Tian-Xiao他*及东阮
伊利诺斯州卫斯理大学,布卢明顿,61702 - 2900,美国
收到:26/06/2015接受:06/10/2015发表:16/10/2015
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在本文中,我们研究小波分析在金融及相关领域的应用。我们复习一些相关的小波变换和讨论他们的力量在处理财务数据。然后,我们考虑问题的选择小波和实际实现。最后,详细介绍了多个应用程序在财经与提供的例子演示。
小波分析,金融时间序列。
小波分析是一种强大的工具压缩、处理和分析数据。适用于从众多类型的数据中提取有用的信息,包括图片和音频信号在物理、化学和生物,高频在经济和金融时间序列。
小波分析的历史可以追溯到几个学校孤立的最初的想法然后聚合成一个完整的字段到目前为止。最早从阿尔弗雷德Haar小波分析工作开始的世纪。他发现了一个正交系统的功能,这是现在被称为最简单的基于小波的家庭和以他的名字命名,Haar小波。
自哈雾的出现的作品,许多其他领域的重要贡献了小波分析。有些是发现的连续小波变换(CWT)于1975年由Goupillaud茨威格,后跟一个更详细的配方,白和Morlet 1982;建设正交小波与紧凑支持Daubechies于1988年;1989年由Mallat引入多分辨率框架;在1991年的连续小波变换时频解释Delprat和许多其他人。更多的细节和理论背景的重要概念进行了理论背景(图1)。
图1:第一和最简单的母小波函数。
集约发展和扩张的理论,最近小波分析的应用程序已经达到一个广泛的领域,尤其是经济学和金融学的主要兴趣。过去的几十年里一直是一个大数据的时代,特别是在金融领域,许多金融变量如股票价格现在可以以很高的频率——秒都甚至第二个基。金融数据集变得巨大,大量高可变性和复杂性。这越来越复杂要求比以往任何时候都更需要数据处理的工具。学者和专家在该领域渴望数学理论和应用程序,可以帮助他们理解中的所有信息数据,并使用这些信息来提高他们的理解金融体系或者只是简单地做出明智的决策。
数据分析工具的发展,一些等传统的时间序列分析,侧重于timedomain和光谱分析,侧重于频域,重新评估,由于其局限性。第一个限制是这些传统技术通常需要一个很强的假设数据是基于一些基本过程;尤其是数据必须静止(即其均值和方差不随时间变化,不遵循任何趋势)。然而,这并不适用于许多经济和金融时间序列。通常,这些系列的方差和波动遵循一个复杂的趋势和模式,如结构性突变,集群和长记忆。光谱分析的另一个限制是,频率分解时才有意义的市场活动是稳定的整个时期。这可能不是这样,例如市场活动可以在几个月的特别高,在其他一些相对安静。
与传统方法不同,小波分析,只有最近适应经济和金融,具有几个优势,有助于克服上述局限,提供有用的信息,传统的方法不能提供(图2)。
图2:财务数据的例子,苹果股票市场回报。
在本文中,我们集中在三个主要的优点小波分析在传统的数据分析工具。
小波分析是灵活的,不需要强大的数据生成过程的假设:其核心,小波分析的能力表示高度复杂的数据,而不需要知道它的底层函数形式。这是对经济和金融的好处是潜在的一个数据集的过程并不总是准确。正如上面所讨论的,许多经济和金融时间序列并不是静止不动的,这使得传统的方法处理这些系列无效。然而,小波分析克服这一挑战,因为它不需要数据的平稳性的假设。
小波分析从时域和频域都提供信息:不同的时间序列分析和光谱分析只提供信息分别在时域和频域小波分析能够分解原始时间序列同时对时间和频率域。这是至关重要的经济和金融,这些变量的操作和交互不同根据不同的时间尺度。例如,两个股票价格表现非常相似的方式在长远来看,但短期内分化明显。因此,小波分析可以成为一个伟大的资产,因为它可以将经济和金融时间序列分解成多个时间尺度和研究人员可以研究这些系列的关系在每个规模。
小波分析是装备的能力定位不连续的数据:小波分析也具有定位精确的不连续系统的能力。这可能有助于在经济学和金融学领域的专家、学者来确定确切的时间状况突变点反映在实际的市场数据。他们也可以找到孤立冲击的动态系统。
