物理互动游戏:一个回顾

文摘

最近工作classical-quantum游戏了。我们在博弈论条款相关的物理和物质之间的相互作用的单模腔内电磁场,引入游戏承认经典和量子的球员。战略是由初始条件确定的动力系统有关,其时间演化的特点是吸引子的存在,设置游戏的可能结果。两种类型的量子态被认为是;完全的或部分重叠的。

关键字

量子场,半经典理论

介绍

博弈论概念的扩展(1]量子世界2- - - - - -12最近关注的主题。量子游戏是有趣,因为古典博弈论(CGT)是一个很好理解学科(许多应用在经济、心理学和生物学(13,14])。因此,量化提供了有益的见解。许多物理问题可以视为游戏。例子是量子密码学,轻易之间扮演一个游戏人希望沟通和那些想要窃听(2]。一个感兴趣的领域,量子克隆,被重塑的物理学家玩游戏违背自然(3]。最重要的是,测量过程本身可能是认为的方式。迈耶(5)指出,算法设计之间的量子计算机可以被视为游戏经典和量子代理。其他游戏表达的量子计算机及其操作符。如上所述,本杰明和海登7),在此背景下,很自然的寻求统一的游戏理论和量子力学”。

我们将用博弈论的基本概念(GT)在量子理论的说法,这也可以认为是一种解释GT-terms的物理过程。我们将关注半经典,有着悠久的历史。

量子力学半经典近似构成不可或缺的工具。即使目前的计算机技术,精确数值解薛定谔方程难以实现在大多数情况下,主要存在的问题有几个自由度。此外,半经典近似促进一个直观的理解通常隐藏在强力薛定谔方程的数值解。半经典领域不断发展。仍然存在许多开放近似的数学方面的问题,以及在寻找新方法应用到物理系统(15,16]。

图片我们已经记住了11]:一个开放量子系统对应于一个生物物理哈密顿被认为是量子的游戏,虽然我们的主题是非常不同的。我们认为半经典系统的演化过程相关的游戏和随之而来的转录的策略涉及球员寻找方法来优化他们的机会。

科瓦尔斯基的研究和Plastino [17)我们曾半开玩笑地设想在博弈论的说法表达物理模型通过考虑和物质之间的相互作用的单模电磁场。相关的游戏承认经典和量子球员和策略都是由相关的动力系统的初始条件。更具体地说,从科瓦尔斯基的研究和Plastino [17迈耶的方式我们认为州(5]关于量子硬币。相反,从科瓦尔斯基的研究和Plastino [18)我们看了相同的物理场景,但是限制自己正交初始状态,这就等于说他们是可区分的。值得一提的是这已经仅仅是技术细节深刻地修改了整个画面。

基本概念

在游戏中我们处理

•有限的一组N球员+一组纯策略si (i = 1、2…N)对这些球员可用。

•纯策略提供一个完整的定义的一个球员。特别是,他们确定任何情况下的移动一个球员会让她的脸。

•一组每个组合的回报策略。回报是数字代表——对球员的动机。回报可能代表利润、数量、工具或其它连续的措施(红衣主教的回报),或者可能只是排名结果的意愿(序数的回报)。在所有情况下,回报的动机必须反映特定的球员。

游戏也承认混合策略的概率分配给每个可用的纯策略组合。如果s_我={年代_i1,年代…_本土知识},一个混合策略的球员我是一个概率分布p_我= (p_i1,…_本土知识),p_i1+ . .+ p_本土知识= 1。回报π在这里被平均回报< P >。

纳什均衡

假设理论使每个玩家会选择独特的预测策略。为了这种预测是正确的,它是必要的,每个玩家愿意选择策略的预测理论。因此,每个玩家的策略必须预测球员最好的响应预测策略的其他玩家。这种预测可能被称为战略稳定,因为她没有一个球员想要偏离预测策略。这种情况被称为纳什均衡。混合策略(p *₁…p *_N)达到纳什均衡,如果每个球员,π是我最好的球员反应的混合策略为n - 1指定剩下的球员,(p *₁…p *_张;p *_{我+ 1},……,p *_N)。因此,

(1)

