证明了代数一般五次方程的解决方案,被忽视的维度Abel-Ruffini定理

文摘

我证明一般五次方程可解的激进分子。溶解度在激进分子松散用于意味着五次方程的根的形式虽然可能有情况下公式方程可能导致理性的根。我重新审视Abel-Ruffini定理的伽罗瓦理论为了突出一些途径的可能性和漏洞不彻底到达定理。我表明,一般五次方程可以解决的伽罗瓦群。证据的可解性自由基可以归结为计算一般五次方程的伽罗瓦群和显示,这是可以解决的。由于S5五次方程的伽罗瓦群数量我将展示并证明用于构造是代数决定性的事实。在证明的过程中我将得到所有一般五次方程的根。这样做我证明Abel-Ruffini的不完全性定理和伽罗瓦理论。在试图证明一般五次激进分子的可解性,一个很重要的原则是发现管理解决方案的多项式方程

关键字

代数解决方案一般五次方程;一般Abel-Ruffini定理

介绍

文献综述和前进的方向

几个世纪数学家试图找到一个方法解决一般五次方程的但在他们所有的努力没有成功。第一个数学家宣称不可能五次方程的代数解是保罗罗菲尼在1799年。鲁菲尼氏证明没有获得普遍接受,因为有一个缺口在他的证据。1824年尼尔斯·亨瑞克亚伯提出了一个被接受的证明。后来Evariste伽罗瓦提出了一个理论做了一个标准下,自由基的方程可以解决的。伽罗瓦州的定理,F (x) = 0解决在激进分子当且仅当G_F可解群。

在这篇文章中我将尝试提供一个一般的五次方程的可解性的证据。这个证明的最终结果可以用来获得解决多项式方程的程度大于5。我将探索的可能性,提出一个代数方程的解决方案使用的扩展。

方法

方法

我将尝试提供一个五次多项式方程的可解性的证据。在这里我假设一个字段0 k的特征。考虑一些数量的年代₁,年代₂……。s₅用代数方法独立/ k。

设置(1)

和定义

(2)

如果存在在K的一个扩展字段,然后分裂场S F (x) / K是由(3)

我们注意到上面的定义年代_我的基本对称的功能吗x_我这样:

(4)

(5)

(6)

每一排列x_我诱发的自同构年代不会改变现代代数K . S / K是伽罗瓦扩张伽罗瓦群同构年代₅

阿贝尔定理断言学位的一般方程n / k, n是不可以解决的激进分子n≥5。

这里我假设在激进的可解性松散可解性根形式虽然可能有很多情况下根可能退化有理数。

insolvability是对于的断言n≥5 s / k不能有一个激进的塔。

在一封给Crelle日期为18^th1828年10月亚伯说,“如果每三根的一个不可约'度方程与另一个以这样一种方式,其中一个可能在另外两个方面,理性表达的方程可解的激进分子。

亚伯的评论被伽罗瓦,类似于一个介词,“为了一个不可约'度方程可解的激进分子是必要且充分的,一旦任何两根是已知的,其他人可以从他们理性地推断出1]。

如果在扩展字段K存在以下持有:

(7)

(8)

这种创新的整个本质步骤是将根分成两组根加强简单的可解性。第一组G₁有三根和第二组G₂有两个根

这是方程3也可以书面形式:

(9)

带(2]和Jerrard [3)表明,一般五次方程2可以减少到一个简单的表格,两个参数,即:

(10)

符合Bring-Jerrard形式方程9(9)可以写在下面的表格中,看到4]

(11)

这种形式:(12)

(13)

(14)

用方程11到12和简化:

我们得到方程:

(15)

(16)

如果我们把(17)

然后(18)

从9和11

(19)

用14到19和简化:

(20)

从14:

(21)

用21为20和简化:

(22)

用22回21:

(23)

代替x₂,x₄和x₅到6

(24)

用23到24和简化我们得到方程:

(25)

(26)

(27)

然后

(28)

方程11被简化为表单Bring-Jerrard形式的数量,b和e表示为的函数p和q,明白了

(29)

(30)

(31)

确认上面的根获得的真实性可以代替13和19进6,我们获得以下结果:

(32)

这就是预期的结果为Bring-Jerrard五次。

F (x) = 0是可以解决的,如果它有一个可解的伽罗瓦群,女朋友。五次方程的伽罗瓦群=₅。

32以上结果证实了五次方程的可解性自由基。

一些重要的观测和应用程序

我们不是在这个分析一个非常值得注意的原则学位五多项式如果产品三根=产品的其他两个根是e。这个观察可以扩展。如果这个观察是扩展到三次方程和伽罗瓦群‘•₃,如果产品的两根说其中一根是e。这个观察是非常真实的,但很多应用程序。

例如考虑三次方程(33)

如果它被指示为根x₁,x₂,x₃(34)

如果(35)

然后(36)

从34和35我们注意

(37)

(38)

在一般多项式n次数如果根分为三组,这样产品的三组的根说G₁G₂G₃然后下面的连接可以用来联系:

(39)

(40)

(41)

在哪里年代_n= G₁G₂G₃连接组和α是一个参数。在组织理论年代_n是一个代数方程的伽罗瓦群度n。

伽罗瓦连接的链式法则之上可以扩展到任意数量的选择组的根源。这些连接的重要性是建立在33到37根之间的关系。这些连接的重要性在建立多项式公式更高程度的其他因素。

结论

一般五次方程可解的激进分子。亚伯的建设不可能定理是不完整的它省略了几个获得彻底解决方案领域扩展的可能性。伽罗瓦理论没有提供前进提供通解学位五多项式及以上但它可以修改考虑更高程度的代数方程的可解性。

引用

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