由于空间的限制,我们没有调查的结果的应用小波分析经济和金融。相反,我们使用例子来证明实际的应用程序。对于那些读者需要更多的材料除了上面提到的结果,他们会发现许多有趣的引用招募全面结束时我们的论文,如(1- - - - - -52]。
剩下的纸是组织如下。第二节提供了理论背景在小波分析中的重要概念,包括缩放和小波函数,连续和离散小波变换和多分辨率分析。第三节讨论了实现和实际问题,如选择合适的小波和数学软件包,将小波分析工具。第四部分深入的细节在经济学和金融学使用小波分析应用程序从实际市场数据的例子。第五节总结了纸和提供了一些结论的思想。
我们开始与多分辨率分析(MRA),尺度函数和小波函数的设计框架。
定义:一个多分辨率分析(MRA)生成的函数φ由一个封闭的子空间序列
的
令人满意的
(嵌套)
对所有
;
(密度)
(分离)
(扩展)
(基础)存在一个函数
这样
是一组标准正交基还是黎兹依据
函数的存在断言(v)称为MRA的缩放功能。
一个扩展函数φ必须是一个函数与
。而且,由于也在
,是
黎兹的基础上的,存在一个唯一的序列
描述双刻度标度函数的关系
(1)
即。双刻度refinable,φ的财产。
从尺度函数,我们也有相应的小波
(2)
在这里,低频信号的尺度函数作为一个过滤器(有时被称为近似系数)和高频信号的小波函数作为一个过滤器(称为详细系数)。
让x (t)是一个函数
,然后的类
在一个规模
和转化价值
是
CWT的更多细节可以在第四章第六节介绍小波分析的26]。我们只想专注于应用的方面:是多么适合在金融时间序列数据处理和分析。
类的优点是,它可以提取组件结构简单的从一个非常复杂的功能。然后学习而不是原始的函数作为一个整体,我们可以研究每个小部件。
然而,CWT不适合金融数据由于其几个弱点。首先,由于金融时间序列的离散数据和大量的数据点,这是非常昂贵的,甚至无法计算所有小波系数。其次,CWT引入两个参数,很可能将冗余信息添加到数据37]。我们转向一种更简单的小波变换在接下来的小节
假设我们有尺度和小波函数满足以下改进关系
让
原始数据。如果正交尺度函数和小波函数,然后lowfrequency或近似系数可以发现
和高频或详细系数可以发现
再次,可以找到更多的细节在DWT在第二章第四节介绍小波分析(26]。我们想讨论DWT的优点和缺点。
DWT的主要优势是,它继承了相同的好处但使用有限数量的翻译的连续小波变换和扩张版本的原始小波(37]。因此更容易计算系数,特别是当尺度和小波函数是正交的。
然而,它从三个主要的缺点37]。
•首先,DWT需要数据点的数量是2n。
其次,它不移不变的
•最后,它可能改变原系列的高峰或低谷,使近似系数与原始数据不一致
为了克服这些缺点,在下一节中一个特定的修改讨论了DWT,行为尽可能像DWT,但不遭受上述缺点。
为了实现MODWT,过滤器
和
必须重新调节如下
然后1近似和详细的系数可以计算
其中N是时间序列的长度和Lj过滤器的宽度:
L的宽度
基地过滤器。更多细节的理论背景MODWT可以获得来自康沃尔郡的出版社。(16]。
除了这一事实MODWT不是正交DWT和因此是高度冗余的,它有一些可取的特点,适合研究金融时间序列数据(37]。
•首先,与DWT不同,它可以应用于任意长度的时间序列n(即不需要
)
•其次,不同于DWT,移不变的。
•第三,其近似系数和详细的转变以及原始数据(即它们有相同的波峰和波谷与原始数据)。
除了类型的适当的金融时间序列的小波变换,接下来我们要考虑的问题就是尺度和小波函数的选择。当然,尺度和小波函数的选择不是唯一的;有很多小波如Haar小波,Daubechies小波,Shearlet,曲波,香农小波,小波,Battle-Lemarie样条小波,Stromberg样条小波,墨西哥帽小波具有不同特点,等等一些该领域的研究人员表明Daubechies小波可能是最受欢迎的小波分析财务数据(37]。仍然可能有不同类型的数据和不同的上下文,选择小波是不明确的。
