n - 4]}}}, 2);

g [0] = {PadRight [{0 1 0}, n, 0]};

g[1] =表[平[g[0]],[[平(位置(平(g [0]), 1]] [[p]]]],

{p,长度(平(位置(平(g [0]), 1]]]}];

e(间):= e (x) =联盟[平[{表(表[如果(g [x] [[j]][[我]]= = 1,g [x] [[j]],[[我]],

如果(g [x] [[j]][[我]]= = 2,g [x] [[j]] -[[我]]]]{我n}, {j,长度(g [x]]}),

表(表[如果[g [x - 1] [[l]] [[k]] = = 2, g [x - 1] 2 [[l]] - [[k]]], {k, n}),

{长度l (g [x - 1]]}}, 2]];

g(间):= g (x) =如果[MemberQ (e (x - 1), Null),删除(e x - 1, 1), e [x - 1]];

平(表(g [m], {m, 0, 2 4}], 1])

与E₈代码输入(1)取代

平(表(g [m], {m, 0, m_马克斯}),1][打印(g [m]), {m, 0, 2 m_马克斯+ 2}](3.7)

输入的最后一行代码(2)-(7),其中m_马克斯索引限制如上所示,打印所有的根的实际水平,形成纺锤状特征清单。

根,最高水平的积极的单根向量(即。,the height of the tower of positive roots) and the dimension of the adjoint representation can be found in Table 8 of [11),表9的裁判(11一些煤]给出了积极的根系简单李群。我们留给勤奋的读者适应上述Mathematica编码剩余的简单的李群,G₂和F₄

在构建orbifolds超弦理论及其m理论扩展,选择的_N变化向量(代表嵌入计组)限制。例如,在m理论,向量必须满足超对称条件,而在弦理论他们满足额外的模块化的不变性条件;在此,我们只对前者。

我们给的一个例子向量。有428 eight-component向量可以由组件值在标准范围内。超对称性限制要求的组件_N向量加起来一个整数(14]。下面的代码生成所有这样的“超对称”向量。我们只显示输出的一个示例。注意,为了找到所有可能的向量保持超对称性,我们需要考虑组件的所有排列向量的每一个产生的这段代码;这是通过应用数学函数排列(列表)下面的向量中产生输出(8)。

代码输入(8)收益如下:

答:商店的列表标准(部分)非零值的组件向量(2.1)。对于一般_N,的值替换为适当的分数为k = 1,……,N。

b:商店、2≤≤7 i-tuples列表可能重复的从一个组件值,排序和重复i-tuples移除。李群的r级,让2≤≤(r−1)。

def。列表函数完成(列表)附加列表组件的负的总额,减少国防部1,即。附加一个(可能是0)组件,使总金额为整数。

c:应用列表函数“完全(列表)”的整个列表i-tuples“b”,完成成i-tuples积分总数。

问:存储我从“c”的零元组形成8-vectors,删除排序组件、重复和排序向量。李群的排名r,取代PadRight (c[[我]],8)→PadRight (c[[我]],r)。

放松组件的总额超对称条件的n个向量v积分,省略线“c”和取代c→b“q”;线定义列表函数完成(列表)因此变得闲置,也可以省略。

输入(8)

ClearAll (a, b, c, q);(*清除先前的计算数组*)

一个= {1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7};

b =联盟[排序/ @平(表(元组[我]{我2 7}],1]];

完成(list_): =附加列表,国防部(总(列表),1]];

c =完成/ @ b;

q =类[联盟[/ @排序表(PadRight (c[[我]],8),{我,1,长度[c]}]]];

“完全没有。Z7向量”

长度(问)

输出(8)

“完全没有。Z7向量的428

你可以使用一个类似的代码生成_N变化向量N≠7根晶格。

G的子组

我们的下一步是找到所有的常规,极大秩G的子组,使用(2.1)- (2.2)。

我们的任务确实是密切相关的著名问题找到G的李代数的普通代数中,这是通过使用扩展丹金图形技术(6];参见参考文献[10 -12]。过程开始删除一个节点在每一个可能的方式扩展丹金图形的李代数的原始G组,生产Dynkin图的第一个列表的集合最大代数。然后遍历这个过程从第一个列表中每一个李代数。虽然这个过程并不完美,很少需要纠正的,所有现在已知(12]

