关键字 |
| 图像反褶积，乘法器的交替方向法(ADMM)，边界条件，周期性反褶积，在绘画，帧 |
介绍 |
| 反褶积是一个逆问题，其中观察到的图像被建模为由模糊滤波器卷积产生的，可能伴随着噪声，目标是估计底层图像和模糊滤波器。在反褶积中，位于观察图像边界附近的像素依赖于(未知图像的)位于其域之外的像素。形式化这个问题的典型方法是采用所谓的边界条件(BC)。 |
| ？周期BC指的是图像在各个方向上的重复。它的矩阵表示可以通过FFT实现。 |
| ？0 BC假设一个黑色边界，因此图像边界外的像素值为0，因此表示卷积的矩阵为block-Toeplitz，具有Toeplitz块。 |
| ？非自反和反自反bc，图像域外的像素是边界附近像素的镜像，分别使用偶数或奇数对称。 |
| 为了简单和计算方便，大多数快速反褶积算法都假设周期BC，其优点是允许使用FFT有效地进行卷积。然而，如图1所示，这些BC是不准确的，并且是大多数成像系统相当不自然的模型。反褶积算法忽略了这种不匹配并错误地假设周期性BC会导致众所周知的边界伪影。关于图像边界的一个更好的假设是它们是未观察到的/未知的，这很好地模拟了一个典型的成像系统，其中图像传感器捕获由镜头投射的图像的中心部分。周期性边界条件的假设(非自然的)如图1所示。 |
| 在二次正则化中，具有周期BC的图像反褶积对应于一个线性系统，其中对应的矩阵可以有效地在dft域中使用FFT反演。基于框架分析的非光滑正则化反卷积技术该工作提出了一种基于变量分裂和二次惩罚的算法，在每次迭代中使用该方法求解线性系统。该方法与ADMM相关，但不是ADMM，因此不能保证收敛到原始目标函数的最小值。虽然提到了在ADMM中使用该方法的可能性，但没有探讨该选项。 |
| 基于帧分析非光滑正则化的ADMM图像反褶积继承了以往基于ADMM的反褶积方法的所有优点:所有更新方程(包括矩阵反演)都可以在不使用内部迭代的情况下高效计算;收敛性在形式上得到了保证。 |
相关工作 |
迭代收缩阈值算法: |
| 考虑成像中线性逆问题的常见算法形式， |
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| 其中A=BW, B是直接算子的矩阵表示，即x = W??，哪里??∈? ?，和??×? ?矩阵W是小波1框架的元素。 |
可以说，解决形式(1)的问题的标准算法是所谓的迭代收缩/阈值(IST)算法。IST可以派生为期望最大化(EM)算法，也可以派生为最大化最小化(MM)方法，或者可以派生为前后向分割技术。IST算法的一个关键组成部分是所谓的收缩/阈值函数，也称为莫罗近端映射或去噪函数，与正则器相关，它提供了相应的纯去噪问题的解决方案。形式上，这个函数被表示为 定义为 |
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| IST可能相当慢，特别是当??非常小，并且/或者矩阵A非常病态。这一观察刺激了对更快的IST变体的研究，我们将在下一段简要回顾。 |
两步IST (TwIST): |
| 在两步IST (TwIST)算法[1]中，每个迭代都依赖于前两次迭代，而不是只依赖于前一次(如IST中)。该算法可以被视为线性问题[2]的所谓两步方法的非线性版本。在各种基于小波和基于电视的图像恢复问题上，TwIST被证明比IST快得多;在典型的基准问题中，速度增益可以达到两个数量级。 |
快速IST (FISTA): |
| IST的另一个两步变体，称为快速IST算法(FISTA)，最近被提出，并且在速度方面明显优于IST。FISTA是针对光滑凸问题的Nesterov最优梯度算法的非光滑变体。 |
可分离近似稀疏重建(SpaRSA): |
最近提出的一种获得更快的ist变体的策略包括放松条件  在SpaRSA(代表可分离近似稀疏重建)框架中，每个迭代中使用不同的γt(可能小于γmin，意味着更大的步长)。它明显优于标准IST和SpaRSA的收敛结果。 |
| 最后，当使用较小的正则化参数导致速度变慢时，延拓方案可以有效地加快算法的速度。关键的观察结果是，IST算法从暖启动中显著受益，即在目标函数的最小值附近进行初始化。这表明，对于给定的τ值，我们可以使用(1)的解来初始化IST，以解决附近τ值的相同问题。这种热启动特性是延续方案的基础。其思想是使用IST来求解(1)以获得更大的τ值(这通常是快速的)，然后逐步减小τ到其期望值，对τ的每个连续值运行IST以暖启动。 |
图像反褶积与周期BC使用admm |
小组ADMM: |
| ADMM在我们的特定问题上的应用涉及到求解一个与未知图像大小或其表示大小有关的线性系统。虽然这似乎是一个不可逾越的障碍，但我们证明事实并非如此。在许多问题中，例如(圆形)反褶积，缺失样本的重现，或部分傅里叶观测的重建，该系统可以以封闭形式(花费O(n)或O(n log n))快速求解。对于形式(1)的问题，我们展示了如何利用W是一个紧Parseval框架的事实，这个系统仍然可以有效地求解(通常花费O(n log n))。 |
| 我们报告了一组基准问题的结果，包括图像反褶积，缺失像素的恢复，以及部分傅里叶变换的重建，使用基于帧的正则化。在所有实验中，所得到的算法都比以前最先进的方法FISTA、TwIST和SpaRSA一致且快得多。 |
| 考虑一个无约束优化问题的一般化 |
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在哪里 是任意矩阵，和 都是凸函数。求解(1)的ADMM实例在算法1中给出，其中 表示下面分区中ζ的第j个块 |
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| UK和dk也使用了类似的符号。 |