而不是确定一个或多个小波适合金融、更有用的讨论小波的性质,应该考虑在选择合适的小波。基于Masset[的工作37),在这里我们列出一些最重要的属性和标准
对称性:对称性是很重要的,一个对称的尺度函数和小波将确保近似和详细系数与原始数据一致(即没有相移)。然而,除了Haar小波,几乎所有其他的不对称。为了应对不对称特征,MODWT相反,可以使用一致的系数数据。
正交性:正交属性也是非常重要的正交性给出了小波和缩放功能一定的优势。其中最理想的正交性的好处在于,它允许快速和有效的方式将信号分解成系数以及重建信号的系数。因此,这个属性可以帮助加快,降低数据处理的成本。此外,使用正交小波分解系统将保持原系列的方差。
毫无疑问,并不是所有的小波是正交的。策略构造一类正交扩展从基数b样条函数和小波函数可以找到在阮38]。这样的例子可以在缩放功能图3。
图3:正交尺度函数的例子基于第三和第四阶b样条。
平滑度:平滑连续小波定义为数量的衍生品。根据数据的性质与我们合作,我们可以选择一个相应的小波与某些程度的平滑。例如,使用平滑数据年度股票价格,我们可能使用平滑小波函数和不相交的数据像股票回报我们可能使用更少的哈雾和Daubechies小波平滑小波函数。
小波滤波器的长度:至关重要的是确定适当的过滤器长度。列出几个策略来选择最优长度Masset [37]。
在本节中,我们将提出一个例子来说明小波分析使用Mathematica方案执行的过程。过程遵循三个步骤:提取数据,使用Mathematica导入数据和过程数据
提取数据从公共来源:首先,我们从公共或私人提取感兴趣的数据来源。在本例中,我使用雅虎的网站金融作为源苹果(aapl . o:行情)的股票价格。
•去雅虎金融
•查找与象征Apple苹果(AAPL . o:行情)
•历史价格
•选择周期和频率(这里我选择这段时间从2015年1月2日到2015年2月11日,每日股票价格)
•点击得到价格
•单击下载电子表格
现在我们应该得到苹果股价自2015年的开始。接下来,我们可以按日期排序的数据,将其转换为增长率(金融或返回),将数据复制到一个新的excel文件(这里我名字apple.xlsx)和转置从列表格行形式,这是更方便。
数据导入Mathematica notebook:获得雅虎财经的数据后,我们将继续与导入数据到Mathematica和分配一个特定的变量的数据。
•开放Mathematica目录,然后打开文档/英语/系统/ ExampleData
•复制苹果的文件。xlsx这个位置
•开放Mathematica notebook
•使用命令x =进口(“ExampleData /苹果。xlsx”、“数据”,1,1)进口,并将数据分配给一个新的变量x。按Shift + Enter /返回运行命令。(你可以改变苹果。xlsx你文件的名称,第二个数字的列包含的数据。例如,如果我在第二列存储我的数据,然后我将改变命令的最后一部分数据,1、2)
Mac,而不是使用示例数据文件夹的目录,你可以去该文件并找到目录,并替换ExampleData excel文件的目录
•输入x和按住Shift + Enter /返回数学中的数据。我们也可以通过使用命令绘制数据ListLinePlot [x]
使用小波包过程数据:下一步将使用内置的数学来处理数据的小波包。注意,有很多命令在包,可以发现在文档中心的数学(打开帮助文档中心和使用关键字€oeWaveleta€找到相关文档)。在本手册中,我将使用最基本的小波变换,它使用Haar小波来说明这个过程。
•使用命令DiscreteWaveletTransform [x, HaarWavelet [], 1] x上执行转换。(你可以改变x的变量分配给数据,改变HaarWavelet[]您选择的小波,并改变1的数量水平的改进。更多细节,去文档中心和寻找DiscreteWaveletTransform。)
•使用命令正常(%)查看所有的系数。系列之前0是第一级的Haar扩展函数系数的优化(信号)。本系列之前1是第一级的Haar小波函数系数的优化(噪音)。我们将主要关注这些系列。