许多代数中还发现通过更快的方法删除扩展丹金图形的G组几个节点以所有可能的方式,和阅读的子代数所代表的余数。例如(图2α),如果我们拿出节点₁,α₆和α₇扩展丹金图形的E₈,我们得到D₅+一个₁;看到图2。值得注意的是,然而,这不会产生代数等above-outlined迭代法获得的,所示图3。定期子代数的生成的完整列表E8以来一直被裁判(6]。

然后传递给相应的紧凑的谎言(子)组。而重要的是,_N不变的常规子组是最大等级,包括等级的必然阿贝尔的因素U₁,在那里H_我的半单因子吗_N不变的常规子群。这一事实使每个半单因素的扶正器_N不变的子群简单,有效地消除了区别不一样嵌入子组;详情见附件8。的结果列表极大秩定期子组E₈在表1。

表1。定期子组E₈和他们的标识符文本中描述。双匕首(‡)表明子组有两个不相等嵌入在E₈(6]。而这些都不是杰出的识别_N不变描述子组,他们的区别也都是无关紧要的包容U (1) 8−r因子和专门关注伴随表示;请参阅附录一。

这个列表的极大秩定期子组E₈,我们计算每个子群积极根向量的个数和列表列p表1。其他标识符的值(r, m和m₂,米₃,…)不是在大多数情况下,对我们来说是必要的⁵。在使用它们之前,我们发现的可能的候选人不变的子组E的₈通过一个过程的输入/输出(9),这大大减少了代码的复杂性在接下来的部分中并保存Mathematica评估时间。

我们有428₇变化向量输出(8)一旦我们把他们排列,这给了823,542改变向量。

我们把第一个向量的前一节和计算的数量正根向量满足条件p: v∈使用下面的代码:

输入(9)

p =(这里没有显示:120 E的正面根源₈从输出());

v =平[表[排列(q[[我]]],{我,1,1}],1];

u =表(表[p[[我]]。v [[j]]{我、长度[p]}, {j、长度[v]}];

w =表(表[IntegerQ [u [[j,我]]],{我、长度[p]}], [v]} {j,长度);

表(r =计数(w [[j]],真的),{j、长度[v]});

联盟[r] > > > Z7_Roots;) 0 pt

输出(9)

{37,42岁}

代码输入(9)读取428向量从列表输出(8)到“q”和120年的积极的根从输出(1)到“p”列表,然后收入如下:

v:列表向量v获得第一个向量的排列输出(8)。

u:商店之间的点积向量的每一个“v”和120年“p”积极的根源。

w:在“u”发现积分点产品。

r:计算积分点的数量的产品在“u”,这是积极的根的总数(p)满足条件p: v∈向量v的,对于每一个“v”。

这个评估的输出({37岁42})是Z7_Roots写在一个外部文件。我们这样做评估向量输出(8)和从文本文件Z7_Roots收集的结果。这使p可能值的标识符向量为

P:{14、15、16、21、22、23日,28日,30日,36岁,37岁,42岁,63}(4.1)

这将缩小我们的选择21 E8的子组,检查列c标记表1。现在我们使用m(数量的值₁因素)来识别可能的子组。当p和m不指定明确地,我们用r的值(等级嗨半单的部分)。标识符的值p、m和r也计算从根向量不变(2.1)对转变。这是下一节所示。

_N不变的G的子组

说明计算过程的m和r的值不变的根向量我们给我们先前的例子一样在第三节纸[5]。把转变向量的一个排列。的_N不变的E₈根向量是

(5.1)

因此不变量的作用下由这一转变。叫这些根向量t[我],我= 1,2,…15,p = 15。

接下来,我们需要确定哪些子群从在表1中列出这些根基(连同他们的底片和嘉当根向量)。我们寻找可能的关系形式t[我]+ [j] = t [k],找到以下:

t [2] + [14] = t [1], t [3] + [13] = t [1], t [5] + [9] = t [1], t [6] + [8] = t [1], (5.2)

t [3] + [15] = t [2], t [5] + [12] = t [2], [7] + t t [2], [8] = (5.2 b)

(5.2 c)

t [7] + [14] = t [6], [12] + t [9] [14] = t, t [14] + [15] = t [13], (5.2 d)

t [10] + [11] = t [4]。(5.2 e)