每一个可行的策略_我

在量子场预期回报计算通过密度矩阵ρ,现在

Tr(ρP_我),

P_我站在一个方便的“回报”运营商关联到每个玩家(量子和经典)和混合密度矩阵

在哪里我们将称之为“古典”这些球员选择概率pj(混合策略)。“量子球员”,相反,选择量子态| Qj >作为他们的策略。

玩家不需要人类。他们基本上是集de策略和回报。我们的兴趣在于铸造身体问题在博弈论的条款。特别是,我们的重点是下面描述。

两层系统

现在我们考虑下面的两级玻色子哈密顿(19,20.]。

(4)

代表物质相互作用的单模腔内电磁场。一个人和,人口运营商对应级别1和2,分别,我们假设E₂> E₁。在这里,一个₁和一个₂,一个₂的产生和湮灭算符的玻色子水平1和2,分别。被视为经典,电磁场是由变量(古典)X和PX (X共轭动量)[21,22]。

量子变量相关的动力学方程是典型的(19,23),即

(5)

此外,古典变量服从耗散方程。我们组(19,20.]

(6)

(6 b)

这里的能量是为了配合量子哈密顿的期望值。因此,经典运动方程使用这里定义的一个(20.]。在一组人口 , 我们 引入 了 差分 算子 ΔN, 和 应用 (5) 得到 ( =1) 以下 Bloch-like 方程

(7)

(7 b)

(7)

与。中值表示一个向量和“当前”的期望值是量子因素交互作用的潜力。我们获得的古典变量

(8)

(8 b)

每一层的人口,和时尚,可以得到:

(9)

(9 b)

在哪里n粒子的总数,当n = n₁+ N₂是一个系统的motion-invariant。我们还可以定义我的Bloch-like数量_B作为

(10)

这也是一个不变的运动。

物理问题的游戏

方程(6 b)保证吸引子的存在19,20.]。这样的事实让我们想到一个游戏的结果是通信端点的轨迹,最终达到其中一个吸引子。赌注放在吸引子将“获胜”。假设一个球员意识到潜在的动力过程的细节,即。,they are cognizant of (4). Thus, the only freedom of choice refers to the initial conditions for the system given by (7) and (8). A pivotal role is then played by the initial version of the density matrix given by Equation (3).

我们面临这一场完整的信息。每一个球员都知道所有可能的策略和回报。这些策略和回报可以指定规则,每个不同的规则集导致一个不同的游戏,他们同样的哈密顿。在文献中量子球员利用量子位和古典的比特(4,5,7]。特别是,迈耶(5]认为密度矩阵的类型(3)。移动反映量子策略由单一运营商和经典策略的混合字符。预期回报通过密度矩阵计算使用表达式(2)(3)。执行必要的计算流动的位置相关的初始值,如下详细在教派。IV。

我们认为五维空间所决定的。固定的点或平衡点(由子标记指数f)的非线性方程组可以分为A或B型,分别根据是否

x值消失。使用不变的IB我们获得19,20.]。

类型一:

(11)

(b) 11日

(11 c)

(d) 11日

(e) 11日

如果

(12)

(12 b)

(12 c)

(12 d)

(12 e)

学习这些不动点的稳定性,我们可以确定这些类型的一个稳定19,20.),而只有当B型的稳定在一起。稳定的不动点是唯一的系统的吸引子(看到)的详细调查19]。stability-instance,最后总体分布是发起通量从上层到下层,独立的初始条件,H-parameters的值。相反,不稳定的解决方案,用户体验到上层,但要实现这一目标,我们需要在初始时间系统必须是已经发现的不动点,当然,仍然是永远。

B型点量子能量最小化以及总能量。相反,仅供输入总能量最小化,允许量子能量部分是增加与否,取决于初始条件和parametervalues。这一事实允许的最后boson-number上层大于最初的一个,即

(13)

这可能发生

(14)

与ΔN (0) < 0。

预期的回报

(13)的基础上我们的溪谷游戏两个选项和两名球员:每个级别的数量增加或减少,与以下预期成果:

(15)

(15)

可以改写形式(2)(20.)使用(9)

(16)

所以我们面临一场零和游戏,其物理与boson-number保护。从今以后我们需要x的注意力只在P₂。根据稳定点字符(A或B)

输入一个

(17)