•Mathematica还可以执行逆小波变换;是系数,Mathematica可以重建原始数据。为了进行逆变换,我们需要知道所使用的小波和转换的类型。在本例中,我们使用Haar小波和离散小波变换。接下来,我们使用命令
y = DiscreteWaveletData[指数系数,指数系数,HaarWavelet [],
DiscreteWaveletTransform]
•最后,我们使用命令InverseWaveletTransform [y]找到原始数据。
最后,在本章中,我们讨论的几个应用小波分析在经济和金融。下面的每一个应用程序是把考虑由于小波分析的优势在第一节讨论。在每个应用程序中,我们首先重申小波分析的优点和链接他们与特定的财务使用。然后我们解释实现,提供的示例演示过程。
经济学和金融学的大多数应用程序小波分析来自其提供信息的能力从时域和频域。这是至关重要的经济和金融,这些变量的操作和交互不同根据不同的时间尺度。因此,小波分析可以作为一个工具将数据分解成不同时间尺度的信号之前,我们可以应用计量经济学技术来分析它们。事实上,本节提出了几种情况下小波变换可用于金融时间序列的初步转型。
在金融领域,在许多情况下我们需要评估两个更多变量之间的相关性。例如,它是非常有用的知道个人股票之间的关系以建立一个多样化投资策略。从金融理论,投资者可以提高他们的回报和风险降低分散在不同的股票相关性较低。另一方面,股票具有高相关性不增加多少价值的投资组合。因此,投资者经常想知道他们感兴趣的股票之间的相关性,这样他们就可以构建一个最优的投资组合。
关于这个问题,统计为投资者提供了一个简单的方法来找到两个变量之间的关系,叫做皮尔逊积差系数。这个相关系数被定义为两个变量的协方差的比值X, Y和产品的标准偏差
虽然这个系数是很容易理解和计算,一个问题仍然是考虑所有的信息的相关性提出了股票的价格,包括主信号和噪音。这可能是一个缺点由于投资者可能想要更加关注长期的相关性和忽略短期噪音。幸运的是,小波变换允许我们提取的主要信号,或近似系数从原始数据。因此,利用小波变换作为初步转换在实际执行相关分析将确保相关性计算不考虑所有的噪音可能反映了不必要的信息。
这里我们说明这个过程通过检查两个股票收益之间的关系:苹果(Apple inc .)和微软(msft . o:行情)在2015年1月2日2015年4月20日(图4)。
图4:苹果(aapl . o:行情)和微软(msft . o:行情)股票收益从2015年1月2日至2015年4月20日。
我们首先计算两个原始时间序列的相关系数。我们试着小波的方法:用Daubechies DWT小波得到的近似系数2系列之前计算的相关性。结果中可以找到表1。
表1:苹果(aapl . o:行情)和微软(msft . o:行情)股票收益从2015年1月2日到4月20日th2015年。
虽然这个系数是很容易理解和计算,一个问题仍然是考虑所有的信息的相关性提出了股票的价格,包括主信号和噪音。这可能是一个缺点由于投资者可能想要更加关注长期的相关性和忽略短期噪音。幸运的是,小波变换允许我们提取的主要信号,或近似系数从原始数据。因此,利用小波变换作为初步转换在实际执行相关分析将确保相关性计算不考虑所有的噪音可能反映了不必要的信息。
这里我们说明这个过程通过检查两个股票收益之间的关系:苹果(Apple inc .)和微软(msft . o:行情)在2015年1月2日2015年4月20日(图4)。
我们首先计算两个原始时间序列的相关系数。我们试着小波的方法:用Daubechies DWT小波得到的近似系数2系列之前计算的相关性。结果中可以找到表1。
来源:作者的计算从这个结果,我们观察到通过使用小波变换方法,我们发现更高的相关性两个股票收益相比正常的方法。这可以解释为原始时间序列的噪声可能会降低实际的长期关系两个股票收益。
虽然在某些情况下,静态关联分析是足够的,一些时间金融研究需要一个时变的相关性。例如,一个可能感兴趣的相关性如何股市已经改变随着时间的推移,研究股票市场之间的金融一体化的发展。同样,在这种情况下,小波变换在实际处理之前的应用计量经济学技术可用于去除噪声和关注的主要信号。