因为根向量t [7], [10], t [11] [12], t[14]和[15]不能被表示为一个其他根向量的和,他们必须对应于6积极,单根向量嗨。半单的排名你好然后必须6的一部分,剩下的两个零权重对应一个U (1)²的因素。所有15根向量也出现在(5.2),意思这个嗨没有A1因素,每一个都必须有一个单独的、孤立的,积极的根向量。从这些不变的根向量变量m和罕见的定义为:

m是根向量的个数,不会出现在形式的方程t[我]+ [j] = t [k]所以必须是单一的,孤立的,积极的根向量;在这里,m = 0。

r是根向量的个数不出现在右边的关系形式t[我]+ [j] = t [k]所以必须简单;在这里,r = 6。

使用{p m r} ={15 0 6},从表1,我们确定了明确的子群₈×苏₃。注意到,这确实是一致的结构关系(5.2):

积极的根t [4], t[10]和[11]积极成立一个独立的2根系统t[10]和[11]是简单和t[4]是他们和e (5.2);这只能对应,SU3。

积极的根t [6], t[9]和[13]分别获得的总和(5.2 d)两个积极的简单根{t [7], [12], [14], t[15]},所以必须一个级别以上这些积极的简单的根源。

表达t [6], t[9]和[13]这样,t [3], t[5]和[8]都发现一笔(5.2 c)三个积极的简单的根,所以是两个水平高于积极简单的根源。

这样,t [2] = [7] + t [12] + t [14] + t[15]是一个总和(5.2 b)的所有四个截然不同的积极简单的根源,而t [1] = [2] + t [14] = t [7] + [12] + 2 t[14] +[15]有一个更积极的单根(5.2)。因此,t[2]和[1]分别占领之上的第三和第四层积极简单的根源。

这些事实符合{t [7], [12], [14], t [15];t [6], [9], t [13];t [3], [5], t [8];t [2];t[1]}形成积极的根系(8),即李代数的D₄。事实证明,这样的一个更详细的研究是不需要在确定的名单₇不变的子组E的₈在表2和标识符{p m r}是足够了。

表2。不变的subroups E的₈

我们使用这种分析建设以下Mathematica代码和使用标识符{p m r}识别E的十四子组₈这下是不变的转变中列出表2,所以事实上完成集团行动所产生的转变。

输入(10)

q =(这里没有显示:4287从输出向量(8));

CleanSlate []:

v =平[表[排列(q[[我]]],{我,1,1}],1];

u =表(表[p[[我]]。v [[j]]{我、长度[p]}, {j、长度[v]}];

w =表(表[IntegerQ [u [[j,我]]],{我、长度[p]}], [v]} {j,长度);

s =表[平[位置[w [[k]],真正]],[w]} {k,长度);

t =表(表[p [[s [[j]][[我]]]],{我长度[s [[j]]]}], [w]} {j,长度);

Φ[k_]: =Φ[k] [b = =评估表(表[t [[k]][[我]]+ t [[k]] [[j]],

{我,长度[t [[k]]]}, {j,长度[t [[k]]]}];

c =表(表[MemberQ [b t [[k]], [[i, j]]],{我长度[t [[k]]]}), {j,长度[t [[k]]]});

f =位置(c,真的);

g =联盟[表[[f[[我]]],{我、长度[f]}]];

x =表[g[[我]][[1]]{我、长度[g]});

y =表[g[[我]][[2]]{我、长度[g]});

h =表[t [[k]] [[x[[我]]]]+ t [[k]] [[y[[我]]]],{我、长度[x]});

z =平[表[Position [h t [[k]],[[我]]],{我、长度[h]}]];

表(l, o = {l长度[t [[k]]]});

长度m =[补充[o,联盟[x, y, z]]];

表(如果[[t [[k]]]长度= = 14日评估(Φ[k];如果(m = = 2,如果(r = = 6, [1] [1] [4],

如果(r = = 8,一个[1][1][3][3]]],一个[1][2][4]]],

如果[[t [[k]]]长度= = 15日评估(Φ[k];如果(m = = 0,如果[[5]r = = 5,

如果(r = = 6, [2] d[4]]],一个[1][1][1][4]]],

如果[[t [[k]]]长度= = 16日评估(Φ[k];如果(m = = 0,[3][4],如果(m = = 1, [1] [5],

如果(m = = 4,一个[1][1][1][1]d [4]]]]],

如果[[t [[k]]]长度= = 21日评估(Φ[k];如果(m = = 0, [6], [1] d [5]]],

如果[[t [[k]]]长度= = 22日评估(Φ[k];如果(m = = 1, [1] [6], [1] [1] d [5]]],

如果[[t [[k]]]长度= = 23日[2]d [5],

如果[[t [[k]]]长度= = 28日[7],

如果[[t [[k]]]长度= = 30 d [6],

如果[[t [[k]]]长度= = 36岁的评估(Φ[k];如果(r = = 6, e [6], [8]]],

如果[[t [[k]]]长度= = 37岁[1]e [6],

如果[[t [[k]]]长度= = 42岁的d [7],

如果[[t [[k]]]长度= = 63 e [7]]]]]]]]]]]]], [t]} {k,长度);

