时空相关性,随机演化的上下文中

文摘

扩展先前的结果是获得有关进化方程,不仅满足动态变量,构成层次结构的时空相关性的微分方程。Non-Markovian随机演化方程,获得了相应的马尔可夫链的演化方程作为一个特定的情况下,当进化取决于最近的前一个时间步。一个相对简单的说明性的例子允许获得一些以前的结果作为极限情况。

关键字

Non-Markovian随机演化方程,时空相关性,相关性。

介绍

一个扩展先前的结果(1- - - - - -7将在本文获得的。目前的方法,这可能是创造了离散随机更新方程(DSUE),不同于一般的随机微积分的由伊藤和Stratonovich库尔茨(8),提供一个工具,允许获得一个层次结构的插值函数的微分方程的解决方案不仅给进化动态变量的相关性。随机进化Non-Markovian离散方程的动力学变量和时空相关性得到之后,平均在一个进化实现一组确定的离散方程。平滑插值函数介绍的解决方案组(一般)耦合微分方程满足,提供了一个提高精度,根据订单的泰勒级数的扩张,同时,动态变量和相关性。

本文组织如下。在第二部分中,更新的一组离散的随机演化方程,定义和必要的步骤来获得一组插值函数。第三节中,给出了一个相对简单的说明例子为了提供一些以前的结果作为极限情况。最后,在第四部分中,方法的一般特点和结论了。

Non-Markovian离散随机进化更新和时空相关性:基本定义

在裁判。7)的基本定义non-Markovian离散随机进化更新被给予和复制下面,用适当的修改,为了完整性和为了提供在下一节中使用的基本定义。为了使演讲尽可能简单,而且由于ref的定理证明的结果。7),一维晶格Λ间隔周期边界条件(我们一样大但有限)将会被认为是和一组复杂的动态变量将用于描述每一个动态变量的值在一个实现r,在一种状态或动态变量年代,在空间坐标吗和时间。空间坐标和时间对应于离散泛型网站和离散更新,分别。指定泛型值的设置,年代的元素集的数量。网站是一个之间的间距₁和是一个连续的时间₀。格子的数量格子的长度的演化方程的动力学变量可以表示,在裁判。7),在接下来的一般形式

在G表示的更新规则集定义一个给定的模型和....表示一组复杂的动态变量…,分别。集的离散和连续随机变量赋予特性转化的演化方程和,分别。随机变量的设置取决于特定实现r和之前的时间之前的时间是k + 1的数量和设置任何0≥α≥k。值的随机变量的选择集根据给定的分布。通常,说明性的示例和演示为了简单起见,随机变量是随机选取的,根据均匀分布的方式都是统计独立的,每个产品的分解,然后可能包含随机变量。让我们考虑一个随机演化方程(这是情商的一个特例。(1)和将用于说明性的例子)的形式

(2)

为了获得non-Markovian Langevin-type或随机方程,平均在实现后,确定性演化方程。这是使用速记符号l₂- - - - - -保存打印。同样的年代₁=年代₁和s₂=年代₁,年代₂。方程的数量。随机权重和动态变量,在情商。(2),用一个索引标记r强调价值取决于特定的实现。随机权重可以,总的来说,是一个真正的复数和虚部,对于任何k。所有广义函数可以使用一些近似或平滑连续函数,提供了广义函数的值尽可能“准确”(6]。旁边的进化方程动力学变量可以构建其他演进方程上述动力学变量的函数,其中相关性的进化方程组成的产品动态变量构成的层次结构演化方程。例如可以构造两个动态变量的乘积

在那里使用速记符号,等主演的震级是相应的复数和复杂的共轭集的随机变量,一般不同,的。也(t, x)指定两个不同时空点。为了获得相应的确定性演化方程必须平均超过一个的实现组随机演化方程。最后的结果是

(4)

(5)

在哪里,,,等。

overbar表示平均超过一个的实现。注意,即使使用了它,为了ofsimplicity符号,方程式。(4、5),它必须被理解为离散的动力学与下标变量指定演化方程的离散特性(见本节开始时它是定义在哪里和不难看到,更换后获得的演化方程,现在变成了一个光滑函数,这也满足离散进化方程的离散值t_io和x_i1。这正是通常的插值函数的特点。所有可能的插值函数,满足Eq。(4、5),这是一个被选为了简单起见,这里将使用。

