大小偏置Lindley分布性质及其应用:加权分布的一个特例

摘要

本文的目的是引入一个尺寸偏置的林德利分布。大小偏倚分布是加权分布的一种特殊情况。加权分布在某些情况下具有实际意义，即人口中的单位不遵循它们应该属于的确切分布。这意味着某些类型的偏置发生在密度函数中，最常见的是在某些情况下单位的大小偏置，这意味着概率与随机变量的大小成正比。林德利分布在可靠性和寿命模型中有其应用，在某些情况下，概率与变量的大小成正比，这就是为什么提出的版本是大小偏倚的，将在这种情况下更合理和更精确地建模。本文还讨论了密度函数的主要性质，如矩、偏度和峰度的测度、矩的产生函数、特征函数、变异系数、生存函数和危险函数，从而更简要地理解所提出分布的结构

关键字

林德利分布，加权分布，大小偏倚，生存函数，危害函数

简介

加权分布

当对一个事件的记录观测不能从实际分布中随机抽样时，就需要加权分布。这种情况发生在原始观测被破坏以及事件以不可观测的方式发生时。由于这些不适当的情况，结果值会降低，单位或事件不会有相同的发生机会，如果它们遵循精确的分布。

假设原始观测x有pdf f(x)那么在采样中有任何偏差的情况下，适当的加权函数，比如w(x)，这是一个随机变量的函数，将被引入来模拟这种情况，

则新的密度函数(x)将由eq.(1)给出，其中f^w表示加权分布，其中w被认为是加权函数:

(1)

其中w为归一化因子，用于创建总概率或曲线下面积，等于1。如果w(x)是常数项，那么f^w(x) = f (x)。

Shanker等人引入了考虑生存和等待时间数据的两个参数的Lindley分布。在Lindley，指数分布Bhatti和Malik [1]研究了其数学性质，并用实际数据集检验了其灵活性。由于Lindley分布的一个参数，Zakerzadeh和Dolati表示它不支持更好的寿命分析数据它们为寿命数据建模提供了更灵活的三个参数的分布族。几何林德利被Mervoci和Elbatal扩展为一个新的模型，称为变形几何林德利。Ghitany等人比较了Lindley分布和指数分布，得出模型提供了有效的结论，并检验了它们性质的灵活性。泊松林德利分布由Borah和Deka Nath [2-4进一步的研究被称为膨胀泊松林德利分布。Ghitany等人提出了两个模型的比较，并表明林德利分布提供了比指数分布更有效的模型。而Ghitany等人[5-8]检验了poisson Lindley分布对计数数据的模型，以及Ghitany等人的研究目的是对不包括零计数的数据进行研究，因为Zakerzadeh和Dolati描述了具有三个参数的林德利分布的广义形式。因此，Ghitany等人对生存数据进行了建模，并引入了带两个参数的Lindley分布，称为加权Lindley分布，尽管Lord和Geedipally [9]提出了一种新的分布，称为负二项林德利分布，其中包含两个参数用于坠机计数数据。马兹切利和Achcar研究的是相互竞争的风险数据。Bakouch等人提出了林德利分布的扩展形式来建模寿命数据，以检查其可靠性，故障率函数。而Elbatal等人[4]提出林德利分布是伽马分布和指数分布的混合体。Shanker等人将单参数林德利分布与双参数林德利分布进行了比较，而Wang引入了三个参数的寿命分布。尽管Bhati和Malik研究了林德利随机变量，并为128名膀胱癌患者的缓解时间未删减数据带来了一个新的分布家族，Mervoci和Sharma [11-15扩展了林德利分布，称为贝塔林德利分布。而Singh等人[16]给出截断林德利分布。

方法

利用矩分布的思想，即文献中最常用的加权分布，求出林德利分布的大小偏倚pdf。其中尺寸偏置[12-18取x为f(x)的加权函数，归一化因子为E(x)，使总面积为1。

数学上,

其中x是一个加权函数，f(x)是实际的pdf, E(x)是原始密度函数的平均值，g(x)表示大小偏置密度函数。

用简单的代数方法讨论了一些结构性质，而对原始密度函数和尺寸偏置密度函数的一些结果进行了随机抽样比较。数据模拟和基于这些样本的结果计算采用r编程语言。根据仿真结果，对不同参数θ值的两种函数进行了比较。

单参数林德利分布

一个带参数的单参数林德利分布θ由其概率密度函数定义为(图1)：

（2）

林德利分布的概率函数图

生的时刻

r^th单参数林德利分布的原点矩由式(3)给出。

（3）

设r=1、2、3、4，则原点前4个矩为:

单参数林德利分布的均值矩

则得到中心矩为(表1)，

表1。不同参数θ值的中心矩和标准差。

林德利分布的累积分布函数

林德利分布的Cdf由式(4)给出:(图2）.

这给了,

（4）

林德利分布的累积分布函数图

林德利分布弯矩产生函数:

单参数林德利分布的特征生成函数为:

给出了林德利分布的偏度、峰度和变异系数表2为:

表2。参数θ某些值的偏度、峰度和变异系数。

尺寸偏林德利分布

尺寸偏置Lindley分布的概率密度函数为(图3)：

（5）

有偏林德利分布的大小概率函数图

大小偏林德利分布的原始矩

(6）

取方程中r=1、2、3、4，得到原点前4个矩为

关于平均尺寸偏林德利分布的矩

得到了尺寸偏林德利分布的中心矩表3为:

表3。不同参数θ值的中心矩和标准差。

尺寸偏林德利分布的累积分布函数

大小偏置林德利分布的Cdf由(图4)，

这给了

(7）

大小偏置林德利累积分布函数图

尺寸偏置Lindley分布的力矩产生函数:

尺寸偏置Lindley分布特征函数:

偏置林德利分布的偏度、峰度和尺寸变异系数(表4)：

表4。偏度，峰度和变异系数，为某些值的参数θ。

尺寸偏倚Lindley生存函数:

尺寸偏置Lindley的危害函数:

表5而且6分别给出了基于不同参数所产生的随机样本的原始林德利分布和大小偏置林德利分布的一些结果θ。每个样本都基于1万个观察结果。

表5所示。结果基于林德利分布的随机样本。

表6所示。结果基于随机样本的大小偏林德利分布。

结果

通过比较上述表中的结果，可以注意到，与各自参数值的实际分布相比，所有这些测量值的均值、中位数和标准偏差在大小偏倚分布的量级上都更大。而尺寸偏置的林德利分布与原始林德利分布相比，偏置程度较小，峰值也较小。pdf图中的图形行为图1而且3.也反映了同样的结果。

参考文献

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