联盟[%]> > > Z7_Groups;

输出(10)

{d [7], [1] e [6]}

代码输入(10)读取428向量从列表输出(8)到“q”和120年的积极的根从输出(1)到“p”列表,然后收入如下:

v, u, w:具有相同的含义在输入(9)。

s t:每一个移动向量在“v”,这些发现积极的根向量的集合E₈积分标量产品把向量。

Φ:这个函数使用分析如上所述方程(5.1)后发现m和r的值在第二节中定义。注意Φ是一个函数,使用变量“c”,“f”,“g”、“x”,“y”,“h”、“z”和“o”评估“m”和“r”(m和r的意思从第二节)。这个函数只有当数量的评估不变的根E8(在代码中这个数字长度(t [[k]]])是不足以确定子群嗨在这一节中讨论。量长度[t [[k]]]的数量不变的根向量(= p),“m”是A1的数量因素(= m)和“r”的等级(r)是一组。这三个变量的计算不变的根向量为解释在上面的例子中,子群。这个评估的输出是写在一个外部文件组,一组_n被确定为一个[n], D_nd [n]和E_ne [n]。

对于其他orbifolds有p的情况下,m和r并不足以明确指定组。在这种情况下我们找一个₂,一个₃嗨,···因素通过观察根向量关系。例如,一个一个₂因素必须由三根向量张成的{t[我],[j], t [k]}满足的方程形式t[我]+ [j] = t [k]和发生在不涉及任何其他根向量方程。同样,我们可以寻找根向量没有出现在任何形式的方程t[我]+ [j] + t [k] = t [l]。

自动化

由于计算机的处理器速度和内存的限制,可能需要分区计算。下面显示了如何做的orbifold m理论的例子。

收集所有的产出向量q(8)和所有E8根向量p输出(1)第三节,把它们放在一个笔记本,NB_0。使用“CleanSlate”包⁶[14],这在数学的一个主目录(HomeDirectory美元)。这个包可以帮助清理Mathematica内核内存,这样连续的评估可以使用最大可能的内存。NB_0的输入如下:

输入(11)

q =;(没有输出所示:428从输出向量(8))

p =;(没有输出所示:120积极根向量E8的输出(1))

< < CleanSlate.m;

orbifold = EvaluationNotebook [];

NotebookSave [orbifold]

NotebookOpen [" NB_1.nb "])

(2)我们创建一个笔记本Z7_Generic HomeDirectory美元中包含的代码输入(1)添加了一些行代码使用自动化过程:

输入(12)

NotebookClose [orbifold]

CleanSlate [];

v =平[表[排列(q[[我]]],{我,α,α}],1];

u =表(表[p[[我]]。v [[j]]{我、长度[p]}, {j、长度[v]}];

w =表(表[IntegerQ [u [[j,我]]],{我、长度[p]}], [v]} {j,长度);表(r =计数(w [[j]],真的),{j、长度[v]});

联盟[r] > > > Z7_Roots;

orbifold = EvaluationNotebook [];NotebookSave [orbifold]

γ=α+ 1;

“注”< > ToString(γ)< >“.nb”;

InputForm (%)

NotebookOpen [%];

接下来,我们创建一个笔记本Z7_Generator用下面的代码,

输入(13)

做[NotebookPut [NotebookGet[第一[笔记本[“Z7_Generic.nb”]]] /。“α”- >β);

NotebookSave [SelectedNotebook[],“注”< > ToString(β)< >“.nb”);

暂停[2];NotebookClose [SelectedNotebook[]],β,1428)

