非过阻尼二次型特征问题的移位策略

摘要

本文研究了非过阻尼的性质二次特征问题．对于非过阻尼特征值问题，我们不能完全应用变分刻画。区间的一个子区间是已知的，我们可以在其中对负类型的特征值应用变分表征。本文通过给出变分表征区间较好的右边界，对该子区间进行了扩展。这是通过让δ+的下界变大来实现的。我们将适当选择的双曲二次笔与非过阻尼二次笔连接起来，实际上看到了新的策略。由双曲本征问题的变分表征，我们得到了δ+较好的下界。

关键字

非过阻尼，二次特征问题，双曲二次特征问题，Varitional表征二次铅笔，瑞利函数，转变策略

简介

二次特征值问题在实际中有很大的应用价值。Tisseur和Meerbergen在[1关于这个申请。的理论基础知识对于二次型特征值问题，给出了[2，3.］．寻找特征值的一个重要工具是非线性特征值问题的变分表征[2，4，5］．二次型本征值问题是非线性本征值问题的一种特殊情况，它分为过阻尼问题和非过阻尼问题。Duffin [6]证明了对于过阻尼二次型本征值问题，所有本征值均为λ₁≤⋯≤λ_n和λ_{n + 1}≤λ_{n + 2}≤⋯≤λ_{2 n}函数p的最大最小值_-和p₊，以及罗杰斯[7将其推广到有限维过阻尼的情况。

科斯蒂克和Šikalo [8]提出了对现有方法的改进二次铅笔Q (λ是确定的。

由于变分表征不能完全应用于非过阻尼二次元问题，使其容易陷入较为困难的平方本征问题。非过阻尼问题的变分表征可以应用于实际的问题是δ_-和δ₊通常是不知道的。

科斯蒂克和沃斯在[9]考虑非过阻尼问题，并给出δ的上界_-δ的下界₊．他们应用西尔维斯特的惯性定律，在适当的时间间隔，为定位参数．本文讨论了δ下界的改进₊摘自kostiic和Voss的论文[9］．我们加入适当选择双曲二次铅笔到nonoverdamped二次铅笔。的双曲二次特征问题是合适的，因为它是过阻尼的，在它上面我们可以完全应用变分表征。由双曲二次问题，我们也得到了δ的下界₊．

在本文的第2节中，我们提供了关于变分表征的基本术语。在第三节中，我们给出非线性本征值问题的Sylvester惯性定律的基本知识。在第4节中，我们将解释双曲特征值铅笔及其性质。第五节讨论非过阻尼问题及其性质。通过应用从考虑所选双曲铅笔中获得的信息，我们在第6节中得到了δ的一个更好的下界₊然后应用西尔维斯特的惯性定律。在第7节中，我们给出了结论和进一步研究的指示。

变化的特征

变分表征对于寻找特征值很重要。本文简要回顾了非线性本征值问题的变分表征。由于二次本征问题是非线性本征值问题的一种特殊情况，因此非线性本征值问题的结果可以专门应用于二次本征值问题。变分刻画是线性本征值问题最小极大刻画的推广。

我们考虑非线性本征值问题

T (λ) x=0， (1)

在哪里是一个连续依赖于参数λ∈J的厄米矩阵族，J是一个可以是无界的实开区间。

这种类型的问题出现在结构的阻尼振动、保守陀螺系统、侧向屈曲问题、延迟论证问题、流体振动,量子网点异质结构。

为了推广特征值的变分特征，我们需要推广瑞利商。为此，我们假设

A.每个固定的标量实方程

f(λ;X): = X^HT(λ)X（2）

有最多一个解p(x)∈j，则f(λ;x) =0，隐式地在某个子集D上定义一个函数叫做瑞利功能(1)。

A.对于每一个x∈D，且λ≠p(x)的λ∈J，有(λ−p (x)) f (λ;X) > 0。

如果是定义在D=\{0}则问题(1)称为过阻尼，否则称为非过阻尼。

Duffin[证明了特征值的最小最大值的推广和最大最小值的刻画。6]，并由Rogers [7]用于一般过阻尼问题。对于非过阻尼的本征问题，将最小的本征值称为第一个，将第二小的本征值称为第二个，以此类推的自然顺序是不合适的。下一个定理是在[2，4，5]，它提供了更多关于特征值的最小最大值描述的信息。