与前一节中,第一步是利用DWT时间序列分解为近似系数(主要的信号)和详细的系数(噪音)。
然后在第二步中,我们可以应用该模型从恩格尔DCC-MGARCH19),如下所示
首先,考虑原Bollerslev模型(13]:
在哪里
是返回的序列向量,
是时间t的信息吗
和R是包含条件相关性的相关矩阵。
恩格尔(19)修改模型,允许相关矩阵R随时间变化
一个规范的相关矩阵模型提出的GARCH (1,1)
在哪里
是无条件的相关性
和
(恩格尔[19])。上述方程可以写成如下所示
然后c、o、rrelation估计量计算
总是正的,代表了相关水平。
为了说明这一过程中,我们使用一个例子在财政独立研究作者之一。在自己的项目中,t .阮(38]研究了中国与东盟间的金融一体化股市在过去十年(从2004年到2014年)使用动态条件相关DWT方法测量。股票市场指标和图表的timevarying中国与东盟股票市场之间的相关性如下所示表2。
表2:中国和东盟国家的股指。
乍一看,最多的相关性从小于0.1 0.5和波动在0.3的大部分时间。根据分类的丹和蕾迪,中国和东盟四国之间的相关性是在弱到中等水平。这意味着中国股市不是高度集成的四个东盟国家,表明有可能多样化好处当投资者包括四个东盟国家的股票投资组合。
中国和东盟四国之间的相关性也遵循类似的模式。他们大幅上升时期从2006年到2009年,这是正确的,在金融危机期间,并在2009年达到了顶峰。2009年之后,相关性趋于平稳,两个小峰在2012年和2013 - 2014。这意味着多元化利益特别是低这三个点的时间。,小波方法提高结果的初步分析,确保所有上面的解释不接受短期的噪音的影响在原始数据(图5和6)。
图5:中国和东盟国家股票市场指数的回报国家。
图6:中国与东盟国家之间的动态条件相关。
有时在金融和经济领域,而不是仅仅研究两个变量之间的相关性,我们想研究它们之间的因果关系。以股市回报的情况为例。在前一节中,我们研究了动态关系中国和东盟国家的股市回报。然而,如果我们想要知道更多关于底层的过程中,如果像中国这样的大国的股市回报确实引起的运动较小的市场,如东盟的相关性是不够的。
对于这个目标,另一个计量经济学模型-格兰杰因果模型可以使用。因果关系是一个相当复杂的和确定的概念,格兰杰(22)提出了一个定义自己的版本的因果关系更适用于现实生活的情况。
他根据2定义了因果关系原则
1。导致发生之前的效果
2。原因有独特的信息对未来值的效果
随后格兰杰(22)建立的数学解释他的原则如下。如果X Y的因果关系
是一个任意非空集和在哪里
和
是Y, X的信息分别包含和X是排除在外。如果条件满足,那么X据说X Y的格兰杰因果关系,有助于预测未来的Y的值。
统计的实现是相当简单的。让y和x平稳时间序列。然后测试经验如果x y的格兰杰原因,我们跑两步回归方程。首先,我们运行一个自回归(AR)模型的当前值y是它的过去值的函数。基于“增大化现实”技术条款的适当的长度可以由信息标准。
之后,我们修改包括x的滞后值的方程
在这里
和
x的第一个和最后一个滞后,导致一些影响y。假设x y格兰杰原因是当至少一个x的系数是显著的。
来说明这一过程中,我们利用中国和东盟国家的股票市场指数收益如前一节所述。再一次,我们利用DWT跑前两步回归。这将消除原始数据中的噪音的意外效果。
在这个例子中,我们考察中国股票市场指数的因果影响印尼股市指数。通过运行最大延迟的AR模型3和比较标准的信息(我们选择最低的模型信息标准,因为它允许信息损失最少的)我们最终与模型AR(1)(只有1独立变量的滞后)作为印尼股市回报的最佳拟合模型(表3)。
表3:回归结果AR模型印尼股市回报。
接下来,我们把落后的中国股票市场指数回报作为独立的变量。我们试着加1、2和6落后。下面给出的结果是(表4)。
表4:格兰杰因果检验中国股票市场的回报率印尼股市回报。
从结果看来,中国市场的滞后项指数显著影响印尼在预测股票市场指数的回报。这种效应持续观察到4,5或6落后。这表明中国股票市场指数确实格兰杰导致印尼股市指数。