如果当然,,如果验证(14)

B型

(18)

如果在过去的情况下,我们总是有。当然,我们的话,

如果最初在任何定点系统,包括那些不稳定的B型,它仍将存在P1和P2 = = 0。同时,validity-ranges和回报不依赖于经典的变量的值X和P_X。我们进行下一个决定,初始条件的系统最终在一个或另两个流动。

初始条件的作用

密度矩阵(3)可能代表一个游戏我)由古典的球员如果我们保持固定| Q_j>状态),(二)之间的量子球员如果p₁= 1,其余pj消失,和3)经典和量子的球员。如果有几个球员,概率p_j表示为产品(概率)和美国|问_j>作为量子态的张量的产品。

我们现在专业(3)的两个levels-system (Cf Eq。4)。我们认为的演示实例古典C-player和量子q1玩两种不同的策略:一个混合一个球员球员问:C和量子策略矩阵(3)表达情况C-players概率p的支持_j(o拒绝概率1 p_j)|问_j>策略。

对于这个场景,迈耶的方法(5]关于量子硬币是应用于17在梅尔的设置;一枚硬币会放置在一个盒子,最初单挑。硬币是操纵在三个由两名球员(备用)的场合。通过C只有一次。Q-player获胜,如果硬币是正面,当x是开放给所有人看的。C支持Q的策略的概率p \离开硬币没有“硬币和1 p \扭转状态”(5]。上述设置略广义(17),如下:让一般的初始状态

(19)

与我>,向量| n代表州n玻色子下楼,我在上层粒子。他们在相关Fock-space构成基础。如果Q选择策略(19),另一种策略是由一组向量

(20)

与π_j运营商,作用于|问>,我产生所有可能的排列,产生(n + 1) !这些操作符可以写成量子策略与e_lm“元素”运营商交换α_l与α_米。我们领导

(21)

与。在这里、身份置换(| Q1 > = |问>)。方程式。(19)和(20),量子策略由量子位n = 1(如[5]),qutrits n = 2,由qunit,总的来说,如果我们处理n玻色子。问和C知道她的竞争对手。虽然游戏可能的顺序或同时自然,它是更自然的认为这是顺序,Q-player制作的第一步。(21)的矩阵形式,用矩阵的版本的运营商πj,读取

(22)

在哪里对应于纯粹的运营商矩阵反过来可以赶在时尚吗即。,我n terms of the elemental matrices出现的交换行l和m的单位矩阵。经典的策略(在)由的选择,以及隐含的操作矩阵。美国(20)不区分,所以。我们下一个one-boson引入游戏,包括区分,即。,正交状态和重叠的。

一个玻色子游戏

让我们详细讨论的n =第一次Q-player c1,因为这已经是足够的,将会看到。密度算符是

(23)

与p1 + p2 = 1。Q1 >——| | >是n = 1-qubit-states (20) (17)

(24)

(24 b)

在哪里我们已经α₀yα₁是真实的,不失一般性。| 1 0 >代表我们的粒子被楼下,反之亦然| 0,1 >。如果我们希望我们的主角是正交状态(18]

(25)

(25 b)

在哪里(再一次,我们已经α₀yα₁是真实的)。因此,这里的密度矩阵采用外观(18]

(26)

的符号对应的州(24)和(25),分别。

我们假设现在C-player把他押注的高层将会增加人口t→∞。这是先天的,un-likeliest选择。随后的回报将P2。P2 > 0 p < 0 C-player获胜,反之亦然。使用(26)我们发现,关联到定点的类型(A或B)审查,相关成果(见(17)- (18)。得到的州(24):

输入一个

(27)

如果

B型

(28)

如果。。在这种情况下,我不变_B读取

(29)

现在,如果我们不考虑正交状态(25),我们发现

输入一个

(30)

如果或

B型

(31)

如果。这里IB = | 2 p1-1 |

为了获得直观的理解,我们需要考虑游戏的版本只使用纯策略(1]。第一个玩家押注两个层次,一个地方一个粒子。第三方(裁判)问第二个球员(他忽略了之前选择了)她是否希望改变或支持她的伴侣的选择。之后,系统的发展和最终的两个层次。如果第一个玩家押注1级,他的回报将是1,1或0根据玻色子是否下降,上升,或留在原来的地方。因为策略(混合的)可以使用bettingprobabilities之后,这些导致一个适当的预期收益1]。现在,如果第一个玩家遵循Q-strategy, n = 1实例中的这一战略由量子位表示我们导致预期收益计算根据(2)导致(27)或(28)。