| 该算法的第4行和第6行是主要步骤，这些步骤可能会带来计算挑战。然而，这些步骤在一些感兴趣的情况下被证明具有快速封闭形式的解决方案。特别地，第4行的矩阵反演有时(例如，在周期性反褶积问题中)可以通过利用矩阵反演引理、FFT和其他快速变换(见[1,13])进行廉价计算，而第6行的对应于所谓的莫罗接近算子(MPO)，定义为 |
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| 对于f的多个选项，proxf有一个简单的封闭形式。 |
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在(1)有解的条件下，算法1继承[11]中给出的ADMM的收敛保证。对于我们的公式，算法1收敛于解为1的充分条件是: 所有函数gj都是固有的、封闭的、凸的;矩阵 有全列秩(其中()*表示矩阵/向量的共轭转置，和 |
| 周期BC图像反褶积:本节回顾了基于adm的图像雷竞技苹果下载反褶积与周期BC的方法，使用基于框架的公式，这类成像逆问题的标准正则子。我们首先考虑在具有周期性BC的图像反褶积中使用的通常观测模型: |
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在哪里 是包含原始图像和观测图像的所有像素(按字典顺序)的向量，w表示高斯白噪声， 表示带有某些滤波器的(周期)卷积的矩阵。在基于帧的分析方法中，估计的图像， ，则为 |
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在哪里 是某些框架(例如，冗余小波框架或曲波框架)的分析算子，Ø是一个正则器，鼓励框架分析系数的向量是稀疏的，并且??> 0是正则化参数。本文采用的Ø的典型选择是 |
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| 问题(6)可以写成式(3)，J = 2， |
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| g1和g2的运算符，算法1关键组件的简单表达式(第6行)， |
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| 在哪里?软吗?表示众所周知的软阈值函数 |
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| 其中符号，最大值和绝对值函数是组成部分，和?表示按组件划分的产品。算法1(另一个关键组件)的第4行是这样的 |
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| 假设P对应于Parseval1坐标系(即P*P = I，尽管可能PP*≠I)，在DFT域中简单地计算(14)中的矩阵逆 |
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| 其中U和U*为表示DFT及其逆的酉矩阵，Λ为卷积核DFT系数的对角线矩阵(即A = U*ΛU)。 |
(15)中的求逆代价为O(n log n)，因为矩阵 为对角线，U与U*的乘积可用FFT计算。因此，每个应用程序(14)的领先成本(算法1的第4行)要么是与(15)相关的O(n log n)成本，要么是产品byP*的成本。对于图像恢复中使用的大多数紧凑帧，该产品具有快速O(n log n)算法。 |
| 我们得出结论，在周期BC下，对于一大类帧，算法1求解(5)的每次迭代都有O(n log n)的代价。最后，该ADMM实例具有收敛性保证，因为:(1)g2为矫顽力，(5)中的目标函数也为矫顽力，因此其最小值集不为空;(2)g1和g2为固有封闭凸函数;(3)矩阵H(2) = I显然具有全列秩，这意味着G = [A*I*]也具有全列秩。 |
| 在本文报道的实验中，我们使用基准Lena图像(大小为256 × 256)，具有不同的模糊(失焦和均匀)，所有的大小为19 × 19(即。， 2l + 1 × (2l + 1)， l = 9)，在40dB、50dB、60dB四种不同信噪比(模糊信噪比)下。我们之所以专注于大模糊的原因是边界条件的影响在这种情况下是非常明显的。 |
在每个降级图像上，运行章节3.2中提出的算法，以及周期版本(章节3.1)，使用或不使用edgetapper?MATLAB函数。算法停止时 调整λ以获得最高的重建图像信噪比。 |
| 表1显示了对于每一个模糊和BSNR，前面提到的两种算法得到的ISNR(提高SNR)值。错误地假设周期BC的巨大影响在这些结果中以及图2所示的例子中都很明显。 |
边界未知的反褶积 |
观测模型 |
| 为了处理边界未知的图像，我们将边界像素建模为未观察到的，这是实现我的修改(5) |
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| 其中em∈{0,1}m×n (m
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| 当M = I时，模型(34)简化为一个标准周期 |
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| 反褶积问题。相反，如果A = I，(34)就变成了一个纯粹的修补问题。此外，公式(34)可以用于建模的问题，不仅边界，而且其他像素，都是缺失的，如在标准图像Inpainting。 |
基于未知边界的帧反褶积 |
| A.框架分析公式 |
| 掩模解耦(MD):观测模型对应的基于框架的分析公式为 |
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| B.基于框架的合成公式 |
| 掩模解耦(MD):在观测模型下，基于帧的综合公式变为 |
