表示一个完整的变换半群在一个有限的领域

文摘

在本文中,我们讨论一个完整的变换半群的表示在一个有限的领域。此外,我们观察到的一些性质完全变换半群的不可约性表示和讨论的线性表示zero-adjoined完全变换半群。此外,我们描述一个完整的线性表示变换半群在有限域Fq (q是一个素数幂)Maschke定理。最后,我们观察到存在完整的矩阵代数之间的同构(Fq) m和所有线性变换的空间L (Fq m)的m维向量空间Fq m

关键字

半群的转换;半群的表示;有限域

介绍

Serre给了一个全面的线性有限群表示理论(1]。组中获得理论,简单的FG−模块的数量等于共轭性类的数目的G组,域F的特点不分裂的G .很多工作完成的分类组的表示和描述。

克利福德,半群是独一无二的每个元素由一个矩阵表示的字段和一个完整的分类给出了半群的一个特定的类(2- - - - - -4]。此外,半群的不可约表示在一个领域获得的基本扩展可伸长的半群的不可约表示的一个群体,也完全简单的半群的表示是建立在2- - - - - -4]。

斯托尔给了传递的特征表示,获得有限的传递表示简单的半群,看到5]。建设的所有表征的一种有限半群和一组同构群也获得。穆恩得到一套完整的不相等的半群的不可约表示的这些的基本组织的主要因素。他还介绍了半群的主要表征(6]。半群的表示半单代数的特点是(7,8]。有限半群的表示为相应的半群代数是半单也获得。一个明确的确定的不可约表示T_n是由于Hewit和扎克曼(9]。

之间存在一一对应的表示G组和半群S的非奇异的表示,保留了等价,减少和分解10]。

在一个有限半群的不可约表示的情况下,就可以避免分解并给出显式表达式的表示(11]。我们认为一个完整的变换半群T_n获得其组合性质对于不可约表示。存在一个非零线性变换满足某些特定条件定理7.3。

是观察到的基础的向量空间之间,有一个自然一一对应(一个完整的变换半群的交单在一个有限域Fq和代数Fq [)保存,等价,减少和分解为不可约的选民。

因此,我们重新诠释Maskhe定理(12]关于代数Fq [即。,the algebra Fq[)是半单当且仅当Fq不分裂的特点完整的订单mm变换半群。

完整的代表性trasformation半群在第八章讨论了有限域上,特别是Maschke定理是重申semisimplicity的半群代数Fq [),见定理8.1最后,线性代数结果关于完整的矩阵代数之间的同构(Fq)_米和空间的线性变换在F_问^米在定理8.2中给出。

预赛

定义

一个变换半群是一组映射到的集合本身就是构成函数的操作下封闭。如果它包括身份映射,那么这是一个独异点。它被称为转换独异点。

如果(X, S)是一种变换半群X可以制成半群S的行动通过评估,X。s = x = y s年代,x, yX的独异点行动年代X,如果S变换独异点。

休伊特和Zuckerman给治疗变换半群的不可约表示的一组有限的基数[8]。的结果的情况下有限半群S与F [S]半单是由穆恩(13]。

完整的还原能力和适当的扩展的一群的不可约表示的半群是基本的扩展。

定理2.2

完整的还原性持有的表征半群S / F当且仅当

完整的可约性适用于G / F的可伸长的交涉,和

唯一的适当扩展适当的表示G S基本扩展(14]。

M表示乘法半群的同态的年代(α,α)的矩阵(α是一个任意正整数),M (x)≠0 x美国如果集合{M (x): x}是不可约。,如果every (α,α) matrix is a linear combination of matrices M(x), then M is said to be an irreducible representation of S. The identity representation is the mapping that carries every x年代的单位矩阵。

完全变换半群

学习的想法T_n是由米勒(在口头交流)。获得半群的表示的问题不同于组织被Suskevic首先研究。克利福德给了建筑表现的一类半群与Tn紧密相连。Ponizovski指出的一些简单性质T_n。在目前的讨论中,我们涉及的不可约表示T_n其半群的代数L (T_n)。集合X的所有转换本身就是完整的变换半群的二元运算乘法的组合变换对称G组的模拟_X。让X_n= {1,2,3,…。,n} be a finite set and denote the semigroup TXn of all the self-maps of Xn into X_n。如果X的基数_n是n,表示Tn公司然后Tn是n的基数吗ⁿ(15]。