另一个应用程序,我们在本文中讨论是DWT方法的预测能力与时间序列预测技术。
财经,预测也是一个重要的应用程序与广泛的使用。投资者可以使用预测股票价格决定购买,出售或持有股票或改变他们的投资组合。经济学家和政策制定者也受益匪浅的预测经济变量如GDP、通货膨胀、房价等等。可以作为预测量化证据通知决定决策。
预测的重要性,经济学家已经开发出一些技术,如ARMA模型的预测。这里我们将修改传统的ARMA预测通过使用一个额外的DWT实际预测过程。我们将使用苹果公司(Apple inc .)的股票回报4.1节为例。我们试图利用DWT和ARMA模型项目返回前锋4观察到未来。该方案中给出的方法图7在下面。
图7:方案将DWT纳入计量经济学预测。
为了实现这个计划,我们遵循几个步骤。首先,类似于4.1节中,我们使用与Daubechies DWT小波分解苹果股票回报成近似和详细的系数
然后我们一个ARMA模型信号和噪音。再一次,使用标准的信息,我们可以找到最优系列的ARMA模型。这项研究的结果发表在表5和6。近似最优ARMA模型系数是ARMA(2, 2)在细节系数最优模型ARMA (0, 1)。
接下来,我们使用ARMA模型预测4数据点向前走向未来。所示的预测图8和9。
图8:预测的近似系数。
图9:详细的预测系数。
最后,从近似和详细的预测价值系数,我们应用逆DWT获得原系列的预测。提出了预测图10在下面。
图10:预测苹果(aapl . o:行情)的股票回报。
所以从天气预报,我们观察一个积极的回报在接下来的四天,但返回似乎下降。这种信息可能告知投资者的决策。DWT,提高预测的原级数分解成独立信号和噪音和预测每个系列。
在本节中,我们讨论的方式来衡量,目前的视觉co-movement金融或经济变量之间在时频空间使用一种称为小波相干性的技术。我们遵循Grinsted等人建立的程序建设的小波相干的概念。
首先,使用小波的选择是重要的,因为我们想平衡时间和频率的本地化。Grinsted等人指出一个特定的小波与所需的属性:
在哪里
是频率和ηdimentionless dimentionless时间。选择是6到平衡时间和频率本地化。
然后连续小波变换(CWT)的一个离散的时间序列
统一的时间步骤
被定义为卷积的
缩放和归一化波如下
最后,根据一如和韦伯斯特,X、Y两个时间序列的小波相干性被定义为
S是平滑参数在时间和规模。这个定义与传统相关定义,小波相干性可以被认为是在时频空间局部相关性。接下来,我们将用一个例子来说明小波相干的使用在发现和提出两个股指的相关性在时频空间。我们计算了本地化的中国股票市场指数之间的相关性和马来西亚股市指数从2004年到2013年。提出了小波相干图11。
图11:中国和马来西亚之间的小波相干分析股票市场指数。
从图中,我们可以观察到的频率,除了最高频率(64年和128年周),中国和马来西亚股市指数之间的相关性不高。从投资者的角度来看,这表明在中短期内的相关性不高,有多元化利益通过投资组合由中国和马来西亚股市指数。长期投资这两个指数收益率没有明显的好处。
我们已经提出了小波分析在金融和经济领域的大量应用。小波变换实际上被证明是一个有效的工具将时间序列分解成不同的频率。从这个分解,研究人员可以研究金融和经济变量的相互作用在不同水平:从短期或高频水平长期或低频水平。
小波的潜力并不局限于这些应用程序。有些小波分析的优点不是解决。例如:
•小波分析是灵活的,不需要很强的假设关于数据的生成过程
•小波分析配备定位不连续的数据的能力
这些好处可以导致许多不同的应用程序。小波分析可以用来定位不连续或政权金融和经济时间序列的变化。它也可以用于模型,不需要很强的假设关于基本过程的时间序列。在这种情况下,我相信把小波分析到财经将继续在未来开发和扩展。
我们想表达我们的感谢匿名裁判对他们有用的意见和言论导致一种改进/修订版本的原稿。
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