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| c .框架合成共轭梯度 |
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其中第二个等式是通过使用Sherman-Morrison-Woodbury矩阵反演单位，在定义Since A是循环的，C可以通过FFT有效地计算，如 在反转中解释了。 |
| 4.3基于TV的未知边界反褶积 |
| a .掩模解耦(MD):给定观测模型，基于tv的未知边界反褶积公式为 |
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| B.TV共轭梯度 |
| 其结果是对Algorithm进行简单的修改，其中 |
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| A, Dh和Dv的循环性质允许在DFT域中有效地计算C。 |
仿真结果 |
| 基于ADMM算法的仿真结果如图3所示。它包括原始图像和退化图像，在执行ADMM算法后将产生估计图像。代价函数将指示从退化图像中获得估计图像的迭代次数。估算图像的ISNR值列在表格中。2based on frame analysis and total variation algorithms which are used in ADMM. |
结论 |
| 提出了一种新的方法，将现有的快速图像反褶积算法扩展到边界条件未知的问题。考虑了基于框架的分析公式，并给出了所提出算法的收敛性保证。实验结果表明，该方法具有较好的复原质量。正在进行和未来的工作包括，而不是采用标准BC或边界平滑方案，一个更现实的实际成像系统模型，将外部边界像素视为未知;即，该问题被视为一个同时反卷积和修补的问题，其中未观察到的边界像素与反卷积图像一起估计。 |
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表格一览 |
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| 表1 |
表2 |
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数字一览 |
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参考文献 |
- M. Afonso, J. Bioucas-Dias和M. Figueiredo，“使用变量分裂和约束优化的快速图像恢复”，IEEE Trans。《图象程序》，vol. 19, pp. 2345-2356, 2010。
- 一个增强拉格朗日方法的约束优化公式的成像逆问题，“IEEETrans。《影像学报》，vol. 20, pp. 681-695, 2011。
- A. Beck和M. Teboulle，“线性逆问题的快速迭代收缩阈值算法”，SIAMJour。影像科学，vol. 2, pp. 183-202, 2009。
- J. Bioucas-Dias和M. Figueiredo，“一种新的扭转:用于图像恢复的两步收缩/阈值算法”，IEEE Trans。《图象程序》，第16卷，第2992-3004页，2007。
- S. Boyd, N. Parikh, E. Chu, B. Peleato和J. Eckstein，“基于乘子交替方向方法的分布式优化和统计学习”，《机器学习基础与趋势》，vol. 3, pp. 1 - 122,2011。
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- P. Combettes和j . c .。Pesquet，“信号处理中的近端分裂方法”，《科学与工程中反演问题的定点算法》(H. Bauschke等，编辑)，第185-212页，施普林格，2011。
- P. Combettes和V. Wajs，“近距离正向向后分裂的信号恢复”，SIAM杂志多尺度建模与仿真，第4卷，pp. 1168 - 1200,2005。
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- M. Donatelli, C. Estatico, A. Martinelli，和S. SerraCapizzano，“用抗反射边界条件和再模糊改进图像去模糊”，反问题，卷。22, pp. 2035-2053, 2006。
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菜单
定义为
在SpaRSA(代表可分离近似稀疏重建)框架中，每个迭代中使用不同的γt(可能小于γmin，意味着更大的步长)。它明显优于标准IST和SpaRSA的收敛结果。
是任意矩阵，和
都是凸函数。求解(1)的ADMM实例在算法1中给出，其中
表示下面分区中ζ的第j个块
所有函数gj都是固有的、封闭的、凸的;矩阵
有全列秩(其中()*表示矩阵/向量的共轭转置，和
是包含原始图像和观测图像的所有像素(按字典顺序)的向量，w表示高斯白噪声，
表示带有某些滤波器的(周期)卷积的矩阵。在基于帧的分析方法中，估计的图像，
，则为
是某些框架(例如，冗余小波框架或曲波框架)的分析算子，Ø是一个正则器，鼓励框架分析系数的向量是稀疏的，并且??> 0是正则化参数。本文采用的Ø的典型选择是
为对角线，U与U*的乘积可用FFT计算。因此，每个应用程序(14)的领先成本(算法1的第4行)要么是与(15)相关的O(n log n)成本，要么是产品byP*的成本。对于图像恢复中使用的大多数紧凑帧，该产品具有快速O(n log n)算法。
调整λ以获得最高的重建图像信噪比。
A是循环的，C可以通过FFT有效地计算，如
在反转中解释了。