例子

集S = {e, a, x, y}是一个乘法半群。凯莱的年代的乘法表如下(16]。

如果映射是由然后ф嵌入年代。它还可以看到地图被定义为

和

嵌入年代

注意,y是一个右正则表示(S)的地方如上定义(ψ(e),ψ(a),ψ(x)ψ(y)TS)是这样,任何年代年代,我们有

所以ψ是一个年代的右正则表示。

正则变换半群的表示

让K表示的集合对零半群s的元素,当且仅当

对所有x K (i),和所有的a, b在年代,xa = xb意味着= b;

(2)如果αK的任何转换,那么存在一个这样的年代xαx = xaK。

一个元素的αT_X幂等当且仅当它是限于Xα时标识映射。假设X是一组基数n。然后,完整的变换半群T_X包含对称G组_X程度的n。则定义为α的r级。和元素的缺陷由n-r给出。如果b是一个元素T_X排名r < n,那么存在元素的γ和δT_Xg有秩r + 1,δn - 1级,和β=γδ(我们可以选择δ为幂等,从β和γ不同只有X)的一部分,用归纳法,每个元素T_X缺陷的k (k 1≤≤n - 1)可以表示为G的一个元素的乘积_X和k(幂等)缺陷的元素1,参见[17]。

如果αT_X缺陷1,那么其他的元素T_年代缺陷1可以表达形式λαμλ和μG_X。如果α是一个元素的T_年代缺陷1,那么< G_Xα> =T_年代。

让X = S半群,一个元素ρTS是正确翻译年代如果x (yρ)= (xy)ρ为所有x, y和λTX据说是左翻译年代如果(xλ)y = (xy)λ为任何x, y左边和右边翻译λ和ρ,分别被称为链接如果x (yl) = (xr)为所有x y; y 2 S。

请注意,λ_一个λ=λ_aλ和ρaρ=ρ_aρ,如果λ和ρ有关

让S = {e, f, g,α}是半群与操作”。“鉴于凯莱的表

凯莱的表

转换

离开翻译是不与任何权利翻译美国的我们回忆起以下关于半单代数命题。

命题

一个是半单代数是半单当且仅当一个模块。

定义

让年代与z。零元素简约半单代数F₀[S]的S /包含的基础是一个代数/ F这样情况是subsemigroup F₀[S]同构与美国半单代数也可以被视为一个简约的半群代数。

我们记得以下事实关于半单代数的表示。

引理

(一)让是一个代数领域F有有限的订单,并让是一个激进的。然后,每一个非空的不可约表示地图为0,所以它实际上是半单代数的表示/。

(b)让ф任何半单代数的忠实代表让P是一个n * n矩阵/τ,P是满秩的,如果且仅如果ф⁽ⁿ⁾(P)是非奇异[18]。

定理4.4

(6 Th。5.7)。线性变换的一个不可约代数是简单。

如果一个(F) n,那么一个向量空间的变换x→Ax V是线性变换τ的V, V,并映射→是一个代数同构(F) nl[T_V线性变换的诉一个同态ф成(F) n的表示程度的n / f .换句话说,每个元素x有一个n * n矩阵对应ф(x)等

ф(x + y) =ф(x) +ф(y);

ф(xy) =ф(x)ф(y);

ф(αx) =αф(x):

对于所有的x, yT_N和αF。

半群的不可约表示

让f是一个元素T_N。然后,f分裂集合{1,2,. .,n} into a number p of nonvoid disjoint subsets, each of the form {x:f(x)=a} for some a响了(f)。显然,f是由这些集和相应的决定。为非空的子集s {1,2,…, n},让*最小元素的年代。编写集{x: f (x) =}的顺序₁,年代₂. .,年代_p在*₁< *₂<…< s *_p象征,代表f

