Non-overdamped二次Eigen-problems转变策略

文摘

在本文中,我们研究non-overdamped的属性二次特征问题。为non-overdamped我们不能应用变分特征提取问题。一个小区间的间隔中,我们可以应用变分描述负的特征值类型是已知的。在本文中,我们扩展这个子区间通过给更好的右边界变分特征区间。这是通过边界δ+低越来越大。新战略在我们加入适当选择双曲二次铅笔non-overdamped二次铅笔。变分特性的双曲eigenproblem我们获得更好的降低边界δ+。

关键字

二次Eigen-problem Non-overdamped,双曲二次Eigen-problem,Varitional表征、二次铅笔、瑞利功能,转变策略

介绍

二次提取问题在实践中有很大的应用。Tisseur和Meerbergen[中写道1关于这个应用程序。的理论基础知识二次提取问题给出了(2,3]。寻找特征值是变分的一个重要工具特性的非线性提取问题2,4,5]。二次提取问题是非线性的一种特殊情况提取问题,他们分为过阻尼和non-overdamped问题。Duffin [6]证明过阻尼的二次提取问题的所有特征值λ₁≤⋯≤λ_n和λ_{n + 1}≤λ_{n + 2}≤⋯≤λ_{2 n}功能的最大最小值p_{- - - - - -}和p₊分别和罗杰斯(7)广义有限维过阻尼情况下。

Kostić和Šikalo8)提出了改进现有的方法,确定一个二次铅笔问(λ是明确的。

non-overdamped二次问题往往会陷入更加困难广场特征问题,因为不能应用于变分描述完整。non-overdamped问题的变分特性可以应用实际问题是δ_{- - - - - -}和δ₊通常是未知的。

Kostić和沃斯(9)认为non-overdamped问题和给上界的δ_{- - - - - -}和δ的下界₊。他们应用西尔维斯特的惯性定律,在适当的时间间隔,本地化的参数。在本文中,我们考虑改善δ的下界₊Kostić和沃斯的论文(9]。我们加入适当选择双曲二次铅笔nonoverdamped二次铅笔。的双曲型二次eigenproblem是合适的,因为它是过阻尼和它我们可以应用变分特征。从双曲二次问题,我们也获得δ的一个下界₊。

在本文的第二部分,我们提供关于变分特性的基本条款。在第三节,我们给西尔维斯特的非线性惯性定律的基本知识提取的问题。在第四节中,我们解释了双曲提取铅笔和它的属性。第五节我们考虑non-overdamped问题和它们的属性。通过应用信息的考虑选择双曲铅笔6节中我们得到了一个更好的下界为δ₊我们应用西尔维斯特惯性定律。第七节我们给出一个结论和适应症进行进一步的研究。

变化的特征

寻找特征值的变分特性是非常重要的。在本文中,我们给出一个简短回顾变分特性的非线性提取问题。自从二次eigen-problems非线性特征值问题的一种特殊情况,结果非线性提取问题可以专门申请二次提取的问题。变分特性是众所周知的极大极小特征的概括线性提取问题。

我们认为非线性提取问题

T(λ)x = 0, (1)

在哪里是一个家庭的埃尔米特矩阵不断依赖参数λ∈J和J是一个真正的开区间可能是无界的。

这种类型的问题出现在阻尼振动的结构,保守的陀螺系统,横向屈曲问题,延迟参数问题,流体振动,量子点异性结构。

概括特征值的变分特性,我们需要一个泛化的瑞利商。为此我们假设

答:对于每一个固定真正的标量方程

f(λ;X): = X^HT(λ)X(2)

最多有一个解p (x)∈j .那么f(λ;x) = 0,隐式地定义了一个子集D⊂功能这被称为瑞利功能(1)。

答:对于每一个x每λ∈D和与λ∈J≠p (x)认为(λ−p (x)) f(λ;x) > 0。

如果是定义在D =\{0}然后问题(1)过阻尼,否则称为non-overdamped。

概括的极大极小和最大最小特征值的特征证明Duffin [6)为二次案例和罗杰斯(7一般的过阻尼问题。为non-overdamped Eigen-problems自然排序调用最小的提取第一个,第二个最小的第二个,等等,是不合适的。下一个定理是观点(2,4,5),提供更多信息下面的极大极小特征值的特征。

