用李雅普诺夫谱对混沌信号进行变换，定量测量混沌信号对初始条件的敏感性

摘要

本文的目的是考虑一类在相空间中表现出复杂动态的递归定义信号。这项工作是由一个有趣的雷达信号引起的。该信号表现出对初始条件的敏感依赖，并在相空间中具有不寻常的自我复制特征。本文要讨论的主要问题是这些信号在雷达中是否有实际用途。信号在雷达中至关重要。雷达系统使用不同类型的信号在不同的情况下的具体应用。

关键字

混沌，李雅普诺夫信号，初始条件，雷达。

介绍

因此，雷达信号有许多不同的类别。混沌理论是对这类系统行为的分析。因此，混沌理论并不是真正的混沌理论，而是更关心理解非线性动力系统的复杂行为。我们将简要介绍对这种系统的研究，特别是对确定在什么条件下这种系统会变得混沌感兴趣。将介绍一类雷达信号。我们将研究这类信号中的一个，并应用模糊函数来看看它们是否在雷达中具有实际用途。本文介绍了一类递归定义的信号，其动机来自[1]。用李雅普诺夫谱分析了它们的稳定性。这些信号是一类不规则/噪声信号的成员，描述在[2]。本文是将雷达信号视为离散非线性动力系统的初步研究。引入一类递归定义的信号，并考虑一个特定的信号。这将表明这样的信号可以在相空间中表现出复杂的动力学。根据它们的模糊函数绝对值的形状，我们可以得出结论，它们应该同时具有时间延迟和多普勒频移的目标分辨能力。这种信号的缺点是在模糊度图中具有较高的距离和多普勒旁瓣，这将限制其区分小目标和杂波的能力，以及大目标附近的小目标。

李雅普诺夫频谱

动力系统的李亚普诺夫指数提供了对初始条件敏感性的定量度量。地图的李雅普诺夫谱是地图的李雅普诺夫指数图。正如在[3.]，它们给出了相空间中系统沿主轴的平均收敛或发散速率。至少存在一个正的李雅普诺夫指数是动力系统混沌的必要条件[4]。因此，给定一个动力系统，如果我们能确定至少有一个正的李雅普诺夫指数，那么我们就可以确定系统将表现出混沌动力学。对于一个动力系统，当我们知道发生器φ时，已证明可以很容易地计算出完整的李雅普诺夫谱[5]。这可以通过考虑系统的一个点的摄动，并应用线性稳定性分析[5]。我们专注于计算李雅普诺夫指数在当前的情况下一维离散映射。我们可以在[3.，4]。考虑初始条件x(0)的动力系统(方程1)，进一步的细节可以在[4-5]。由(式1)可以清楚地看出μ依赖于起点x(0)。对于一个给定的吸引子，μ在吸引池中是不变的[5]。对这个起点(定义为x(0) + δ(0))进行小扰动的模拟试验，其中假定初始分离δ(0)非常小。假设δ(n)是系统迭代n次后的分离。μ称为李雅普诺夫指数。对于x(0)点开始的轨迹，可以从极限处找到这些

如果一个特定轨道的李雅普诺夫指数为负，那么这个轨道要么有一个稳定的不动点，要么有一个稳定的极限环。在它为正的情况下，轨道处于一个奇怪的吸引子中，轨道将是混乱的。图1是前面介绍的Logistic图的李雅普诺夫谱图，x(0) = 0.1。可以观察到，地图具有稳定的动态，直到λ = 3.6，在那里它变成混沌，然后是稳定和混沌的时期。在目前的背景下，雷达信号在C类_D我们可以计算李雅普诺夫谱，并用它来决定哪个参数值会产生混沌信号。

混沌信号分析

发生器φ(x，λ) = λ sin (2πx)的混沌信号。为了说明通过(方程2)定义的对应信号对初始条件的灵敏度，考虑图2。这是(方程2)的两个版本的差异图。我们将这两个信号分别表示为x(n)和y(n)。其中一个初始值为x(0) = 2，而第二个初始值为y(0) = 2 + 10^-12年在两种情况下，λ = 2。里面的情节图2显示原始信号x(n)，扰动信号y(n)和它们的点差x(n) - y(n)。假设这些信号的初始值相差10，那么假设这些信号的演化几乎相同也不是不合理的⁻¹²。图2一开始是这样的，但之后就有了发散。如前所述，这种行为是混沌系统的特征。

李亚普诺夫谱为此信号图中的图3， λ范围为1 ~ 5。对于λ的每个值，(等式1)使用m=1000进行估计，初始起点为x(0) =2。由于模糊函数的形状，该谱在流域内是不变的;相应的信号应同时具有时延和多普勒频移对目标的分辨能力。然而，可以预期，由于模糊函数中广泛的高旁瓣响应，这样的信号可能无法为雷达提供足够的能力来区分具有低雷达截面(RCS)的杂波中的目标。由于相应的信号是离散时间的，所以时间延迟(τ)轴的值是离散时间单位。通过扩展这个轴可以获得更好的图形分辨率。多普勒轴以弧度为单位，而时间延迟以秒为单位。模糊度函数的绝对值为线性尺度。自相关图显示在比前三个子图中使用的更大的τ值频谱上，并且也是线性尺度。

结论

本文根据雷达信号的特点和模糊函数，对四类雷达信号进行了描述。举例说明了线性调频、单频脉冲串、步进频率连续波、步进频率脉冲串、伪随机码和随机噪声。一类相对较新的信号是具有混沌动力学的信号。这类信号表现出对初始条件敏感依赖的现象。这意味着它们对初始条件有敏感的依赖。利用李雅普诺夫谱，我们确定了这个信号的稳定性。我们还通过检验信号的模糊函数来考察信号在雷达中是否具有实际用途。

参考文献

1. 海金，李小波。混沌中信号的检测。电子工程学报，2005;
2. 海杂波的混沌动力学研究。(威利，纽约)，1999。
3. 李雅普诺夫特征指数的光滑动力系统和哈密顿系统;一种计算它们的方法。第一部分，第二部分。《麦加》，2010,15,9-30。
4. 吴旭，刘伟，赵玲，付杰。雷达脉冲压缩的混沌相位编码。继续。电子工程学报，2011,29 - 30。
5. 李TY，约克JA。第三阶段意味着混乱。美国数学。2009;82。