一旦输入(13)运行时,它会创建428笔记本电脑输入的内容(12)的价值

α= 1,2,3,···,428年,分别为每个笔记本。在$ HomeDirectory创建的文件。

(3)我们的下一步是评估这些428年笔记本电脑的方式,这样当我们打开NB_0,非盟- tomatically评估内容和笔记本NB_1的内容,NB_2等等等等。NotebookClose [orbifold]输入行结束之前的笔记本被评估。这样开放的数学笔记本屏幕不是混乱,提高计算机的内存的性能。记忆也是管理的输入行CleanSlate []。注意“CleanSlate”包叫做Mathematica商店q的值后,赢得它的内存是整个评价过程所必需的。最终的结果是收集到的文本文件中创建Z7_Roots HomeDirectory美元,在情商。(4.1)。

我们(iv)把类似的过程的评价7

不变量组,输入(10)。从文本文件收集的结果Z7团体和现状进行了分析表2。

为了工作的自动化过程,我们需要进行以下更改Mathematica偏好,

1。笔记本选项文件→选项→笔记本自动保存(假→真)

2。笔记本选项→文件选项→ClosingAutosave(假→真)

3所示。笔记本选项→文件选项→AutogeneratedPackage(手动→无)

4所示。笔记本选项→评价→选项初始化CellEvaluation(自动→正确)

5。笔记本选项→评价→选项初始化CellWarning(真→假)

6。细胞选项→选项→评价初始化细胞(假→真)

这种自动化过程首先在5.2版本测试和使用Mathematica,做设计。为以后版本中,似乎有一个问题阻止了评价一个笔记本打开时被另一个笔记本,即使初始化CellEvaluation和初始化。

细胞变化为True(全球)。在这些版本的Mathematica,自动化过程(3)可以使用执行代码,如:

输入(14)

nb = NotebookOpen (“notebook.nb”);

SelectionMove (nb、所有、笔记本);

SelectionEvaluate[注];

orbifold = EvaluationNotebook [];

NotebookSave [orbifold];

NotebookClose [orbifold];

也需要做出相应的改变输入(11)和(12)的自动化工作流程。

结论

我们有细节如何找到所示不变的子组E的₈使用数学。这些团体,获得orbifold m理论,弦理论是密切相关的紧化四个方面:在x的极限¹¹→0时,这两个概念——不变的子组E₈(分别在两个边界的x¹¹)合并成会配合计组发现的在弦理论中[14]-orbifold模型。我们已经测试了我们的代码₂,₃,₄和₆orbifolds。so-obtained子组在x的极限¹¹弦理论→0配合那些紧化。这将意味着我们的代码还可以用于8和₁₂orbifolds。

规的存在背景领域(威尔逊行)四维计组分解一些较小的群体。因为这些威尔逊线提供额外的组晶格的变化,可以使用我们的程序也在这些类型的模型。

简单的李群,Bn, Cn, Dn, E6、E7,我们的程序可以应用于找到完整的计对称在任何_N转变。在第三节,我们为这些团体提供了根向量。作为半单李群是简单的李群的产品,这个过程仅仅需要单独应用于每个因素。

最后,我们目前的目标是演示,Mathematica可以用来计算Δ-invariant半单李群的子组。被应用于m理论的动机,我们限制”超对称“Δ-actions和Δ=_N为了简单起见。在两方面归纳似乎是值得的,但超出了我们目前的范围。同样,似乎需要重新架构和包本文提供的计算为一个交互式Mathematica包,但这也超出了我们的范围。

常规E子代数₈

物理应用在大统一模型构建11)和弦理论及其m理论扩展(1,2关注经典李群紧凑,也经常在一个依赖于应用程序的限制的子集lowest-dimensional酉表示。这样的情况(1,5,14),(1)只考虑E8的伴随表示,和(2)_N——不变的子组H_我。特别是,_N不变的子组H_我⊂G所有满足(2.1)-(2.2)和消失的扶正器;见下文。同时,有限的因素和李群的真正形式的不考虑,我们很容易从李代数对应的紧凑的李群。

. 1。代数中

一个详尽的清单的常规程序代数中李代数提供了最初的EB Dynkin [6文本中描述),是(8,10,12),回顾文献[11]和裁判等也在研究文章[14]。一开始清单定期最大半单代数中通过删除一个节点扩展丹金图形的最初的代数。对E₈,这些都是6]:

(.)