定理1:让我成为一个开区间,让埃尔米特矩阵的家庭持续依赖参数λ∈J,这样的条件(a和B是满意。然后下面的语句。

•每l∈N最多有一个l^th提取的T(可以以

(3)

•如果

对于一些然后λ_ι是那场^th提取的T (J), (3)。

•如果存在k^th和1^th提取λ_κ和λ_ι在J (k < l),那么包含J^th提取λ_jj (k≤≤l),和λ_k≤λ_j≤λ_l。

•让λ_l=正_x∈Dp (x)∈J和λ_l∈j .如果最低(3)获得l维子空间V, V⊃D∪{0},和(3)可以取代

λ是一个l^th提取当且仅当μ= 0的l^th提取的线性eigenproblem T(λ)x =μx。

•(3)的最低达到不变子空间的T(λ_l)对应于其l_th最大的特征值。

西尔维斯特的惯性定律

西尔维斯特´s惯性定律在非线性提取问题具有重要的作用。我们将brefly回顾西尔维斯特´s惯性定律。与这个目的我们定义埃尔米特矩阵的惯性т如下。

定义:埃尔米特矩阵的惯性т三个一组的非负整数(T) = n_pn_nn_z

其中n_pn_n和n_z的数量是积极的,消极的,т零特征值(计算多样性。

接下来,我们考虑一个案例,一个极端的提取包含在J。

定理2:假设T: J→^n×n满足条件的极大极小特征,让(n_pn_nn_z)的惯性T(σ)对于一些σ∈J。

如果然后非线性eigenproblem T(λ)X = 0完全np特征值在J小于σ。

如果吃晚饭_x∈Dp (X)∈J,非线性eigenproblem T(λ)X = 0 n_n特征值J超过σ。

双曲型二次铅笔

在这项研究中我们将考虑短暂双曲二次铅笔。双曲二次过阻尼的铅笔。更准确的二次矩阵多项式

问(λ):=λ²= A +λB + C^H> 0,B = B^HC = C^H(4)

为每个x∈双曲如果吗ⁿ,x≠0二次多项式。

F(λ;x): =λ²x^HAx +λx^HBx + x^H残雪= 0 (5)

它有两个不同的真正的根源:

(6)

方程(6)的泛函,瑞利的泛函,二次矩阵多项式方程(5)。瑞利泛函,是瑞利商的泛化。

范围是真正分离和maxJ间隔吗_{- - - - - -}< minJ₊。问(λ)是为λ< minJ正定_{- - - - - -}和λ> minJ₊,负定λε(maxJ_{- - - - - -},minJ₊)。

(Q, J₊)和(q, J_{- - - - - -})满足条件的变分特性的特征值,即存在2 n特征值(1]。

λ₁≤λ₂≤…≤_n<_{n + 1}≤…≤λ_{2 n}(7)

和

(8)

Non-overdamped二次铅笔

在这里,我们将考虑的一个特例non-overdamped提取问题。我们复习二次矩阵的铅笔

(9)

那么x≠0 f的两个复根(λ;x): = x^H问(λ)x作为在第四节

(11)

这些复杂的根源(10)和(11)有相应的所有特征值提取问题问(λ)x = 0。

特征值获得的积极的功能(10被称为特征值类型。特征值获得的负面的功能(11)被称为特征值类型。的特征向量x≠0有Q(λ)x = 0,因此f(λ;x): = x^H问(λ)x = 0。为正定矩阵A, B, C p₊(x)和p_{- - - - - -}(x)是真实的他们是消极的,因此所有的特征值是负的。让