为了得到偏微分方程的发展有必要让插值函数,和,在那里,获得以下方程。

(6)

(7)

这将是用于下一小节中所开发的例子。最后一步,找到所需的偏微分方程允许提供日益准确值的插值函数,是扩大双方的方程式。(6.7)在泰勒级数给定的顺序。必须强调方程式。(6.7)两个演化方程可以确定平滑插值函数对应的离散集演化方程在方程式(4、5),分别。很容易看到,一旦平均超过一个的实现,执行相应的方程是决定性的,因此必须使用普通微积分。偏微分方程的解集允许来确定插值函数和请尽可能准确,通过简单地增加的顺序扩张。这是区别与通常的Ito Stratonovich微积分基于Riemann-Stieltjes积分或通常的随机演化方程获得使用库尔茨定理(8]。

说明性的例子:演化方程和相关Non-Markovian进化取决于前两个时间步的一维晶格

最简单的Non-Markovian随机进化

(8)

动态变量的值在哪里和线性依赖于动态变量在两个时间步和添加剂的声音和,分别。后平均超过一个的实现,假设所有随机变量是统计独立的,执行一个泰勒级数扩张和在收集方面,以下微分方程得到

(9)

在哪里

(10)

(11)

相关,后获得的产品和平均超过一个的实现

在哪里和

在哪里此外,如果最后六行的在情商的右边。(15)和在方程式的最后一学期了。(13、14)成为零和关系的演化方程不耦合的动力学变量的演化方程。注意,假设所有随机变量在统计上独立和分解是可能的。后插入方程式。(13 - 15)Eq。(12)和扩大在泰勒级数插值函数的演化方程的相关性,可以获得。使用简化符号,最终的结果是

(14)

的系数可以表示为一个函数w年代和长表达式,它将不给予明确为了拯救印刷品和也呢是为了简单起见。当然,即使这表情乍一看似乎是太多繁琐的获得,使用一个象征性的机械手像枫9),使任务非常简单和高效。

极限情况1:演化方程和空间相关性Non-Markovian进化取决于前两个时间一步一维晶格

如果t = t′可以恢复Non-Markovian空间相关性。

b。极限情况2:演化方程和时间相关性Non-Markovian进化取决于前两个时间步的一维晶格

如果x = x′可以恢复Non-Markovian时间相关性。

c。极限情况3:为马尔可夫过程的演化方程和关联进化(取决于一个以前的时间步)的一维晶格

为了恢复有必要让马尔可夫链的演化方程和在情商(8)。如果除了t = t′相对应的演化方程的第一个例证ref。7)后恢复使用适当的重量和订单的泰勒级数展开。

结论

在裁判给出的结果的延伸。7)是本文获得的。空间相关性是为了获得延长时空相关性允许获得以前的结果的特殊情况。三个说明性的极限情况给出了第三节的末尾。也与其他常规方法的差异(如伊藤和Stratonovich微积分或库尔茨定理)在第二节结束时,为了澄清一些先前的争议或误解与当前的方法。其他扩展Non-Markovian进化方程根据超过前两个时间步也容易获得(三个时间步的情况见3.2小节的裁判。6])。

确认

作者想感谢v . d . Pereyra阅读手稿。

引用

1. Costanza G。离散随机进化规则和连续方程。自然史A.2009; 388:2600 - 2622。
2. Costanza G。一个定理允许从随机演化方程得出确定性演化方程。自然史a . 2011; 390:1713 - 1722。
3. Costanza G。一个定理允许从随机演化方程得出确定性演化方程,二:non-Markovian扩展。自然史A.2011; 390:2267 - 2275。
4. Costanza G。一个定理允许确定性演化方程的推导随机演化方程三世Markovian-non-Markovian组合。自然史a.2012:391:2167 - 2181。
5. Costanza G。一个定理允许确定性演化方程的推导随机演化方程。张量的、spinorial和其他扩展。墨西哥人牧师Fis。2013; 59:141 - 147。
6. Costanza G。Non-Markovian随机演化方程。自然史A.2014; 402; 224 - 325。
7. Costanza EF和G,拓扑定理和相关性,随机进化自然史的上下文中,2015;435:51 - 65。
8. 嘉丁纳连续波。随机方法的手册。(2)转引斯普林格出版社,1985年版。
9. 枫,符号语言,滑铁卢枫公司,2004年版。