在1n类集的年代₁,年代…_p分解的{1,2,. .,n} of the kind described above, and a₁,一个₂,…_p是任何不同的整数1到n。表达式s1, . .,sp总是意味着分解{1,2,. .,n}为非空,不相交的子集和s *₁< *₂<…< s *_p。字母t和w将使用类似。也是一个₁,一个₂,……_p将意味着任何命令序列不同的从1到n的整数;字母c和d将使用类似。

对于p = 1, 2,…, n,让_p所有的元素的集合_N的范围只包含p元素,

对于一个固定的p。严格地说,_N取决于n和p。然而,只有一个n将在一次治疗的价值。一组_N显然是对称组S_n。一组_p1是一个与简单的乘法半群fg = f。没有其他的_p是subsemigroup_p。它将方便的半群_pU {z},乘法定义的

使用一个线性代数的结果,我们有以下公式有关的线性表示T_n。

定理5.1

让我成为一个不可约的线性表示T_n,让S = {f:fT_n和M (f) = 0},然后排名[M (T_n)]

证明

假设不可约M:线性表示T_n→L (T_n)上面给出。因为米是不可约表示的T_n。因此,使用导致,集合S无效

因为,

F是0的特征。

因为,

而且,

我们有

因此,

这就完成了证明。

让X = {X₁,x₂x、…_n}是一组基数n和S_n表示所有单值映射的集合X本身。我们有以下特征的地图_n到所有n * n矩阵D_n场F,见也。

定理5.2

让米:秒_n→D_n是一个地图定义为M (f) =_fD_n,因为f年代_n。然后,形成一个同态的年代_n到维_n。特别是,如果S_n半群S, M S∪成为表示{z}到D_n(z是一个零元素)。

证明

对于任意两个单值映射f和g S_n,产品成品也是一个单值映射,因此fg年代_n。

此外,由于特别是,如果我是X的身份映射,那么然后我们有;

因此,定义了一个同态的年代_n到维_n。

特别是,如果如果半群的地图从X到本身,我们可以定义一个诱导附加零半群的结构T_n,z是一个零元素,即。对于任何fT_n,我们有

诱导结构定义如下:

然后,同态M可以扩展到一个地图半群的被定义为

因此,

和

因此,成为一个年代表示。

用绿色表示线性变换半群的

关系

两件事可以与一个元素α相关联如下:

1。的范围Xαα,

2。分区如果xα= yα定义了一个等价关系在X。

让是X的自然映射的集合等价类的X国防部然后,成为一个一对一的映射Xα。由此可见,,这个基数被称为α的秩。

备注

[4]的Ex.2.2.6可以改写如下,

让F是一个字段和V是一个向量空间的维度dimV F .我们意味着V / F的基数的基础(V)乘法半群(即。,under the operation of composition of maps) of all linear transformations of V with each element t of L(V) we associate two subspaces of V that are given as follows:

1。范围,包括所有与x (x)τV和,

2。零空间N^τ的^τ,包括所有的y V这样(y)^τ= 0。

(一)让和W的子空间V,互补的零空间N_τ,所以V =τ

然后,τ诱发是非奇异矩阵。

因此,暗(V = N^τ)=暗(W) =暗(V_t);被称为t。区别或V模N的商空间^τ用v n^τ或者通过V / N(T_v)。如果dimV是有限的,这个符号的等级通常是一个矩阵A,因为VA是A的行空间也N_一个的正交补的列空间。

(b)两个元素的空间相等当且仅当它们有相同的范围(零空间)。(c)如果N和W的子空间V暗(V / N^τ)= dimW,那么至少存在一个元素ρ1τ,N = Nρ和W = Vρ。

(d)两个元素当且仅当等级

(e)适用于Th。2.9(v)代替T_X如果我们更换“X Y子集”到“V”的子空间W,T_v暗淡的W”分区T_vX”的“子空间N V”, X /Π暗(V / N)。