如果f (;x) > 0 x≠0和λ∈问(λ)x = 0的特征值问题没有真正的特征值,但这并没有提前知道。

那么所有特征值在J_{- - - - - -}最小最大的p值吗_{- - - - - -}

所有特征值在J₊最大最小值p₊。

我们的问题是δ的可能性的存在₊<δ_{- - - - - -}。这样的情况了图1。

后图2是二次多项式的表示f(λ;一个)和f(λ;b),一个是提取的特征向量属于积极的λ= 5型和b是属于提取特征向量的负面类型λ= -4.3。

为σ<δ₊和<δσ_{- - - - - -}得到分割结果的频谱Q(定理)。2。如果在(Q(σ))= (n_pn_nn_z),然后存在n_n问(.)的特征值(-∞,σ)如果σ∈(δ- 0)还有n_n特征值(σ0)。然而,δ₊和δ_{- - - - - -}通常是未知的。Kostić和沃斯(4]证明了以下定理。这些定理是很重要的,因为它们给上界的δ_{- - - - - -}和δ的下界₊因此收益率个子区间(-∞,δ₊)和(δ_{- - - - - -}0),上面的切片适用。

定理3:让A, B, C∈^n×n是正定的,让p₊和p_{- - - - - -}被定义在(10)和(11)。是认为,

(12)

(13)

定理4:让A, B, C∈^n×n是正定的,

然后存在n_n特征值Q(λ)x = 0(-∞,σ)。

然后存在n_n特征值Q(λ)x = 0(σ0)。

转变策略

这里我们考虑non-overdamped铅笔(9)。这个过阻尼铅笔我们将加入相应的双曲二次铅笔。双曲二次铅笔适合我们,因为它是过阻尼∈这意味着每一个xⁿ,x≠0相应双曲二次铅笔有两种截然不同的现实根源。Duffin (6]证明了双曲二次eigenproblem满足条件的变分特性的特征值。

让提取的特征值问题是最大的提取提取问题Bx = Ax (x∈ⁿx≠0)。

(14)

是一个二次铅笔的地方

定理5:二次铅笔(14)是双曲线。

证明:这是一个明显的从二次铅笔,矩阵的定义,B和C -(λ_n(C) + A)一个是埃尔米特矩阵。

通过使用和> 0这意味着我们的铅笔是双曲线。

适当的功能为双曲铅笔(14):

(15)

(16)

范围是真正不相交的时间间隔

定理6:让然后对每一个的

(17)

证明:y∈C存在相反的假设ⁿ的的

(18)

即。

从这之后

(19)

如果

我们得到了一个矛盾。因为这我们

在平方(19)和编辑

(20)

现在我们有两种情况

从(20之前

它遵循

矛盾,所以定理6站。

从(20)

(21)

我们这里有两种情况

(21)

矛盾,所以定理6站。

(b) = 0.5.λ_n(C),我们这里有两种情况

从

(18)

(22)

(22)和遵循

所以,它遵循

通过使用从

这是矛盾,所以定理6站。(2)

从(20)

它遵循

这是矛盾,所以定理6站。

这样我们得到以下改善定理的定理7和8。

定理7:让A, B, C∈^n×n是正定的,让p₊和p_{- - - - - -}被定义在(10和11所示。是认为,

和

下一个示例说明了定理7我们得到一个更好的下界₊比定理3。

例子:二次铅笔

non-overdamped。这个二次铅笔有两个复杂特征值-0.5002 + 2.1794我-2.1794和-0.5002。

这个铅笔提取-类型的-6.1926和-0.807提取积极的类型。

相应的双曲铅笔

应用定理-2.2583 3我们得到下边界δ₊。通过应用定理-2.2027 7我们得到下边界δ₊。因为我们获得更大的下边界得到改善。

定理8:让A, B, C∈^n×n是正定,σ∈等(Q(σ))= (n_pn_nn_z)。

如果

在哪里然后存在n_n特征值Q(λ)x = 0(-∞,σ)。

如果

然后存在n_n特征值Q(λ)x = 0(σ0)。

结论

在本文中,我们考虑一种特殊类的二次提取问题,non-overdamped问题。nonoverdamped问题往往在实践中看到。虽然non-overdamped问题被认为在实践中,由于数学这个问题的困难他们不经常研究的主题。这是动机的更广泛的考虑。考虑过阻尼的问题是困难的,因为变分描述只有部分可以应用。因为这个在文学存在的上界δ+。我这篇文章中,我们认为改善δ的下界₊。我们介绍了全新的战略更好的决心下界δ+。这个策略是建立在方便的获取额外信息选择双曲提取问题。在进一步的研究我们将努力提高δ的上界_{- - - - - -}。

引用

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