定理1:设J是一个开放区间，让是连续依赖于参数λ∈J的厄米矩阵族，使得条件(a和(B)满足。那么下面的陈述是成立的。

•对于每一个l∈N，最多有一个l^thT的特征值(可以用

（3）

•如果

对于一些然后λ_ι是那场^thT(.)在J中的特征值，且(3)成立。

•如果存在k^th和1^th提取λ_κ和λ_ιin, J(kth提取λ_j(k≤j≤l)和λ_k≤λ_j≤λ_l．

•令λ_l=正_x∈Dp(x)∈J， λ_l∈j，如果l维子空间V满足(3)中的最小值，则V⊃D∪{0}，(3)可替换为

λ是一个l^th特征值当且仅当μ=0为l^th线性特征问题T(λ)x=μx的特征值。

•对于T(λ)的不变子空间，可获得(3)中的最小值_l)对应于l_th最大的特征值。

西尔维斯特惯性定律

Sylvester惯性定律在非线性本征值问题中具有重要的作用。我们将简要回顾一下西尔维斯特的惯性定律。为此目的，我们定义厄米矩阵的惯性，如下所示。

定义:厄米矩阵的惯性为非负整数In(T) =n的三元组_pn_nn_z

其中n_pn_n和n_z的正、负、零特征值的数量。

接下来我们考虑一个极端特征值的情况包含在J中。

定理2:假设T: J→^n×n满足最小最大值刻画的条件，令(n_pn_nn_z)为某σ∈J时T(σ)的惯性。

如果则非线性特征问题T(λ)X=0恰好有np个特征值在J中小于σ。

如果吃晚饭_x∈Dp(X)∈J，则非线性特征问题T(λ)X=0恰好有n_n特征值J超过σ。

双曲二次铅笔

在本研究中，我们将简要地考虑一个双曲二次元铅笔。双曲二次笔是过阻尼的。更准确地说是二次矩阵多项式

问(λ):=λ²+λB + C, A =^H> 0, B = B^HC = C^H（4）

对于每一个x∈，它是双曲的吗ⁿ， x≠0为二次多项式。

F(λ;x):= λ²x^HAx + λx^HBx + x^HCx =0 (5)

它有两个不同的实根:

(6）

式(6)中的泛函是二次矩阵多项式(式5)的瑞利泛函，瑞利泛函是瑞利商的推广。

范围是与maxJ不相交的实区间_-< minJ₊．Q(λ)是λ-和λ> minJ₊λε (maxJ)为负定_-, minJ₊）.

(Q, J₊)和(-Q,J_-)满足特征值的变分表征条件，即存在2n个特征值[1］．

λ₁≤λ₂≤…_n<_{n + 1}≤…≤λ_{2 n}(7）

而且

（8）

非过阻尼二次铅笔

这里我们将考虑非过阻尼特征值问题的一个特例。我们复习一下二次方程矩阵的铅笔

（9)

当x≠0时，f(λ;x)的两个复根= x^HQ(λ)x如第4节所示

（11）

在复根(10)和(11)之间有对应的特征值问题Q(λ)x=0的所有特征值。

由函数(10被称为正类型的特征值)获得的特征值。由函数(11)得到的特征值称为负类型的特征值。对于特征向量x≠0，有Q(λ)x=0，因此f(λ;x):= x^H问(λ)x = 0。对于正定矩阵A B C如果p₊(x)和p_-(x)是实数，那么它们是负的，因此所有实数特征值都是负的。让

如果f (;X)>0，当X≠0，λ∈特征值问题Q(λ) x=0没有真实的特征值，但这并不是事先知道的。

那么J中的所有特征值_-p的最小最大值是多少_-

和J中的所有特征值₊maxmin值是否为p₊．

我们的问题是δ是否存在₊<δ_-．这种情况是无可奈何的图1．

后图2是二次多项式f(λ;A)和f(λ;b)其中a是属于正型特征值λ=-5的特征向量，b是属于负型特征值λ= -4.3的特征向量。

为σ<δ₊对于σ<δ_-由定理2得到Q(.)谱的切片结果。如果In(Q(σ)) = (n_pn_nn_z)，则存在n_nQ(.)在(-∞，σ)中的特征值，如果σ∈(δ-， 0)则有n_n(σ， 0)的特征值₊和δ_-通常是不知道的。科斯蒂克和沃斯在[4证明了以下定理。这些定理很重要，因为它们给出了δ的上界_-以及δ的下界₊从而产生(-∞，δ₊)和(δ)_-，0)，其中上述切片适用。