线性的表示一个完整的变换半群在一个有限的领域

定义

让V是一个向量空间的领域F (C)复数,让有限的子集V是一个基础,即。,dimV=n, let Tv denote the full transformation semigroup over V. The space(T_v)表示空间的线性变换诉如果(T_v)一个线性变换,然后,每一个:V→是由一个方阵(表示_ij)的n阶的系数_ij是复数i和j = 1,…, n和获得的吗

,可以认定为射相当于说侦破(a) =检波器(一个吗_ij)≠0。线性空间(T_年代)可以识别出完整的变换半群的半群的转换程度的n。

ф表示:S→(T_年代)是faithfull当且仅当ф是一对一的同态。程度的半群的表示ф年代,n / F,我们指的是年代到半群的同态(T_FⁿF)的线性变换ⁿ,在那里生成的向量空间是S /领域f .因此,每个元素的年代有对应一个线性变换这样

我们表示代数线性变换在n维向量空间Fn在领域F。很明显,出现的子空间

如果ф是一个年代的subsemigroup同构;然后фfaithfull。我们将确定的表示各种类型的有限域Fq有限半群。如果一个有限半群S,然后之间存在一一对应的表示和代数在有限域Fq。当然,这种通信保留边地,分解,因此完整的还原能力控制等典型的年代当且仅当是半单,如果问不把dimFⁿ_问= n, (F向量空间的维数ⁿ问一个有限域F_问。有一个充分必要条件有限半群S F_问[S]是半单。这样的组获得的显式表示。他们建造年代的不可约表示的主要因素完全变换半群的有限集合。

如果F是代数闭,没有分裂代数在除了F本身,在这种情况下Wedderbun第二定理告诉我们,每一个简单的代数∧/ F是同构程度的全部变换半群代数∧n对于一些正整数n。

在半群的同构∧∧∧表示,并给出了∧的不可约表示。让∧n / F的代数,并让ф表示程度的r / F, m是一个正整数。为每个元素ф^(m)的构造一个转换

这样

如果

然后

地图ф^(m)被称为L (Lm)的表示与∧ф表示。下面的引理是由于Van der Waerden近世代数。

引理

让D分裂代数,m是一个正整数。右正则表示ρD是一个不可约,唯一的不可约表示的简单的代数(D^米)是表示ρ(m)(D^米ρ)。

定理7.3

让∧σ(σ= 1,…,c)是简单的半单代数∧组件。通过Wedderburn第二定理,每个σ可能被视为一个完整的转换某种程度上米_σ在分裂代数(∧σ)。让ρ_σDσ和ρσ的正则表示^(mσ)的表示(∧σ)与ρσ然后ρσ有关^(mσ)是唯一ρσ的不可约表示。扩展(ρσ)^(mσ)的表示(∧σ)关联ρσ然后ρσ(mσ)是唯一ρσ的不可约表示。扩展(ρσ)^(mσ)来通过定义ф_σ(一)=(ρσ)^(mσ)(一)如果元素的独特的表达是∧的元素之和∧的基于“增大化现实”技术_r。然后{ф₁…,ф_c}是不相等的全套不可约表示的D_σ。如果dσ的顺序D_σ,然后ф的程度_σdσ.mσ。如果F是代数封闭,每个Ds减少F和我们可能认为L是直接的和完全变换半群代数∧F的不可约表示∧然后τ的预测在它的各种组件(参见Th.7.3 [4])。

定理7.4

让τ是一个线性算子∧与有限的秩序的一个代数∧领域F。

如果n > m,那么存在一个非零线性变换σ:∧ⁿ→∧^米这样τ_σ= 0。存在一个非空转换γ:∧ⁿ→∧^米(超过^γτ),这样γτ= 0,每m > n。

证明

让n > m与τ₂操作员在τ₂和τ₂一个线性变换从∧n−m∧n−m(τ₁)。假设τ₁剩下的除数为零(∧^米)。然后存在这样τ₁σ₁= 0。我们可能需要σ=(σ1,0)。因此我们可以假设τ₁不是离开了除数为零(∧^米)。由引理5.8,可以应用于代数(∧^米)),我们有代数τ₁包含一个离开单位元素我对τ₁一个双边逆ρ吗₁在τ₁我们可能需要在σ₂从∧是任何是非奇异线性变换吗^米在∧^米在代数∧。