一些有趣的结果

一些结果关于刚才讨论的问题进行了说明图1和图2。我们选择为独立参数和p₁。因为我们希望存在的两种类型的固定n = 1点,一个需求。我们设置。

在图1我们为美国(24)显示结果。区域对应于每种类型的定点(A和B)由曲线(固体),IB (29)。区域的Q-player要么赢或输也well-delimited [24,25]。偿付

P2给出方程(27)或(28),分别为A或B类型。虚线是在这种情况下“分离器”,被给出了

(32)

一个被设置P s₂(27)= 0。

杰出的重要性是一个独特的纳什均衡的存在点关于古典/局量子的最佳反应:p₁= 1/2,分别为(N)。这一结果模仿了一个发现经典迈耶的游戏“一分钱翻”(5),后两轮。等概率的C-player押注在Q-strategy和它的反面。同时,Q-player的战略(不知道c1)押注均匀放置两个替代选择的粒子,或在楼下26]。

在图2我们显示结果对应于州(25)。区域中对应点的类型A和B是由实线代表曲线和,分别。区域对应的区域C-player要么赢或输由虚线(p = 0),由情商,(32)图1。虚线p₁= 1/2也对应于P₂= 0。回报P₂给出了情商。(30)或(31),分别为A或B类型。第二个情节比这更简单的了图1(27- - - - - -29日]。

值得一提的是,连续的纳什点出现现在最好的古典响应p1 = 1/2和最好的量子对应的反应,分别。

在图1和2,该地区相应的P₂小于,P > 0₂< 0,但第一个增长(在这两种情况下)也减少。同样当考虑区域类型(30.]。如果一个发现,两种状态(24)和(25),所代表的情况图3。平等的区域分配区域(P₂P < 0和₂> 0)。在这里我们只遇到一个固定的点类型和一个纳什平衡点在p₁= 1/2,州(24)和(25)的。这是一个非常奇特的实例,要么ω= 0,一个极端情况现场展品的一个自由粒子动力学、γ→∞(非常“大”耦合)(31日,32]。

我们也验证(见图1和2),以这样一种方式相对应的策略选择p1

保证q-player会赢,独立于经典策略区分和un-distinguishable量子态。此外,如果p1 = 1/2,这适用于任何选择的参数的值。这种“幸福”C-player情况不存在,无论它的战略选择是什么(33- - - - - -35]。

总结

我们的目标是,翻译方面的非线性动力学问题转化为游戏的语言理论,希望能得到一定的启示。事实上,我们表达了半经典哈密顿(4)的物理学方面的博弈理论(17]。这个模型代表了物质和之间的交互的单模腔内电磁场。interaction-role表示为一个游戏在经典和量子球员赌初始条件。相关的动力学,通过物理系统的吸引子,是用游戏的回报的17]。在现在的环境下boson-number保护的伪装是一个零和游戏,一个结果,可以广义的汉密尔顿(4)。

人类没有实际需要玩我们的游戏。(3)给出的任何矩阵密度的混合策略有关,反过来,意味着一个古典的球员。同样,任何状态(3)量子策略相关联,从而一个量子的球员。初始状态起着至关重要的作用,因为他们代表我们量子玩家的策略。这里我们有处理初始状态的类型(24)17后),迈耶的方法(5),或与正交状态由(25)18),该帐户上的。

惊人的见解后发生相关结果的比较,指出在前面的部分。我们注意到连续的纳什的存在点正交初始状态而不是单一纳什点相连的部分重叠的初始状态。

请注意,我们的游戏并不是一个纯粹的抽象。因为它代表一个物理交互,我们能说\真实”游戏(至于物理模型可以被认为是真实的)。在这种情况下,任何实验者可以看作是一个古典的球员。

确认

作者希望感谢a Plastino IFLP,前沿空中管制官。de Ciencias正序连赢,阿根廷拉普拉塔国立大学。

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