定理3:设A, B, C∈^n×n是正确定的，让p₊和p_-在(10)和(11)中定义。那么它是成立的

（12）

（13）

定理4:设A, B, C∈^n×n是正定的，为

那么存在n个_nQ(λ)x=0在(-∞，σ)中的特征值。

那么存在n个_n(σ， 0)中Q(λ)x=0的特征值。

转变策略

这里我们考虑一个非过阻尼铅笔(9)。与这个过阻尼铅笔，我们将加入一个相应的双曲二次铅笔。双曲二次笔适合我们，因为它是过阻尼的，这意味着对于每一个x∈ⁿ当x≠0时，对应的双曲二次铅笔有两个不同的实根。达芬在[6]证明了双曲型二次本征问题满足本征值变分刻画的条件。

让本征值问题的本征值为特征值问题Bx=Ax (x∈ⁿ， x≠0)。

(14）

二次元铅笔在哪里

定理5:二次铅笔(14)是双曲的。

证明:从二次铅笔的定义可以清楚地看到，矩阵A, B和C-(λ_n(C,A)+ A) A是厄米矩阵。

通过使用得到一个>0这意味着我们的铅笔是双曲的。

适合我们的双曲铅笔(14)的函数是:

(15）

（16）

范围不相交的实区间是

定理6:让那么对于每一个的

(17)

证明:假设y∈C存在相反情况ⁿ的的

（18)

即。

从这里开始

(19)

如果

我们得到一个矛盾。因为这个，我们选择了那个

对(19)进行平方和编辑后，得到

(20)

现在我们有两种情况

从(20以下

它遵循

，即矛盾，定理6成立。

从(20)开始

(21）

这里有两种情况

从(21)开始

，这是矛盾的，所以定理6成立。

a = 0.5 λ_n(C, A)这里有两种情况

从

(18)紧随其后

(22)

从(22)和遵循

所以，接下来

使用from

这是矛盾，因此定理6成立。

从(20)开始

它遵循

这是矛盾，定理6成立。

这样，我们得到了定理7和定理8的改进。

定理7:设A, B, C∈^n×n是正确定的，让p₊和p_-在(10和(11)中定义。那么它是成立的

而且

下面的例子说明了用定理7我们可以得到一个更好的下界₊而不是定理3。

例子:二次铅笔

non-overdamped。这个二次铅笔有两个复特征值-0.5002+2.1794i和-0.5002-2.1794i。

这支铅笔的特征值为负型-6.1926，正型-0.807。

对应的双曲铅笔是

应用定理3，我们得到δ的下界-2.2583₊．通过应用定理7，我们得到δ的下界-2.2027₊．由于我们得到了更大的下界，我们得到了改进。

定理8:设A, B, C∈^n×n是正定的，对于σ∈In (Q (σ)) = (n_pn_nn_z）.

如果

在哪里那么存在n个_nQ (λ) x=0在(-∞，σ)中的特征值。

如果

那么存在n个_n(σ，0)中Q (λ) x=0的特征值。

结论

本文研究了一类特殊的二次型特征值问题，即非过阻尼问题。非过阻尼问题在实践中很常见。虽然在实践中可以看到非过阻尼问题，但由于数学困难的这个问题，他们往往不是一个课题的研究。这促使他们进行更广泛的考虑。由于变分表征只能部分地应用于过阻尼问题，因此对过阻尼问题的研究较为困难。因此在文献中存在δ+的上界。本文讨论了δ下界的改进₊．我们推出了全新的战略，决心做得更好下界δ+。该策略是基于从方便选择的双曲特征值问题中获得附加信息。在进一步的研究中，我们将尝试改进δ的上界_-．

参考文献

1. Tisseur F，等。二次特征值问题。SIAM 2001年评论;43:235 - 286。
2. Katsikis VN。应用线性代数。2016.
3. 线性系统的阻尼振荡——数学导论，施普林格数学课堂讲稿，2023。
4. 连续依赖于特征参数的非线性特征问题的最小极大原理。数林代数应用，2009;16:899 - 913。
5. Voss H，等。非线性特征值问题的极大极小原理及其在非过阻尼系统中的应用。数学应用科学1982;4:415 - 424。
6. Duffin RJ。过阻尼网络的极大极小理论。大鼠机械肛门。1955;4:221 - 233。
7. 过阻尼系统的极大极小理论。1964;16:89 - 96。
8. Kosti A，等。确定的二次特征值问题。程序工程2015;100:56 - 63。
9. kostiic A，等。关于非线性特征值问题的Sylvester惯性定律。electrotrans number Anal 2013;40:82 - 93。