接下来,清单定期最大半单代数中进行的(.),并继续迭代。这增加了

(a)

列表(.),完成所有定期半单代数的最大级别的列表(6,表10)。非半单代数中最大现在发现通过应用列表(.)- (a)导致Dynkin的表12。(6]:

(a)

在哪里为n > 1和K₁是“零代数”组成的一个单一的某些元素,生成一个交换因子U(1)在相应的李群。对E₈,生成的清单

(各)

省略non-semisimple代数K₁被加数包含在一个合适的一个₁被加数否则清单中相同的子代数。的两个单独的副本₇+ K₁然而被列为不相等代数而(6),这很容易追踪进展从(a . 1) (a)(各)。

最后,除了总清单8 + 6 + 19代数(a . 1) (a)(各),其余42代数中是通过省略加式的条目(a . 1) (a)(各)以所有可能的方式。在这一过程中,必须考虑到可能是省略了加式包含(大)扶正器在E₈诱导一个等价的被加数(年代)。例如,已经在列表中(.)我们有明显不一样8级半单代数₇+一个₁和E₇+一个₁.Omitting较大的被求和,得到两个代数和然而,事实证明,这两种不同的嵌入由E实际上是等价的₈结合(6),这样的扶正器总是E₇;这E7-centralizer包容A7前子代数链。

反过来,省略₁从离开了等级7子代数与一个₁在E扶正器₈。自so-obtained子代数A7不能同构(各)。这个标识作为Dynkin(各),因为第一个子代数和Dynkin由区别的模式暗示

事实证明,其余同构但不相等嵌入式双四代数中,

(本)

也同样的在E(仔细追踪)本体₈。结果76年适当的子组对应于这些代数(包括阿贝耳因素对应嘉当子代数)中列出表1。

由极大秩正则子组

保存的_N-actionshift阿贝尔的因素在呈现的扶正器微不足道的。

看到这,考虑例如不同的最大代数和,在那里而(6]。省略1被加数从后者的结果在两个嵌入一个不相等₇E子代数₈:扶正器是0,而扶正器的是一个₁。

传递到相应的李群紧凑,我们因此有两个不相等的嵌入式苏₈子组的E₈这里显示配合各自的本体:

(要求寄出)

的N-invariant子组(2.1)-(2.2)的E₈包含一个苏₈然而因素是。在的情况下,这,这_N——不变U₁因素是所有centralizere(要求寄出)。为然而,_N不变的U₁扶正器的因素是一个合适的子群,的扶正器因此,我们获得的

(A.7)

然后再是这两个N-invariant子组,不同的嵌入不相等因素,然而有相同的(简单)扶正器E₈。最后,我们这里正在考虑如何_N变体补的伴随表示转换对n不变的子群H_我也有其他E₈表示可能会变换下H_我。这叶子没有办法区分的两个副本,这就是为什么只有一个副本中列出表1。

情况类似的其他四个亚组,且只有一个复制的这些上市表1。

我们很高兴地注意到,极大秩的完整清单定期子组E₈鉴于在表1也是通过一个迭代的应用表14和15在裁判11]。

承认

我们应该感谢裁判,出色的工作和建设性的批评回顾本文的初始版本,并指出在一些中间结果的一个严重的错误。虽然他们的校正结果不改变最终结果(表2),它提供了一个机会不仅正确地提出我们的结果,也为了更好地解释工作的细节和澄清识别极大秩子组的微妙之处;请参阅附录a .我们的慷慨支持通过能源部格兰特de - fg02 - 94 er - 40854。T.H.希望感谢提供的反复出现的好客和资源中佛罗里达大学的物理系,奥兰多的物理系诺维萨德大学自然科学学院,塞尔维亚,这部分工作完成。

¹所有简单的李群的等级≤8和一些更高的等级,在文献中列出了极大子群(6,11,13];

²因为根晶格转变v g (v)∈对应于一个发电机_N所以,所有的元素_N是g (v)的权力,由此可见,根向量满足v.wa=实际上是不变的对所有的吗_N。

³为了节省空间,负根向量组件是用一个了:¯1 d = ef−1,¯2 d = ef−2等等。

⁴是一丝不苟的,第一个组成部分一个₁= {2 1 0,0,0,0,0,0}α₁[1]= + 2仅仅意味着我们可以减去α₁从本身比我们可以添加两次α₁本身,而且还得到一个根或零。然而,由于一个₁+一个₁≠0可以不显示根,它遵循α1可以添加到本身零次数而呆在根系统,因此可以从本身减去两倍。

⁵标识符r和m所示表1完整性和可能的概括_N动作超对称性条件放松的地方。额外的标识符,mi在步骤4,很容易补充道

⁶这个包是可用的在线:http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4718/。

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