然后,

自我的单位元素(∧^米)。

一个同样可以证明,如果m > n,那么存在一个非空变换

表示一个完整的变换半群在一个有限的领域

让θ是一些不可约多项式的根程度的m /一个有限域Fq(或伽罗瓦域GF (q)),然后集合{1,θ,θ²…,θ^{m - 1}}成为基础向量空间^米_问在F_问和被称为多项式的基础^米_问。向量空间的维数^米_问在F_问是m。这样一组

形成一个基础这样一个由向量(矢量表示₀,一个₁,一个₂,…_{m - 1}),让αq由平移向量(矢量表示_{m - 1},一个₀,一个₁,…_{m - 2})。正常的基础存在任何扩展F_问。

考虑到向量空间V = F_问^米在F_问(问在哪里'),让={θ,θ^问,θ^问…,θ^{问m - 1}}是一个依据诉让结核病成为完整的b T变换半群的基础= m^米。

自是一种元素的V = Fqm如上所述。然后元素可以定义为然后,在那里

也就是说,

这是明显的说。年代是一个完整的变换半群/ V *有双重基础V *然后存在映射这成为一个同构。

因为是一个有限的全部变换半群基于B有限域的V / F_问。因此F_问()成为一个代数在F_问。然后,之间有一个自然一一对应的表示在Fq和结核病保留了等价、减少和分解为不可约的选民。

这样的表示在F_问转移到代数吗如果是半单,然后由主表示定理[4]适用于半单代数吗每一个代表因此每一个结核病充满可约为不可约表示。

让F_问是一个有限域,F B是一个依据^米_问,(m, q) = 1。(即。,米,问一个re relatively prime).

然后,我们有以下的解释关于代数Maschke定理在有限域F_问。

定理8.1

让让S =是一个有限的完全变换半群的基础上的毫米的秩序。

然后,半群代数在F_问是半单当且仅当F的特征问_问不把订单mm完整变换半群的∧。

让∧成为一个代数的r / V = F的向量空间_问^米,让n是另一个正整数m。表示不同的∧所有神经网络矩阵的矩阵代数在∧,增加和矩阵的乘法,矩阵的乘法Fqm标量。然后,代数∧是rn秩序²在F_问^米。特别是,(F^问米)_n表示完整的矩阵代数的n / Fqm程度。

一个代数L F在一场被称为分裂代数如果∧/ 0是一组在乘法。结果之间的同构的存在一个完整的矩阵代数和空间的向量空间上的线性变换_问^米,如下。

定理8.2

让F_问^米在一个有限域F是一个向量空间_问。然后,有一个空间的同构完整的矩阵代数(F_问)_米的空间所有的线性变换在F_问^米。

证明

所有m−维向量空间的集合(1 m矩阵)/ F_问是一个m F−维向量空间_问^米在F_问。F的自然基础_问^米由m向量v₁=θ,v₂=θ^问,v₃=θ^第二季…,vm =θ^qm-11,vi标识元素的Fq i组件,0为剩余的组件。

如果一个(F_问)_米,那么变换t:是一个线性变换t F_问^米为自己和映射是一种同构的在代数线性变换的Fqm本身。第i行是向量

相反,如果F_问^米是任何m−维向量空间,我们选择一个基础{v₁,v₂v,…_米F的}_问^米,那么每个线性变换t F_问^米确定一个矩阵a =(α_ij)的表达式。

米的向量基向量的线性组合。然后,映射成为一个同构的

结论

一个组合的结果的排名全部变换半群的表示。似乎对任何单值的集合之间的同态映射和神经网络矩阵的集合在一个领域F成为表示当单值映射的集合是取而代之的是一个完整的变换半群与零元素附加z。有一个一对一的对应关系的集合表示形式之间的有限半群S和完整的变换半群的代数在有限维向量空间有限域。因此,我们观察到完整的矩阵代数(F之间的同构_问)^米和所有线性变换的集合_问^米是获得。

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