一般五次方程代数解的证明，Abel-Ruffini定理中忽略维数

摘要

我证明一般五次方程可以用基来解。在这里，可解性在自由基中被松散地用于表示五次方程的根形式，即使可能存在情况下这个方程的公式可以得到有理根。本文结合伽罗瓦理论重新审视了Abel-Ruffini定理，以指出在得出该定理时尚未充分挖掘的一些途径、可能性和漏洞。证明了一般五次方程有一个可解的伽罗瓦群。根号可解性的证明可归结为计算一般五次方程的伽罗瓦群，并证明它是可解的。由于S5是五次方程的伽罗瓦群，我将证明用来构造它的量实际上是代数确定的。在证明的过程中，我将推导出一般五次方程的所有根。在此过程中，我证明了阿贝尔-鲁菲尼定理和伽罗瓦理论的不完备性。在证明一般五次基的可解性的过程中，发现了多项式方程解的一个重要原理

关键字

代数解一般五次方程;一般Abel-Ruffini定理

介绍

文献综述及展望

几个世纪以来，数学家们一直试图找到一种解一般五次方程的方法，但他们努力都没有成功。第一个声称五次方程代数解不可能的数学家是1799年的保罗·鲁菲尼。鲁菲尼的证明并没有得到普遍的接受，因为他的证明有一个缺口。1824年，尼尔斯·亨里克·阿贝尔提出了一个被接受的证明。后来，埃瓦里斯特·伽罗瓦提出了一个理论，它给出了一个标准，在这个标准下，一个方程可以用原子团解。伽罗瓦定理指出，F(x)=0在原子团中是可解的当且仅当G_F是一个可解的群。

在本文中，我将尝试给出一般五次方程可解性的一个证明。证明的最终结果可用于求得大于5次多项式方程的解。我将探讨用这个方程的扩展得到代数解的可能性。

方法

方法

我将尝试给出一个五次多项式方程可解性的证明。这里我假设一个特征为0的场k。考虑一些量S₁,年代₂……年代₅代数上与k无关。

设置（1)

和定义

(2)

如果存在的话，则F(x) / K的分裂场S由(3)

根据上述定义，我们注意到年代_我的初等对称函数吗x_我这样:

(4)

(5)

(6)

每一个排列x_我在现代代数中，S/K是与伽罗瓦群同构的伽罗瓦扩展年代₅

阿贝尔定理指出，对于n / k次的一般方程，n是不可解的n≥5。

在这里，我将假设根式的可解性和松散的根式的可解性，尽管根式可能有很多情况下其中一个根可以退化为有理数。

不可解性的断言是n≥5,s/k不能有自由基塔。

在18年写给克里尔的信中^th1828年10月，阿贝尔指出:“如果一个不可约质数方程的每三个根之间都有某种联系，以至于其中一个根可以用另外两个根合理地表示，那么这个方程就可以用根号来解。”

阿贝尔的评论类似于伽罗瓦的一个介词，即“为了使一个不可约的质数方程可以用根号来解，有必要且充分的是，一旦已知其中任何一个根，就可以从它们合理地推导出其他的根[1］．

如果在扩展字段K那么存在以下情况:

(7)

(8)

这一创新步骤的本质是将根分为两组，以提高求解的便利性。第一组G₁有三个根，第二个基团G₂有两个根

即方程3也可以写成这样:

(9)

带(2]和Jerrard [3.]显示一般五次方程2可以简化为有两个参数的形式，即:

(10)

为了使方程9符合Bring-Jerrard形式(9)，它可以写成下面的形式，见[4]

(11)

在这种形式下:(12)

(13)

(14)

将式11代入12化简:

得到式:

(15)

(16)

如果我们取(17)

然后(18)

从9点到11点

(19)

将14代入19并化简:

(20)

从14:

(21)

将21代入20并化简:

(22)

把22代回21:

(23)

代替x₂, x₄和x₅到6

(24)

将23代入24并化简得到:

(25)

(26)

(27)

然后

(28)

将方程11化简为布林-杰拉德式，则量a、b和e表示为p和q的函数，见

(29)

(30）

(31)

为了确认上述根的真实性，我们可以将13和19代入6，得到如下结果:

(32)

这正是Bring-Jerrard五次的预期结果。

F(x) = 0是可解的如果它有一个可解的伽罗瓦群GF。五次方程的伽罗瓦群等于S₅．

结果32证实了五次方程在基中的可解性。

一些重要的观察和应用

在这个分析中，对于一个五次多项式，如果三根之积等于那么其他两个根的乘积是e。这个观察结果可以推广到一般情况。如果将这一观察结果推广到伽罗瓦群的三次方程Ã【Â】_3.如果两个根的乘积是那么其中一个根是e。这个观察是平凡的真理，但有很多应用。

例如考虑三次方程(33)

如果它的根表示为x₁, x₂, x_3.(34)

如果(35)

然后(36)

在34和35中我们注意到

(37)

(38)

一般来说，对于n次多项式如果根被分成三组那么三组的根的乘积就是G₁G₂G_3.那么可以使用下面的连接将它们联系起来:

(39)

(40)

(41)

在哪里年代_n= G₁G₂G_3.α是连接基团的参数。在群论中年代_n为n次代数方程的伽罗瓦群。

上述伽罗瓦连接的链式法则可以扩展到任意数量的选定根组。这些连接的重要性在于建立根之间的关系，如33至37所示。这些联系在建立高次多项式公式时是很重要的，但要考虑其他因素。

结论

一般的五次方程可以用基来解。阿贝尔不可能定理的构造是不完整的，因为它省略了由场扩展得到根式解的几种可能性。伽罗瓦理论并没有为五次及以上多项式提供一个通解，但它可以被修改，以考虑到高次代数方程的可解性。

参考文献

1. 迈克尔IR . .Niels Hendrik Abel和五次方程。吴晓明。2001;(2):366 - 366。
2. ES。Meletemata Quaedam mathematica circa transformation Aequationum Algebraicarum, Lund。数学．1864年,6点45。
3. Jerrard GB。LXIV。解任意程度方程的可能性。哲学杂志系列。1852;43:457-460。
4. BuyaSB。Bring-Jerrard五次方程，它的代数解转化为可解的因式分解形式。应用科学学报。2017;1:17-20。
5. Tignol JP)。伽罗瓦的代数方程理论。世界科学出版有限公司，2015。
6. 一个…»oA…‚„…dek, H。Abel-Ruffini定理的拓扑证明。非线性分析中的拓扑方法。2000;16:253-265。